BEMÆRKELSESVÆRDIGE PRODUKTER: FORKLARING OG ØVELSER LØST - MATEMATIK - 2025

De bemærkelsesværdige produkter er algebraiske operationer, hvor multiplikationer af polynomer udtrykkes, som ikke behøver at løses traditionelt, men ved hjælp af visse regler kan resultaterne af det samme findes.

Polynomer multipliseres med ja, derfor er det muligt, at de har et stort antal udtryk og variabler. For at gøre processen kortere bruges de bemærkelsesværdige produktregler, der tillader multiplikation uden at skulle gå term for termin.

Bemærkelsesværdige produkter og eksempler

Hvert bemærkelsesværdigt produkt er en formel, der er resultatet af en faktorisering, der består af polynomer med flere udtryk, såsom binomialer eller trinomialer, kaldet faktorer.

Faktorer er basis for en magt og har en eksponent. Når faktorerne multipliceres, skal eksponenterne tilføjes.

Der er flere bemærkelsesværdige produktformler, nogle bruges mere end andre, afhængigt af polynomierne, og de er følgende:

Binomial kvadratisk

Det er multiplikationen af ​​en binomial i sig selv, udtrykt som en magt, hvor udtrykkene tilføjes eller trækkes fra:

til. Kvadratisk sum binomial: det er lig med kvadratet i den første periode, plus dobbelt så godt som produktet af udtrykkene, plus kvadratet for den anden periode. Det udtrykkes som følger:

(a + b) ² = (a + b) _* (a + b).

I den følgende figur kan du se, hvordan produktet udvikler sig i henhold til ovennævnte regel. Resultatet kaldes trinomialet til en perfekt firkant.

Eksempel 1

(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²

(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25

(x + 5) ² = x² + 10x + 25.

Eksempel 2

(4a + 2b) = (4a) ² + 2 (4a _* 2b) + (2b) ²

(4a + 2b) = 8a ² + 2 (8ab) + 4b ²

(4a + 2b) = 8a ² + 16 ab + 4b ².

b. Binomial for en kvadratet subtraktion: den samme regel for binomialet for en sum gælder, kun i dette tilfælde er den anden term negativ. Dens formel er følgende:

(a - b) ² = ²

(a - b) ² = a ² + 2a _* (-b) + (-b) ²

(a - b) ² = a ² - 2ab + b ².

Eksempel 1

(2x - 6) ² = (2x) ² - 2 (2x _* 6) + 6 ²

(2x - 6) ² = 4x ² - 2 (12x) + 36

(2x - 6) ² = 4x ² - 24x + 36.

Produkt af konjugerede binomialer

To binomialer er konjugeret, når de anden udtryk for hver har forskellige tegn, det vil sige den første er positiv og den anden negativ eller omvendt. Det løses ved at kvadrere hver monomialitet og trække fra. Dens formel er følgende:

(a + b) _* (a - b)

I den følgende figur udvikles produktet af to konjugerede binomialer, hvor det observeres, at resultatet er en forskel på firkanter.

Eksempel 1

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a ² + (-6ab) + (6 ab) + (-9b ²)

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a ² - 9b ².

Produkt af to binomialer med en fælles betegnelse

Det er et af de mest komplekse og sjældent anvendte bemærkelsesværdige produkter, fordi det er en multiplikation af to binomialer, der har en fælles betegnelse. Reglen har følgende ordlyd:

• Kvadratet for det fælles udtryk.
• Plus summen vilkårene, der ikke er almindelige, og gang dem derefter med den fælles udtryk.
• Plus summen af ​​multiplikationen af ​​de termer, der ikke er almindelige.

Det er repræsenteret i formlen: (x + a) _* (x + b) og er udviklet som vist på billedet. Resultatet er en ikke-perfekt firkantet trinomial.

(x + 6) _* (x + 9) = x ² + (6 + 9) _* x + (6 _* 9)

(x + 6) _* (x + 9) = x ² + 15x + 54.

Der er en mulighed for, at den anden term (det forskellige udtryk) er negativ, og dens formel er som følger: (x + a) _* (x - b).

Eksempel 2

(7x + 4) _* (7x - 2) = (7x _* 7x) + (4 - 2) _* 7x + (4 _* -2)

(7x + 4) _* (7x - 2) = 49x ² + (2) _* 7x - 8

(7x + 4) _* (7x - 2) = 49x ² + 14x - 8.

Det kan også være tilfældet, at begge forskellige udtryk er negative. Dens formel vil være: (x - a) _* (x - b).

Eksempel 3

(3b - 6) _* (3b - 5) = (3b _* 3b) + (-6 - 5) _* (3b) + (-6 _* -5)

(3b - 6) _* (3b - 5) = 9b ² + (-11) _* (3b) + (30)

(3b - 6) _* (3b - 5) = 9b ² - 33b + 30.

Kvadreret polynom

I dette tilfælde er der mere end to udtryk, og for at udvikle det er hver enkelt kvadratisk og tilføjet sammen med dobbelt multiplikation af en term med en anden; dens formel er: (a + b + c) ^2, og resultatet af operationen er en firkantet trinomial.

Eksempel 1

(3x + 2y + 4z) ² = (3x) ² + (2y) ² + (4z) ² + 2 (6xy + 12xz + 8yz)

(3x + 2y + 4Z) ² = 9x ² + 4y ² + 16Z ² + 12xy + 24xz + 16yz.

Binomial cubed

Det er et bemærkelsesværdigt komplekst produkt. For at udvikle det ganges binomialet med dets kvadrat som følger:

til. For binomialen, som er i form af en sum:

• Kuben i den første periode plus tre gange kvadratet for den første periode gange den anden.
• Plus tredobbelt fra den første periode, gange den anden kvadrat.
• Plus terningen i den anden periode.

(a + b) ³ = (a + b) _* (a + b) ²

(a + b) ³ = (a + b) _* (a ² + 2ab + b ²)

(a + b) ³ = a ³ + 2a ² b + ab ² + ba ² + 2ab ² + b ³

(a + b) ³ = a ³ + 3a ² b + 3ab ² + b ³.

Eksempel 1

(a + 3) ³ = a ³ + 3 (a) ² _* (3) + 3 (a) _* (3) ² + (3) ³

(a + 3) ³ = a ³ + 3 (a) ² _* (3) + 3 (a) _* (9) + 27

(a + 3) ³ = a ³ + 9 a ² + 27a + 27.

b. For den binomiale terning af en subtraktion:

• Kuben i den første sigt minus tre gange kvadratet for den første sigt gange den anden.
• Plus tredobbelt fra den første periode, gange den anden kvadrat.
• Minus terningen for den anden periode.

(a - b) ³ = (a - b) _* (a - b) ²

(a - b) ³ = (a - b) _* (a ² - 2ab + b ²)

(a - b) ³ = a ³ - 2a ² b + ab ² - ba ² + 2ab ² - b ³

(a - b) ³ = a ³ - 3a ² b + 3ab ² - b ³.

Eksempel 2

(b - 5) ³ = b ³ + 3 (b) ² _* (-5) + 3 (b) _* (-5) ² + (-5) ³

(b - 5) ³ = b ³ + 3 (b) ² _* (-5) + 3 (b) _* (25) -125

(b - 5) ³ = b ³ - 15b ² + 75b - 125.

Trinomiale terning

Det er udviklet ved at multiplicere det med dets firkant. Det er et meget omfattende bemærkelsesværdigt produkt, fordi du har 3 termer i terning plus tre gange hver sigt kvadreret ganget med hvert af udtrykkene plus seks gange produktet af de tre udtryk. Set på en bedre måde:

(a + b + c) ³ = (a + b + c) _* (a + b + c) ²

(a + b + c) ³ = (a + b + c) _* (a ² + b ² + c ² + 2ab + 2ac + 2bc)

(a + b + c) ³ = a ³ + b ³ + c ³ + 3a ² b + 3ab ² + 3a ² c + 3ac ² + 3b ² c + 3bc ² + 6abc.

Eksempel 1

Løst øvelser af bemærkelsesværdige produkter

Øvelse 1

Udvid følgende binomial cubed: (4x - 6) ³.

Løsning

Husk, at en binomial cubed er lig med den første term cubed minus tre gange kvadratet af den første term gange den anden; plus tredobbelt fra den første periode, gange den anden kvadrat minus kuben i den anden periode.

(4x - 6) ³ = (4x) ³ - 3 (4x) ² (6) + 3 (4x) _* (6) ² - (6) ²

(4x - 6) ³ = 64x ³ - 3 (16x ²) (6) + 3 (4x) _* (36) - 36

(4x - 6) ³ = 64x ³ - 288x ² + 432x - 36.

Øvelse 2

Udvikle følgende binomiale: (x + 3) (x + 8).

Løsning

Der er en binomial, hvor der er et fælles udtryk, som er x, og det andet udtryk er positivt. For at udvikle det skal du kun firkante det fælles udtryk plus summen af ​​de udtryk, der ikke er almindelige (3 og 8) og derefter multiplicere dem med det fælles udtryk, plus summen af ​​multiplikationen af ​​de udtryk, der ikke er fælles.

(x + 3) (x + 8) = x ² + (3 + 8) x + (3 _* 8)

(x + 3) (x + 8) = x ² + 11x + 24.

Referencer

1. Angel, AR (2007). Elementær algebra. Pearson Education,.
2. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra og trigonometri med analytisk geometri. Pearson Uddannelse.
3. Das, S. (nd). Maths Plus 8. Storbritannien: Ratna Sagar.
4. Jerome E. Kaufmann, KL (2011). Elementær og mellemliggende algebra: En kombineret tilgang. Florida: Cengage Learning.
5. Pérez, CD (2010). Pearson Uddannelse.