ASSOCIATIV EGENSKAB: TILFØJELSE, MULTIPLIKATION, EKSEMPLER, ØVELSER - MATEMATIK - 2025

Den associative egenskab ved tilføjelse repræsenterer den associative karakter af additionsoperationen i forskellige matematiske sæt. I det er tre (eller flere) elementer i nævnte sæt relateret, kaldet a, b og c, således at det altid er sandt:

a + (b + c) = (a + b) + c

På denne måde er det garanteret, at resultatet, uanset hvordan man grupperer for at udføre operationen, er det samme.

Figur 1. Vi bruger den tilknyttede egenskab ved tilføjelse mange gange, når vi udfører aritmetiske og algebraiske operationer. (Tegning: freepik Sammensætning: F. Zapata)

Men det skal bemærkes, at den tilknyttede ejendom ikke er synonym med den kommutative ejendom. Det vil sige, vi ved, at rækkefølgen af ​​tilføjelser ikke ændrer summen, eller at rækkefølgen af ​​faktorer ikke ændrer produktet. Så for summen kan det skrives sådan: a + b = b + a.

I den tilknyttede egenskab er det imidlertid anderledes, da rækkefølgen af ​​elementerne, der skal tilføjes, opretholdes, og hvilke ændringer der er den operation, der udføres først. Hvilket betyder, at tilføjelse af første (b + c) og tilføjelse af et til dette resultat ikke betyder noget end at begynde at tilføje et med by til resultatet, der tilføjer c.

Mange vigtige operationer såsom tilføjelse er associerende, men ikke alle. F.eks. Sker det ved subtraktion af reelle tal, at:

a - (b - c) ≠ (a - b) - c

Hvis a = 2, b = 3, c = 1, så:

2– (3 - 1) ≠ (2 - 3) - 1

0 ≠ -2

Associerende egenskab ved multiplikation

Som det blev gjort for tilføjelse, siger den tilknyttede egenskab ved multiplikation at:

a ˟ (b ˟ c) = (a ˟ b) ˟ c

I tilfælde af sættet med reelle tal er det let at kontrollere, at dette altid er tilfældet. For eksempel bruger vi værdierne a = 2, b = 3, c = 1, vi har:

2 _˟ (3 _˟ 1) = (2 _˟ 3) _˟ 1 → 2 _˟ 3 = 6 _˟ 1

6 = 6

Reelle tal opfylder den tilknyttede egenskab ved både tilføjelse og multiplikation. På den anden side i et andet sæt, såsom vektorer, er summen associativ, men krydsproduktet eller vektorproduktet er det ikke.

Anvendelser af multiplikationens tilknyttede egenskab

En fordel ved operationer, hvor den tilknyttede ejendom er opfyldt, er at være i stand til at gruppere på den mest bekvemme måde. Dette gør opløsningen meget lettere.

Antag f.eks. At der i et lille bibliotek er 3 hylder med 5 hylder hver. I hver hylde er der 8 bøger. Hvor mange bøger er der i alt?

Vi kan udføre operationen på denne måde: samlede bøger = (3 x 5) x 8 = 15 x 8 = 120 bøger.

Eller sådan: 3 x (5 x 8) = 3 x 40 = 120 bøger.

Figur 2. En anvendelse af multiplikationens tilknyttede egenskab er at beregne antallet af bøger på hver hylde. Billede oprettet af F. Zapata.

eksempler

-I sæt af naturlige, heltal, rationelle, reelle og komplekse tal opfyldes den associative egenskab ved tilføjelse og multiplikation.

Figur 3. For reelle tal er den tilknyttede egenskab ved tilføjelse opfyldt. Kilde: Wikimedia Commons.

-For polynomier anvendes de også i disse operationer.

-I tilfælde af subtraktion, opdeling og eksponentiering, er den tilknyttede egenskab ikke gældende for reelle tal eller polynomer.

-I tilfælde af matrixer er den tilknyttede egenskab opfyldt for tilføjelse og multiplikation, selvom i sidstnævnte tilfælde er kommutativitet ikke opfyldt. Dette betyder, at i betragtning af matrixerne A, B og C er det sandt, at:

(A x B) x C = A x (B x C)

Men… A x B ≠ B x A

Den tilknyttede egenskab i vektorer

Vektorer danner et andet sæt end reelle tal eller komplekse tal. De operationer, der er defineret for sæt vektorer, er noget forskellige: der er tilføjelse, subtraktion og tre typer produkter.

Summen af ​​vektorer opfylder den tilknyttede egenskab, ligesom tal, polynomer og matrixer. Hvad angår de skalære produkter, skalar efter vektor og kryds, der er lavet mellem vektorer, opfylder sidstnævnte ikke det, men det skalære produkt, som er en anden form for operation mellem vektorer, opfylder det under hensyntagen til følgende:

-Produktet af en skalar og en vektor resulterer i en vektor.

-Ved scalar multiplicering af to vektorer resulterer der i en skalær.

På baggrund af vektorerne v, u og w og derudover en skalær λ er det muligt at skrive:

- Summen af ​​vektorer: v + (u + w) = (v + u) + w

-Scalar produkt: λ (v • u) = (λ v) • u

Det sidstnævnte er muligt takket være det faktum, at v • u er en skalar, og λ v er en vektor.

Imidlertid:

v × (u × w) ≠ (v × u) × w

Faktorisering af polynomer ved gruppering af udtryk

Denne applikation er meget interessant, fordi den associerede ejendom, som det blev sagt før, hjælper med at løse visse problemer. Summen af ​​monomer er associativ, og dette kan bruges til factoring, når en åbenlyst fælles faktor ikke vises ved første øjekast.

Antag f.eks., At du bliver bedt om at faktor: x ³ + 2 x ² + 3 x +6. Dette polynom har ingen fælles faktor, men lad os se, hvad der sker, hvis det er grupperet sådan:

Den første parentes har en fælles faktor for øks ²:

I det andet er den fælles faktor 3:

Øvelser

- Øvelse 1

En skolebygning har 4 etager og har hver 12 klasseværelser med 30 skriveborde inde. Hvor mange skriveborde har skolen i alt?

Løsning

Dette problem løses ved at anvende den tilknyttede egenskab ved multiplikation, lad os se:

Samlet antal skriveborde = 4 etager x 12 klasseværelser / etage x 30 skriveborde / klasseværelse = (4 x 12) x 30 skriveborde = 48 x 30 = 1440 skriveborde.

Eller hvis du foretrækker: 4 x (12 x 30) = 4 x 360 = 1440 skriveborde

- Øvelse 2

I betragtning af polynomierne:

A (x) = 5 x ³ + 2x ² -7x + 1

B (x) = x ⁴ + 6x ³ -5x

C (x) = -8x ² + 3x -7

Anvend den tilknyttede egenskab ved tilføjelse til at finde A (x) + B (x) + C (x).

Løsning

Du kan gruppere de to første og tilføje den tredje til resultatet:

A (x) + B (x) = + = x ⁴ + 11x ³ + 2x ² -12x +1

Umiddelbart tilføjes polynomet C (x):

+ = X ⁴ + 11x ³ - 6x ² -9x -6

Læseren kan kontrollere, at resultatet er identisk, hvis det løses ved hjælp af indstillingen A (x) +.

Referencer

1. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
2. Matematik er sjov, kommutative, associerende og distribuerende love. Gendannes fra: mathisfun.com.
3. Math Warehouse. Definition af tilknyttet ejendom. Gendannes fra: mathwarehouse.com.
4. Sciencing. Associativ & kommutativ egenskab ved tilføjelse og multiplikation (med eksempler). Gendannes fra: sciencing.com.
5. Wikipedia. Associerende ejendom. Gendannet fra: en.wikipedia.org.