LÅS EGENSKAB FOR ALGEBRA: BEVIS, EKSEMPLER - MATEMATIK - 2025

Den lås egenskab algebra er et fænomen, der vedrører to elementer i et sæt med en operation, hvor den nødvendige betingelse er, at efter de 2 elementer forarbejdes under nævnte operation, resultatet også tilhører den oprindelige sæt.

For eksempel, hvis lige tal tages som et sæt og en sum som en operation, får vi en lås i det sæt med hensyn til summen. Dette skyldes, at summen af ​​2 lige tal altid giver et andet jævnt antal, hvilket således opfylder låsebetingelsen.

Kilde: unsplash.com

egenskaber

Der er mange egenskaber, der bestemmer algebraiske rum eller kroppe, såsom strukturer eller ringe. Imidlertid er låseegenskaben en af ​​de mest kendte inden for grundalgebra.

Ikke alle anvendelser af disse egenskaber er baseret på numeriske elementer eller fænomener. Mange dagligdagseksempler kan arbejdes ud fra en ren algebraisk-teoretisk tilgang.

Et eksempel kan være borgere i et land, der påtager sig et juridisk forhold af enhver art, såsom et kommercielt partnerskab eller ægteskab blandt andre. Når denne operation eller ledelse er blevet udført, forbliver de statsborgere i landet. På denne måde repræsenterer statsborgerskabs- og forvaltningsoperationer over for to borgere en lås.

Numerisk algebra

Med hensyn til tal er der mange aspekter, der har været genstand for undersøgelse i forskellige strømme i matematik og algebra. Et stort antal aksiomer og teoremer er fremkommet fra disse undersøgelser, der tjener som det teoretiske grundlag for nutidig forskning og arbejde.

Hvis vi arbejder med de numeriske sæt, kan vi etablere en anden gyldig definition for låseegenskapen. Et sæt A siges at være låsen til et andet sæt B, hvis A er det mindste sæt, der indeholder alle de sæt og operationer, som B indeholder.

Demonstration

Låsebeskyttelsen anvendes til elementer og operationer, der findes i sættet med reelle tal R.

Lad A og B være to tal, der hører til sæt R, lukningen af ​​disse elementer er defineret for hver operation indeholdt i R.

Sum

- Sum: ∀ A ˄ B ∈ R → A + B = C ∈ R

Dette er den algebraiske måde at sige, at for alle A og B, der hører til de reelle tal, har vi, at summen af ​​A plus B er lig med C, som også hører til de rigtige.

Det er let at kontrollere, om dette forslag er sandt; det er nok at udføre summen mellem et hvilket som helst reelt tal og kontrollere, om resultatet også hører til de reelle tal.

3 + 2 = 5 ∈ R

-2 + (-7) = -9 ∈ R

-3 + 1/3 = -8/3 ∈ R

5/2 + (-2/3) = 11/6 ∈ R

Det bemærkes, at låsebetingelsen er opfyldt for de reelle tal og summen. På denne måde kan det konkluderes: Summen af ​​reelle tal er en algebraisk lås.

Multiplikation

- Multiplikation: ∀ A ˄ B ∈ R → A. B = C ∈ R

For alle A og B, der hører til realerne, har vi, at multiplikationen af ​​A med B er lig med C, som også hører til realerne.

Når man verificerer med de samme elementer fra det foregående eksempel, observeres følgende resultater.

3 x 2 = 6 ∈ R

-2 x (-7) = 14 ∈ R

-3 x 1/3 = -1 ∈ R

5/2 x (-2/3) = -5/3 ∈ R

Dette er bevis nok til at konkludere, at: Multiplikation af reelle tal er en algebraisk lås.

Denne definition kan udvides til at omfatte alle operationer med reelle tal, selvom vi vil finde visse undtagelser.

Kilde: pixabay.com

Særlige tilfælde i R

Division

Det første særlige tilfælde er opdeling, hvor følgende undtagelse ses:

∀ A ˄ B ∈ R → A / B ∉ R ↔ B = 0

For alle A og B, der hører til R, har vi, at A blandt B ikke hører til realerne, hvis og kun hvis B er lig med nul.

Denne sag henviser til begrænsningen af ​​ikke at kunne dele sig med nul. Fordi nul hører til de reelle tal, følger det således: Opdelingen er ikke en lås på realene.

Arkivering

Der er også potentieringsoperationer, mere specifikt radikalisering, hvor undtagelser præsenteres for radikale magter med lige indeks:

For alle A, der hører til realerne, hører den n. Rod til A til realerne, hvis og kun hvis A hører til de positive realer, der er knyttet til et sæt, hvis eneste element er nul.

På denne måde betegnes det, at de jævne rødder kun gælder for positive realer, og det konkluderes, at potentieringen ikke er en lås i R.

logaritme

På en homolog måde kan det ses for den logaritmiske funktion, der ikke er defineret for værdier, der er mindre end eller lig med nul. For at kontrollere, om logaritmen er en lås af R, skal du gøre som følger:

For alle A, der hører til realerne, hører A's logaritme til realerne, hvis og kun hvis A hører til de positive realer.

Ved at ekskludere negative værdier og nul, der også hører til R, kan det siges, at:

Logaritmen er ikke en lås af de reelle tal.

eksempler

Kontroller låsen for tilføjelse og subtraktion af de naturlige tal:

Sum i N

Den første ting er at kontrollere låsebetingelsen for forskellige elementer i det givne sæt, hvor hvis det observeres, at nogle elementer bryder med betingelsen, kan eksistensen af ​​en lås automatisk nægtes.

Denne egenskab gælder for alle mulige værdier for A og B, som det ses i følgende operationer:

1 + 3 = 4 ∈ N

5 + 7 = 12 ∈ N

1000 + 10000 = 11000 ∈ N

Der er ingen naturværdier, der bryder låsens tilstand, så det konkluderes:

Summen er en lås i N.

Træk i N

Naturlige elementer, der er i stand til at bryde tilstanden, søges; A - B hører til de indfødte.

Betjening af det er let at finde par naturlige elementer, der ikke opfylder låsebetingelserne. For eksempel:

7 - 10 = -3 ∉ a N

På denne måde kan vi konkludere, at:

Subtraktion er ikke en lås i sættet med naturlige tal.

Foreslåede øvelser

1-Vis, om låseegenskaben er opfyldt for sættet med rationelle tal Q, for operationerne tilføjelse, subtraktion, multiplikation og opdeling.

2-Forklar, om sættet med reelle tal er en lås i sættet med hele tal.

3-Bestem, hvilket numerisk sæt der kan være låsen til de reelle tal.

4-Bevis egenskaben for låsen for sættet af imaginære tal med hensyn til tilføjelse, subtraktion, multiplikation og opdeling.

Referencer

1. Panorama over ren matematik: Bourbakist-valget. Jean Dieudonné. Reverte, 1987.
2. Algebraisk taleteori. Alejandro J. Díaz Barriga, Ana Irene Ramírez, Francisco Tomás. National Autonomous University of Mexico, 1975.
3. Lineær algebra og dens applikationer. Sandra Ibeth Ochoa García, Eduardo Gutiérrez González.
4. Algebraiske strukturer V: kropsteori. Hector A. Merklen. Organisering af amerikanske stater, generalsekretariat, 1979.
5. Introduktion til kommutativ algebra. Michael Francis Atiyah, IG MacDonald. Reverte, 1973.