EGENSKABER VED LIGHED - MATEMATIK - 2025

De egenskaber lighed refererer til forholdet mellem to matematiske objekter, uanset om de er tal eller variabler. Det er betegnet med symbolet "=", der altid går mellem disse to objekter. Dette udtryk bruges til at konstatere, at to matematiske objekter repræsenterer det samme objekt; med andre ord, at to objekter er den samme ting.

Der er tilfælde, hvor det er trivielt at bruge lighed. For eksempel er det klart, at 2 = 2. Når det kommer til variabler, er det imidlertid ikke længere trivielt og har specifikke anvendelser. For eksempel, hvis vi har det y = x og på den anden side x = 7, kan vi konkludere, at y = 7 også.

Eksemplet ovenfor er baseret på en af ​​egenskaberne ved lighed, som du snart ser. Disse egenskaber er vigtige for at løse ligninger (ligheder, der involverer variabler), som udgør en meget vigtig del af matematikken.

Hvad er egenskaberne ved lighed?

Reflekterende ejendom

Den refleksive egenskab, i tilfælde af lighed, siger, at hvert tal er lig med sig selv og udtrykkes som b = b for ethvert reelt tal b.

I det særlige tilfælde af lighed synes denne ejendom at være indlysende, men i andre typer forhold mellem antal er det ikke. Med andre ord, ikke alle forhold mellem reelt tal opfylder denne egenskab. For eksempel et sådant tilfælde af forholdet "mindre end" (<); intet tal er mindre end sig selv.

Symmetrisk egenskab

Den symmetriske egenskab for ligestilling siger, at hvis a = b, så er b = a. Uanset hvilken rækkefølge der bruges i variablerne, vil den blive bevaret af ligestillingsforholdet.

I tilfælde af tilføjelse kan en bestemt analogi af denne egenskab med den kommutative egenskab observeres. På grund af denne egenskab svarer det for eksempel til at skrive y = 4 eller 4 = y.

Transitiv ejendom

Den transitive egenskab ved lighed siger, at hvis a = b og b = c, så a = c. For eksempel 2 + 7 = 9 og 9 = 6 + 3; Derfor har vi den transitive egenskab, at 2 + 7 = 6 + 3.

En simpel anvendelse er følgende: Antag, at Julian er 14 år gammel, og at Mario er på samme alder som Rosa. Hvis Rosa er på samme alder som Julián, hvor gammel er da Mario?

Bag dette scenarie bruges den transitive egenskab to gange. Matematisk fortolkes det som følger: lad "a" være Mario's alder, "b" Rosa's alder og "c" Julians alder. Det vides, at b = c, og at c = 14.

Ved den transitive egenskab har vi den b = 14; det vil sige, Rosa er 14 år gammel. Da a = b og b = 14, ved at bruge den transitive egenskab igen, har vi, at a = 14; dvs. Marios alder er også 14 år gammel.

Ensartet ejendom

Den ensartede egenskab er, at hvis begge sider af en ligestilling tilføjes eller ganges med det samme beløb, bevares ligheden. For eksempel, hvis 2 = 2, så er 2 + 3 = 2 + 3, hvilket er klart, siden 5 = 5. Denne egenskab er mest nyttig, når du prøver at løse en ligning.

Antag f.eks., At du bliver bedt om at løse ligningen x-2 = 1. Det er praktisk at huske, at løsning af en ligning består af eksplicit bestemmelse af den involverede variabel (eller variabler), baseret på et specifikt tal eller en tidligere specificeret variabel.

Når du går tilbage til ligningen x-2 = 1, skal du eksplicit finde ud af, hvor meget x der er værd. For at gøre dette skal variablen ryddes.

Det er fejlagtigt lært, at i dette tilfælde, da tallet 2 er negativt, overgår det til den anden side af ligestillingen med et positivt tegn. Men det er ikke korrekt at sige det på den måde.

Grundlæggende er det, du laver, at anvende den ensartede ejendom, som vi vil se nedenfor. Ideen er at rydde "x"; det vil sige, lad det være alene på den ene side af ligningen. Efter konvention er det normalt venstre på venstre side.

Til dette formål er antallet "at eliminere" -2. Måden at gøre det på ville være ved at tilføje 2, da -2 + 2 = 0 og x + 0 = 0. For at gøre dette uden at ændre ligheden, skal den samme operation anvendes til den anden side.

Dette tillader os at realisere den ensartede egenskab: da x-2 = 1, hvis nummeret 2 tilføjes på begge sider af ligheden, siger den ensartede egenskab, at det ikke ændres. Så har vi den x-2 + 2 = 1 + 2, hvilket svarer til at sige, at x = 3. Med dette ville ligningen løses.

På lignende måde, hvis du vil løse ligningen (1/5) y-1 = 9, kan du fortsætte med at bruge den ensartede egenskab som følger:

Mere generelt kan følgende udsagn fremsættes:

- Hvis ab = cb, så er a = c.

- Hvis xb = y, så er x = y + b.

- Hvis (1 / a) z = b, så er z = a ×

- Hvis (1 / c) a = (1 / c) b, så er a = b.

Annulleringsejendom

Annulleringsegenskapen er et bestemt tilfælde af den ensartede egenskab, især i betragtning af tilfældet med subtraktion og opdeling (som i bund og grund også svarer til tilføjelse og multiplikation). Denne ejendom behandler denne sag separat.

For eksempel, hvis 7 + 2 = 9, så er 7 = 9-2. Eller hvis 2y = 6, så er y = 3 (divideret med to på begge sider).

Analogt med den forrige sag kan følgende erklæringer etableres gennem annulleringsegenskapen:

- Hvis a + b = c + b, så er a = c.

- Hvis x + b = y, så er x = yb.

- Hvis az = b, så er z = b / a.

- Hvis ca = cb, så er a = b.

Erstatningsejendom

Hvis vi kender værdien af ​​et matematisk objekt, angiver substitutionsejendommen, at denne værdi kan erstattes i enhver ligning eller udtryk. For eksempel, hvis b = 5 og a = bx, så erstatter vi værdien af ​​"b" i den anden lighed, har vi a = 5x.

Et andet eksempel er følgende: hvis "m" deler "n" og "n" deler "m", skal m = n tages.

At sige, at "m" deler "n" (eller tilsvarende, at "m" er en divisor af "n") betyder, at opdelingen m ÷ n er nøjagtig; det vil sige, at dividere "m" med "n" giver et helt tal, ikke en decimal. Dette kan udtrykkes ved at sige, at der findes et heltal "k", således at m = k × n.

Da "n" også deler "m", findes der et heltal "p", således at n = p × m. På grund af substitutionsejendommen har vi den n = p × k × n, og for at dette kan ske er der to muligheder: n = 0, i hvilket tilfælde vi ville have identiteten 0 = 0; op × k = 1, følgelig identiteten n = n.

Antag, at "n" ikke er tilfældet. Derefter nødvendigvis p × k = 1; derfor p = 1 og k = 1. Ved at bruge substitutionsejendommen igen ved at erstatte k = 1 i ligheden m = k × n (eller ækvivalent, p = 1 i n = p × m) opnår vi endelig den m = n, hvilket var hvad vi ønskede at bevise.

Kraftegenskaber i en ligestilling

Ligesom tidligere blev det set, at hvis en operation som tilføjelse, multiplikation, subtraktion eller opdeling udføres i begge termer af en lighed, bevares den, på samme måde som andre operationer, der ikke ændrer en lighed, kan anvendes.

Nøglen er altid at udføre den på begge sider af ligestillingen og sørge for på forhånd, at operationen kan udføres. Dette er tilfældet med empowerment; det vil sige, at hvis begge sider af en ligning hæves til samme magt, har vi stadig en lighed.

For eksempel siden 3 = 3, så 3 ² = 3 ² (9 = 9). Generelt set et heltal "n", hvis x = y, så er x ⁿ = y ⁿ.

Rodsejendom i en ligestilling

Dette er et bestemt tilfælde af empowerment, og det gælder, når kraften er et ikke-heltal rationelt tal, såsom ½, der repræsenterer kvadratroten. Denne egenskab siger, at hvis den samme rod anvendes på begge sider af en ligestilling (når det er muligt), bevares ligheden.

I modsætning til det foregående tilfælde skal du her være forsigtig med pariteten af ​​roden, der skal anvendes, da det er velkendt, at den jævne rod til et negativt tal ikke er veldefineret.

I tilfælde af, at radikalen er jævn, er der ikke noget problem. For eksempel, hvis x ³ = -8, selvom det er en ligestilling, kan du for eksempel ikke anvende en firkantet rod på begge sider. Men hvis du kan anvende en terningrode (hvilket er endnu mere praktisk, hvis du eksplicit vil vide værdien af ​​x), og således opnå den x = -2.

Referencer

1. Aylwin, CU (2011). Logik, sæt og numre. Mérida - Venezuela: Publications Council, Universidad de Los Andes.
2. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematik 1 SEP. Grænseværdi.
3. Lira, ML (1994). Simon og matematik: matematikstekst til anden klasse: studerendes bog. Andres Bello.
4. Preciado, CT (2005). Matematik Kursus 3. Redaktionel Progreso.
5. Segovia, BR (2012). Matematiske aktiviteter og spil med Miguel og Lucía. Baldomero Rubio Segovia.
6. Toral, C., & Preciado, M. (1985). 2. matematik kursus. Redaktionel Progreso.