COPLANAR POINT: LIGNING, EKSEMPEL OG LØSTE ØVELSER - MATEMATIK - 2025

De coplanare peger alle tilhører den samme plan. To punkter er altid koplanære, da disse punkter definerer en linje, gennem hvilken uendelige fly passerer. Derefter hører begge punkter til hver af de fly, der passerer gennem linjen, og derfor vil de altid være planplan.

På den anden side definerer tre punkter et enkelt plan, hvorfra det følger, at tre punkter altid vil være koplanære til det plan, de bestemmer.

Figur 1. A, B, C og D er koplanære til (Ω) planet. E, F og G er ikke coplanar til (Ω), men de er planlagte til det plan, de definerer. Kilde: F. Zapata.

Mere end tre punkter kan være koplanære eller ej. For eksempel i figur 1 er punkterne A, B, C og D koplanære til planet (Ω). Men E, F og G er ikke coplanar til (Ω), skønt de er coplanar til det plan, de definerer.

Ligning af et plan givet tre point

Ligningen af ​​et plan bestemt af tre kendte punkter A, B, C er en matematisk relation, der garanterer, at ethvert punkt P med generiske koordinater (x, y, z), der opfylder ligningen, hører til nævnte plan.

Den forrige udsagn er ækvivalent med at sige, at hvis P af koordinater (x, y, z) opfylder ligningen af ​​planet, så vil nævnte punkt være planplan med de tre punkter A, B, C, der bestemte planet.

For at finde ligningen på dette plan, lad os starte med at finde vektorerne AB og AC:

AB =

AC =

Vektorproduktet AB X AC resulterer i en vektor vinkelret eller normal på planet bestemt af punkterne A, B, C.

Ethvert punkt P af koordinater (x, y, z) hører til planet, hvis vektoren AP er vinkelret på vektoren AB X AC, hvilket garanteres, hvis:

AP • (AB X AC) = 0

Dette svarer til at sige, at tredobbeltproduktet fra AP, AB og AC er nul. Ovenstående ligning kan skrives i matrixform:

Eksempel

Lad punktene A (0, 1, 2); B (1, 2, 3); C (7, 2, 1) og D (a, 0, 1). Hvilken værdi skal en have for de fire punkter, der skal være planlagte?

Løsning

For at finde værdien af ​​a skal punkt D være en del af planet bestemt af A, B og C, hvilket er garanteret, hvis det tilfredsstiller ligningens størrelse.

Udvikling af den determinant, vi har:

Den forrige ligning fortæller os, at a = -1 for, at ligheden skal opfyldes. Med andre ord, den eneste måde, hvorpå punkt D (a, 0,1) er coplanar med punkterne A, B og C er for a at være -1. Ellers er det ikke coplanar.

Løst øvelser

- Øvelse 1

Et plan skærer de kartesiske akser X, Y, Z ved henholdsvis 1, 2 og 3. Krydset mellem dette plan og akserne bestemmer punkterne A, B og C. Find komponenten Dz i et punkt D, hvis kartesiske komponenter er:

Forudsat at D er planplan med punkterne A, B og C.

Løsning

Når afskærmningen af ​​et plan med de kartesiske akser er kendt, kan segmentets ligning af ligningen bruges:

x / 1 + y / 2 + z / 3 = 1

Da punkt D skal høre til det forrige plan, skal det:

-Dz / 1 + (Dz + 1) / 2 + Dz / 3 = 1

Det vil sige:

-Dz + Dz / 2 + ½ + Dz / 3 = 1

Dz (-1 + ½ + ⅓) = ½

Dz (-1 / 6⅙) = ½

Dz = -3

Fra det ovenstående følger det, at punkt D (3, -2, -3) er koplanært med punkt A (1, 0, 0); B (0, 2, 0) og C (0, 0, 3).

- Øvelse 2

Bestem om punkterne A (0, 5, 3); B (0, 6, 4); C (2, 4, 2) og D (2, 3, 1) er coplanære.

Løsning

Vi danner matrixen, hvis rækker er koordinaterne til DA, BA og CA. Derefter beregnes determinanten, og det verificeres, om den er nul.

Efter at have udført alle beregningerne konkluderes det, at de er planlagte.

- Øvelse 3

Der er to linjer i rummet. En af dem er linjen (R), hvis parametriske ligning er:

Og den anden er linjen (S), hvis ligning er:

Vis at (R) og (S) er koplanære linjer, dvs. at de ligger i det samme plan.

Løsning

Lad os starte med vilkårligt at tage to punkter på linjen (R) og to på linjen (S):

Linie (R): X = 0; A (1, 1, 1) og X = 1; B (3, 0, 1)

Lad x = 0 på linjen (S) => y = ½; C (0, ½, -1). Og på den anden side, hvis vi laver y = 0 => x = 1; D (1, 0, -1).

Det vil sige, vi har taget punkterne A og B, der hører til linjen (R) og punkterne C og D, der hører til linjen (S). Hvis disse punkter er koplanære, vil de to linjer også være.

Nu vælger vi punkt A som drejepunkt, og derefter finder vi koordinaterne for vektorerne AB, AC og AD. På denne måde får du:

B - A: (3-1, 0 -1, 1 - 1) => AB = (2, -1, 0)

C - A: (0-1, 1/2 -1, -1 - 1) => AC = (-1, -1/2, -2)

D - A: (1-1, 0 -1, -1 - 1) => AD = (0, -1, -2)

Det næste trin er at konstruere og beregne den determinant, hvis første række er koefficienterne for vektor AB, den anden række er AC og den tredje række dem for vektor AD:

Da determinanten viser sig at være null, kan vi konkludere, at de fire punkter er coplanære. Derudover kan det anføres, at linierne (R) og (S) også er coplanære.

- Øvelse 4

Linjerne (R) og (S) er koplanære, som vist i øvelse 3. Find ligningen for det plan, der indeholder dem.

Løsning

Punkt A, B, C definerer dette plan fuldstændigt, men vi vil pålægge, at ethvert punkt X af koordinater (x, y, z) hører til det.

For at X skal høre til det plan, der er defineret af A, B, C, og hvor linjerne (R) og (S) er indeholdt, er det nødvendigt, at determinanten dannet i sin første række af komponenterne i AX, i den anden række af dem fra AB og i den tredje af dem fra AC:

Efter dette resultat grupperes vi på denne måde:

2 (x-1) + 4 (y-1) -2 (z-1) = 0

Og med det samme ser du, at det kan skrives om på denne måde:

x - 1 + 2y - 2 - z + 1 = 0

Derfor er x + 2y - z = 2 ligningen for det plan, der indeholder linierne (R) og (S).

Referencer

1. Fleming, W. 1989. Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
2. Kolman, B. 2006. Lineær algebra. Pearson Uddannelse.
3. Leal, JM 2005. Flad analytisk geometri. Mérida - Venezuela: Redaktionel Venezolana CA
4. Navarro, Rocio. Vektorer. Gendannes fra: books.google.co.ve.
5. Pérez, CD 2006. Forberegning. Pearson Uddannelse.
6. Prenowitz, W. 2012. Grundlæggende begreber om geometri. Rowman & Littlefield.
7. Sullivan, M. 1997. Precalculus. Pearson Uddannelse.