Den gravicentro er en definition, der er meget anvendt i ved arbejde med trekanter.
For at forstå definitionen på tyngdekraften er det først nødvendigt at kende definitionen af "medianer" af en trekant.
Medierne af en trekant er linjesegmenterne, der starter ved hvert toppunkt og når midtpunktet på siden overfor dette toppunkt.
Skæringspunktet mellem de tre medianer i en trekant kaldes barycenter eller det er også kendt som gravcentret.
Det er ikke nok bare at kende definitionen, det er interessant at vide, hvordan dette punkt beregnes.
Beregning af tyngdepunktet
Givet en trekant ABC med knudepunkter A = (x1, y1), B = (x2, y2) og C = (x3, y3), er gravcentret skæringspunktet mellem trekantens medianer.
En hurtig formel, der tillader beregning af tyngdekraften i en trekant, kendt som koordinaterne for dets hjørner er:
G = ((x1 + x2 + x3) / 3, (y1 + y2 + y3) / 3).
Med denne formel kan du finde ud af placeringen af gravcentret i det kartesiske plan.
Egenskaber ved Gravicentro
Det er ikke nødvendigt at tegne trekantens tre medianer, for når man tegner to af dem, vil det være tydeligt, hvor gravicentro er.
Gravicentro opdeler hver median i 2 dele, hvis andel er 2: 1, dvs. de to segmenter af hver median er opdelt i segmenter med længder 2/3 og 1/3 af den samlede længde, jo større afstand er den der er mellem toppunktet og tyngdepunktet.
Følgende billede illustrerer denne egenskab bedre.
Formlen til beregning af tyngdekraften er meget enkel at anvende. Måden at opnå denne formel er ved at beregne linjelignelserne, der definerer hver median og derefter finde krydsningspunktet for disse linjer.
Øvelser
Her er en kort liste over problemer med beregning af tyngdepunktet.
1.- Givet en trekant med knudepunkter A = (0,0), B = (1,0) og C = (1,1), beregne tyngdepunktets centrum af trekanten.
Ved hjælp af den givne formel kan det hurtigt konkluderes, at tyngdekraften i trekanten ABC er:
G = ((0 + 1 + 1) / 3, (0 + 0 + 1) / 3) = (2/3, 1/3).
2.- Hvis en trekant har knudepunkter A = (0,0), B = (1,0) og C = (1 / 2,1), hvad er koordinaterne for gravicentro?
Da trekanterne er kendt, fortsætter vi med at anvende formlen til beregning af tyngdepunktet. Derfor har gravicentro koordinater:
G = ((0 + 1 + 1/2) / 3, (0 + 0 + 1) / 3) = (1/2, 1/3).
3.- Beregn de mulige gravicentros for en ligesidet trekant, således at to af dets vertikater er A = (0,0) og B = (2,0).
I denne øvelse specificerer du kun to højdepunkter i trekanten. For at finde de mulige gravicentros skal vi først beregne trekantens tredje toppunkt.
Da trekanten er ligesidet, og afstanden mellem A og B er 2, skal det tredje toppunkt C være i afstand 2 fra A og B.
Ved hjælp af det faktum, at i en ligesidet trekant højden falder sammen med medianen og også ved hjælp af Pythagorean-teoremet, kan det konkluderes, at mulighederne for koordinaterne i det tredje toppunkt er C1 = (1, √3) eller C2 = (1, - √3).
Så koordinaterne for de to mulige gravitationer er:
G1 = ((0 + 2 + 1) / 3, (0 + 0 + √3) / 3) = (3/3, √3 / 3) = (1, √3 / 3), G2 = ((0 + 2 + 1) / 3, (0 + 0-√3) / 3) = (3/3, -√3 / 3) = (1, -√3 / 3).
Takket være de tidligere regnskaber kan det også bemærkes, at medianen blev opdelt i to dele, hvis andel er 2: 1.
Referencer
- Landaverde, F. d. (1997). Geometri (redprint red.). Fremskridt.
- Leake, D. (2006). Trekanter (illustreret udg.). Heinemann-Raintree.
- Pérez, CD (2006). Forkalkulation. Pearson Uddannelse.
- Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometrier. CR-teknologi.
- Sullivan, M. (1997). Forkalkulation. Pearson Uddannelse.
- Sullivan, M. (1997). Trigonometri og analytisk geometri. Pearson Uddannelse.