HVAD ER SAMTIDIGE LIGNINGER? (ØVELSER LØST) - MATEMATIK - 2025

De samtidige ligninger er de ligninger, der skal opfyldes på samme tid. Derfor skal du have mere end én ligning for at have samtidige ligninger.

Når du har to eller flere forskellige ligninger, som skal have den samme løsning (eller de samme løsninger), siges det, at du har et ligningssystem, eller det siges også, at du har samtidige ligninger.

Når vi har samtidige ligninger, kan det ske, at de ikke har fælles løsninger eller har en endelig mængde eller har en uendelig mængde.

Samtidige ligninger

Givet to forskellige ligninger Eq1 og Eq2 følger det, at systemet med disse to ligninger kaldes samtidige ligninger.

De samtidige ligninger tilfredsstiller, at hvis S er en løsning af Eq1, så er S også en løsning af Eq2 og vice versa

egenskaber

Når det kommer til et system af samtidige ligninger, kan du have 2 ligninger, 3 ligninger eller N-ligninger.

De mest almindelige metoder, der bruges til at løse samtidige ligninger, er: substitution, udligning og reduktion. Der er også en anden metode kaldet Cramer's regel, som er meget nyttig til systemer med mere end to samtidige ligninger.

Et eksempel på samtidige ligninger er systemet

Æk1: x + y = 2

Ækv2: 2x-y = 1

Det kan ses, at x = 0, y = 2 er en løsning af Eq1, men det er ikke en løsning af Eq2.

Den eneste fælles løsning, som begge ligninger har, er x = 1, y = 1. Det vil sige x = 1, y = 1 er løsningen på systemet med samtidige ligninger.

Løst øvelser

Dernæst fortsætter vi med at løse systemet med samtidige ligninger vist ovenfor gennem de 3 nævnte metoder.

Første øvelse

Løs systemet med ligninger Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 ved hjælp af substitutionsmetoden.

Løsning

Substitutionsmetoden består i at løse en af ​​de ukendte i en af ​​ligningerne og derefter erstatte den i den anden ligning. I dette særlige tilfælde kan vi løse for "y" fra Eq1, og vi opnår at y = 2-x.

Ved at udskifte denne værdi på «y» i Eq2 opnår vi, at 2x- (2-x) = 1. Derfor opnår vi, at 3x-2 = 1, det vil sige x = 1.

Da værdien af ​​x er kendt, er den substitueret i "y", og vi opnår, at y = 2-1 = 1.

Derfor er den eneste løsning på systemet med samtidige ligninger Eq1 og Eq2 x = 1, y = 1.

Anden øvelse

Løs systemet med ligninger Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 ved hjælp af den matchende metode.

Løsning

Tilpasningsmetoden består i at løse for det samme ukendte i begge ligninger og derefter matche de resulterende ligninger.

Ved at løse for "x" fra begge ligninger får vi x = 2-y, og at x = (1 + y) / 2. Nu sidestilles disse to ligninger, og vi opnår, at 2-y = (1 + y) / 2, hvorfra det følger, at 4-2y = 1 + y.

Gruppering af det ukendte "y" på samme side resulterer i y = 1. Nu hvor "y" er kendt, fortsætter vi med at finde værdien af ​​"x". Ved at erstatte y = 1, får vi x = 2-1 = 1.

Derfor er den fælles løsning mellem ligningerne Eq1 og Eq2 x = 1, y = 1.

Tredje øvelse

Løs systemet med ligninger Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 ved hjælp af reduktionsmetoden.

Løsning

Reduktionsmetoden består i at multiplicere ligningerne givet med de passende koefficienter, så når man tilføjer disse ligninger, annulleres en af ​​variablerne.

I dette særlige eksempel er det ikke nødvendigt at multiplicere nogen ligning med nogen koefficient, bare tilføj dem. Ved at tilføje Eq1 plus Eq2 opnår vi den 3x = 3, hvorfra vi får den x = 1.

Ved evaluering af x = 1 i Eq1 opnår vi den 1 + y = 2, hvorfra det følger, at y = 1.

Derfor er x = 1, y = 1 den eneste løsning på de samtidige ligninger Eq1 og Eq2.

Fjerde øvelse

Løs systemet med samtidige ligninger Eq1: 2x-3y = 8 og Eq2: 4x-3y = 12.

Løsning

I denne øvelse kræves ingen særlig metode, derfor kan den metode, der er mest behagelig for hver læser, anvendes.

I dette tilfælde vil reduktionsmetoden blive brugt. Multiplikation af Eq1 med -2 ​​giver ligningen Eq3: -4x + 6y = -16. Nu tilføjer vi Eq3 og Eq2 får vi det 3y = -4, derfor y = -4 / 3.

Når vi vurderer y = -4 / 3 i Eq1, opnår vi at 2x-3 (-4/3) = 8, hvorfra 2x + 4 = 8, derfor, x = 2.

Afslutningsvis er den eneste løsning på systemet med samtidige ligninger Eq1 og Eq2 x = 2, y = -4 / 3.

Observation

Metoderne beskrevet i denne artikel kan anvendes til systemer med mere end to samtidige ligninger.

Jo flere ligninger og jo flere ukendte der er, jo mere kompliceret er proceduren for at løse systemet.

Enhver metode til løsning af ligningssystemer vil give de samme opløsninger, det vil sige, at opløsningerne ikke afhænger af den anvendte metode.

Referencer

1. Fuentes, A. (2016). BASIC MATH. En introduktion til calculus. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematik: kvadratiske ligninger: Hvordan man løser en kvadratisk ligning Marilù Garo.
3. Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Matematik til ledelse og økonomi. Pearson Uddannelse.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematik 1 SEP. Grænseværdi.
5. Preciado, CT (2005). Matematik Kursus 3. Redaktionel Progreso.
6. Rock, NM (2006). Algebra I Is Easy! Så let. Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algebra og trigonometri. Pearson Uddannelse.