HVAD ER TRIGONOMETRISKE GRÆNSER? (ØVELSER LØST) - MATEMATIK - 2025

De trigonometriske grænser er grænser for funktioner, således at disse funktioner dannes af trigonometriske funktioner.

Der er to definitioner, der skal kendes for at forstå, hvordan man beregner en trigonometrisk grænse.

Disse definitioner er:

- Begrænsning af en funktion «f», når «x» har en tendens til «b»: den består af at beregne den værdi, som f (x) nærmer sig som «x» nærmer sig «b», uden at nå «b» ».

- Trigonometriske funktioner: de trigonometriske funktioner er sine sinus-, cosinus- og tangentfunktioner, der er betegnet med henholdsvis sin (x), cos (x) og tan (x).

De andre trigonometriske funktioner opnås fra de tre ovennævnte funktioner.

Funktionsgrænser

For at afklare begrebet funktionsgrænse fortsætter vi med at vise nogle eksempler med enkle funktioner.

- Grænsen for f (x) = 3, når "x" har tendens til "8", er lig med "3", da funktionen altid er konstant. Ligegyldigt hvor meget "x" er værd, vil værdien af ​​f (x) altid være "3".

- Grænsen for f (x) = x-2, når «x» har en tendens til «6» er «4». Da "x" nærmer sig "6", "x-2" nærmer sig "6-2 = 4".

- Grænsen for g (x) = x² når "x" har tendens til "3" er lig med 9, da når "x" nærmer sig "3", så "x²" nærmer sig "3² = 9".

Som det kan ses i de foregående eksempler, består beregning af en grænse af at evaluere den værdi, som "x" binder til funktionen, og resultatet vil være værdien af ​​grænsen, skønt dette kun gælder for kontinuerlige funktioner.

Er der mere komplicerede grænser?

Svaret er ja. Ovenstående eksempler er de enkleste eksempler på grænser. I beregningsbøger er øvelserne med de største grænser dem, der genererer en ubestemmelse af typen 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 og (∞) ^ 0.

Disse udtryk kaldes ubestemmelige, da de er udtryk, der ikke giver mening matematisk.

Afhængigt af de funktioner, der er involveret i den oprindelige grænse, kan resultatet opnået ved løsning af ubestemmelserne desuden være forskellige i hvert tilfælde.

Eksempler på enkle trigonometriske grænser

For at løse grænser er det altid meget nyttigt at kende graferne for de involverede funktioner. Graferne af sinus-, kosinus- og tangentfunktionerne er vist nedenfor.

Nogle eksempler på enkle trigonometriske grænser er:

- Beregn syndsgrænsen (x), når «x» har en tendens til «0».

Når man ser på grafen, kan det ses, at hvis "x" kommer tættere på "0" (både fra venstre og højre), så kommer sinusgrafen også tættere på "0". Derfor er grænsen for synd (x), når "x" har en tendens til "0", "0".

- Beregn grænsen for cos (x), når «x» har en tendens til «0».

Når man ser på grafen for kosinus, kan det ses, at når "x" er tæt på "0", så er grafen for kosinus tæt på "1". Dette indebærer, at grænsen for cos (x), når "x" har tendens til "0", er lig med "1".

En grænse kan eksistere (være et tal) som i de foregående eksempler, men det kan også ske, at den ikke findes som vist i det følgende eksempel.

- Farvegrænsen (x), når «x» har en tendens til «Π / 2» fra venstre, er lig med «+ ∞», som det kan ses i grafen. På den anden side er tan (x) grænsen, når "x" har en tendens til "-Π / 2" fra højre, lig med "-∞".

Trigonometriske grænser identiteter

To meget nyttige identiteter ved beregning af trigonometriske grænser er:

- Grænsen for «sin (x) / x» når «x» har en tendens til «0» er lig med «1».

- Grænsen på «(1-cos (x)) / x» når «x» har en tendens til «0» er lig med «0».

Disse identiteter bruges meget ofte, når du har en slags ubestemmelse.

Løst øvelser

Løs for følgende grænser ved hjælp af de identiteter, der er beskrevet ovenfor.

- Beregn grænsen på «f (x) = sin (3x) / x», når «x» har en tendens til «0».

Hvis funktionen "f" evalueres til "0", opnås en ubestemmelse af type 0/0. Derfor må vi forsøge at løse denne ubestemmelse ved hjælp af de beskrevne identiteter.

Den eneste forskel mellem denne grænse og identiteten er tallet 3, der vises inden for sinusfunktionen. For at anvende identiteten skal funktionen «f (x)» omskrives på følgende måde «3 * (sin (3x) / 3x)». Nu er både sinusargumentet og nævneren ens.

Så når "x" har en tendens til "0", bruger identiteten "3 * 1 = 3". Derfor er grænsen for f (x), når "x" har en tendens til "0", lig med "3".

- Beregn grænsen på «g (x) = 1 / x - cos (x) / x», når «x» har en tendens til «0».

Når "x = 0" er substitueret i g (x), opnås en ubestemmelse af typen ∞-∞. For at løse det subtraheres fraktionerne først, hvilket giver "(1-cos (x)) / x".

Ved anvendelse af den anden trigonometriske identitet har vi nu, at grænsen for g (x), når «x» har en tendens til «0», er lig med 0.

- Beregn grænsen på «h (x) = 4tan (5x) / 5x», når «x» har en tendens til «0».

Igen, hvis h (x) evalueres til "0", opnås en ubestemmelse af type 0/0.

Omskrivning som (5x) som sin (5x) / cos (5x) resulterer i h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Brug af at grænsen på 4 / cos (x), når "x" har en tendens til "0", er lig med "4/1 = 4", og den første trigonometriske identitet opnås, at grænsen for h (x), når "x" tendens a "0" er lig med "1 * 4 = 4".

Observation

Trigonometriske grænser er ikke altid nemme at løse. Kun grundlæggende eksempler blev vist i denne artikel.

Referencer

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus Matematik. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus matematik: en problemløsende tilgang (2, Illustreret red.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra og trigonometri med analytisk geometri. Pearson Uddannelse.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 udg.). Cengage Learning.
5. Leal, JM, & Viloria, NG (2005). Plananalytisk geometri. Mérida - Venezuela: Redaktionel Venezolana CA
6. Pérez, CD (2006). Forkalkulation. Pearson Uddannelse.
7. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Calculus (9. udgave). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Differentialberegning med tidlige transcendente funktioner til videnskab og teknik (Anden udgave red.). Hypotenusen.
9. Scott, CA (2009). Cartesian Plane Geometry, Part: Analytical Conics (1907) (genoptrykt red.). Lynkilde.
10. Sullivan, M. (1997). Forkalkulation. Pearson Uddannelse.