HVAD ER SKRÅ TREKANTER? (MED ØVELSER) - MATEMATIK - 2025

De skrå trekanter er de trekanter, der ikke er rektangler. Med andre ord trekanterne således, at ingen af ​​deres vinkler er en ret vinkel (deres mål er 90º).

Da de ikke har rette vinkler, kan Pythagorean-sætningen ikke anvendes på disse trekanter.

Derfor er det nødvendigt at bruge andre formler for at kende dataene i en skråt trekant.

De formler, der er nødvendige for at løse en skrå trekant, er de såkaldte sines og kosinuslove, som vil blive beskrevet senere.

Ud over disse love kan det faktum, at summen af ​​de indvendige vinkler i en trekant er lig med 180º, altid bruges.

Skrå trekanter

Som anført i begyndelsen er en skråt trekant en trekant, således at ingen af ​​dens vinkler måler 90º.

Problemet med at finde længderne på siderne i en skrå trekant såvel som at finde målene for dens vinkler kaldes "at løse skrå trekanter."

Et vigtigt faktum, når man arbejder med trekanter, er, at summen af ​​de tre indre vinkler i en trekant er lig med 180º. Dette er et generelt resultat, derfor kan det også anvendes på skrå trekanter.

Lov om sines og kosinus

Givet en trekant ABC med sider i længden "a", "b" og "c":

- Sines loven siger, at a / synd (A) = b / synd (B) = c / synd (C), hvor A, B og C er de modsatte vinkler til «a», «b» og «c "Henholdsvis.

- Kosinoloven siger, at: c² = a² + b² - 2ab * cos (C). Ligeledes kan følgende formler bruges:

b² = a² + c² - 2ac * cos (B) eller a² = b² + c² - 2bc * cos (A).

Ved hjælp af disse formler kan dataene for en skråt trekant beregnes.

Øvelser

Nedenfor er nogle øvelser, hvor de manglende data fra de givne trekanter skal findes, baseret på visse leverede data.

Første øvelse

Givet en trekant ABC således, at A = 45º, B = 60º og a = 12cm, beregne de andre data for trekanten.

Løsning

Ved at bruge, at summen af ​​de indvendige vinkler i en trekant er lig med 180º, har vi det

C = 180º-45º-60º = 75º.

De tre vinkler er allerede kendt. Sine-loven bruges derefter til at beregne de to manglende sider.

Ligningerne, der opstår, er 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).

Fra den første lighed kan vi løse for «b» og opnå det

b = 12 * sin (60º) / sin (45º) = 6√6 ≈ 14.696 cm.

Vi kan også løse for «c» og få det

c = 12 * sin (75º) / sin (45º) = 6 (1 + √3) ≈ 16.392 cm.

Anden øvelse

Givet trekant ABC således, at A = 60º, C = 75º og b = 10 cm, beregne trekants andre data.

Løsning

Som i den foregående øvelse, B = 180º-60º-75º = 45º. Ved hjælp af sines lov har vi endvidere, at a / sin (60º) = 10 / sin (45º) = c / sin (75º), hvorfra det opnås, at a = 10 * sin (60º) / sin (45º) = 5√6 ≈ 12.247 cm og c = 10 * sin (75º) / sin (45º) = 5 (1 + √3) ≈ 13.660 cm.

Tredje øvelse

Givet trekant ABC således, at a = 10 cm, b = 15 cm og C = 80º, beregne de andre data for trekanten.

Løsning

I denne øvelse kendes kun en vinkel, derfor kan den ikke startes som i de to foregående øvelser. Også sønneloven kan ikke anvendes, fordi ingen ligning kunne løses.

Derfor fortsætter vi med at anvende kosinusloven. Det er så det

c² = 10² + 15² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325 - 300 * 0,173 ≈ 272,905 cm, så c 16,51 cm. Nu, når vi kender de 3 sider, anvendes sines loven, og det opnås det

10 / sin (A) = 15 / sin (B) = 16,51 cm / sin (80º).

Derfor resulterer løsning for B i sin (B) = 15 * sin (80º) / 16,51 ≈ 0,894, hvilket indebærer, at B ≈ 63,38º.

Nu kan vi opnå, at A = 180º - 80º - 63,38º ≈ 36,62º.

Fjerde øvelse

Siderne af en skråt trekant er a = 5 cm, b = 3 cm og c = 7 cm. Find vinklerne i trekanten.

Løsning

Igen kan sønneloven ikke anvendes direkte, da ingen ligning ville tjene til at opnå værdien af ​​vinklerne.

Ved hjælp af kosinusloven har vi den c² = a² + b² - 2ab cos (C), hvorfra vi løser, at cos (C) = (a² + b² - c²) / 2ab = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2 og derfor C = 120º.

Hvis vi nu kan anvende sønneloven og således opnå 5 / synd (A) = 3 / synd (B) = 7 / synd (120º), hvorfra vi kan løse for B og få den synd (B) = 3 * sin (120º) / 7 = 0,371, så B = 21,79º.

Endelig beregnes den sidste vinkel ved hjælp af A = 180º-120º-21,79º = 38,21º.

Referencer

1. Landaverde, F. d. (1997). Geometri (redprint red.). Fremskridt.
2. Leake, D. (2006). Trekanter (illustreret udg.). Heinemann-Raintree.
3. Pérez, CD (2006). Forkalkulation. Pearson Uddannelse.
4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometrier. CR-teknologi.
5. Sullivan, M. (1997). Forkalkulation. Pearson Uddannelse.
6. Sullivan, M. (1997). Trigonometri og analytisk geometri. Pearson Uddannelse.