SKRÅ LINJER: KARAKTERISTIKA, LIGNINGER OG EKSEMPLER - MATEMATIK - 2025

De skrå linjer er de, der er skrå, enten i forhold til en plan overflade eller en anden linje, der angiver en bestemt adresse. Som et eksempel skal du overveje de tre linjer, der er tegnet i et plan, der vises i den følgende figur.

Vi kender deres respektive relative positioner, fordi vi sammenligner dem med en referencelinie, som normalt er x-aksen, der angiver vandret.

Figur 1. Lodrette, vandrette og skrå linjer i samme plan. Kilde: F. Zapata.

På denne måde ved at vælge den vandrette som reference, linjen til venstre er lodret, den i midten er vandret og den til højre er skråt, da den er skråtstillet i forhold til de daglige referencelinjer.

Nu indtager linjerne, der er i det samme plan, såsom overfladen på papiret eller skærmen forskellige positioner i forhold til hinanden, afhængigt af om de skærer hinanden eller ej. I det første tilfælde er de faste linjer, mens de i det andet er parallelle.

På den anden side kan de sikrede linier være skrå linjer eller vinkelrette linjer. I begge tilfælde er linjernes skråninger forskellige, men de skrå linjer danner vinkler α og ß mellem dem, forskellige fra 90 º, mens vinklerne bestemt af de vinkelrette linjer altid er 90 º.

Følgende figur opsummerer disse definitioner:

Figur 2. Relative positioner mellem linier: parallel, skråt og vinkelret adskiller sig i den vinkel, de danner med hinanden. Kilde: F. Zapata.

ligninger

For at kende linjernes relative positioner i planet er det nødvendigt at kende vinklen mellem dem. Bemærk, at linjerne er:

Parallel: hvis de har den samme hældning (den samme retning) og aldrig krydser hinanden, er deres punkter derfor lige store.

Tilfælde: når alle dens punkter falder sammen og derfor har den samme hældning, men afstanden mellem dens punkter er nul.

Tørretumblere: hvis deres skråninger er forskellige, varierer afstanden mellem deres punkter, og krydset er et enkelt punkt.

Så en måde at vide, om to linjer i flyet er fast eller parallelt, er gennem deres hældning. Kriterierne for parallelisme og vinkelret på linjerne er følgende:

Hvis vi ikke kender skråningerne af to linjer i planet, ingen af ​​ovenstående kriterier er opfyldt, konkluderer vi, at linjerne er skrå. Når man kender to punkter på en linje, beregnes hældningen med det samme, som vi vil se i det næste afsnit.

Du kan finde ud af, om to linjer er i tværsnit eller parallelle ved at finde deres skæringspunkt, løse det system af ligninger, de danner: Hvis der er en løsning, er de i tværsnit, hvis der ikke er nogen løsning, er de parallelle, men hvis opløsningerne er uendelige, er linjerne sammenfaldende.

Dette kriterium informerer os imidlertid ikke om vinklen mellem disse linjer, selvom de krydser hinanden.

For at kende vinklen mellem linjerne har vi brug for to vektorer u og v, der hører til hver af dem. Det er således muligt at kende den vinkel, de danner ved hjælp af det skalariske produkt af vektorerne, defineret på denne måde:

u • v = uvcos α

Ligning af linjen i flyet

En linje i det kartesiske plan kan repræsenteres på flere måder, såsom:

- Hældningsafskærmningsform: hvis m er linjenes hældning og b er skæringspunktet mellem linjen og den lodrette akse, er ligningens ligning y = mx + b.

- Generel ligning af linjen: Ax + By + C = 0, hvor m = A / B er skråningen.

I det kartesiske plan er lodrette og vandrette linjer særlige tilfælde af ligningens ligning.

- Lodrette linjer: x = a

- Horisontale linjer: y = k

Figur 3. Til venstre den lodrette linje x = 4 og den vandrette linje y = 6. Til højre et eksempel på en skråt linje. Kilde: F. Zapata.

I eksemplerne i figur 3 har den lodrette røde linje ligning x = 4, mens linjen parallelt med x-aksen (blå) har ligning y = 6. Med hensyn til linjen til højre ser vi, at den er skråt og for at finde dens ligning bruger vi de punkter, der er fremhævet i figuren: (0,2) og (4,0) på denne måde:

Udskæringen af ​​denne linje med den lodrette akse er y = 2, som det kan ses på grafen. Med disse oplysninger:

Det er enkelt at bestemme hældningsvinklen i forhold til x-aksen. Jeg føler at:

Derfor er den positive vinkel fra x-aksen til linjen: 180º - 26,6º = 153,4º

Eksempler på skrå linjer

Figur 4. Eksempler på skrå linjer. Kilde: fægtere Ian Patterson. Pisas skæve tårn. Pixabay.

Skrå linjer vises mange steder, det er et spørgsmål om at være opmærksom på at finde dem inden for arkitektur, sport, elektrisk forsyningsledning, rør og mange flere steder. I naturen er de skrå linjer også til stede, som vi vil se nedenfor:

Lysstråler

Sollys bevæger sig i en lige linje, men Jordens runde form påvirker, hvordan sollys rammer overfladen.

På billedet herunder kan vi tydeligt se, at solstrålene rammer vinkelret på tropiske regioner, men i stedet skråt når frem til overfladen i tempererede regioner og ved polerne.

Dette er grunden til, at solens stråler bevæger sig i en længere afstand gennem atmosfæren, og også varmen spreder sig over en større overflade (se figur). Resultatet er, at områdene nær polerne er koldere.

Figur 5. Solens stråler falder skråt i de tempererede zoner og poler, i stedet for er de mere eller mindre vinkelret i troperne. Kilde: Wikimedia Commons.

Linjer, der ikke er i samme plan

Når to linjer ikke er i det samme plan, kan de stadig være skråt eller fordrejet, som de også er kendt. I dette tilfælde er deres direktørvektorer ikke parallelle, men da de ikke hører til det samme plan, krydser disse linjer ikke hinanden.

For eksempel er linjerne i figur 6 til højre tydeligt i forskellige planer. Hvis du ser på dem ovenfra, kan du se, at de krydser hinanden, men de har ikke et fælles punkt. Til højre ser vi hjulene på cyklen, hvis eger ser ud til at krydse, når de ses forfra.

Figur 6. Skrå linjer, der hører til forskellige planer. Kilde: venstre F. Zapata, højre Pixabay.

Referencer

1. Geometri. Direktørvektor for en linje. Gendannes fra: juanbragado.es.
2. Larson, R. 2006. Beregning med analytisk geometri. 8.. Edition. McGraw Hill.
3. Matematik er et spil. Linjer og vinkler. Gendannes fra: juntadeandalucia.es.
4. Lige linjer, der krydser hinanden. Gendannes fra: profesoraltuna.com.
5. Villena, M. Analytisk geometri i R3. Gendannes fra: dspace.espol.edu.ec.