SIMPSONS REGEL: FORMEL, BEVIS, EKSEMPLER, ØVELSER - MATEMATIK - 2025

Den Simpson 's reglen er en metode til beregning, ca, bestemte integraler. Det er baseret på at opdele integrationsintervallet i et jævnt antal lige store indbyrdes afstand.

De ekstreme værdier for to på hinanden følgende subintervaller definerer tre punkter, hvormed en parabola, hvis ligning er et andet gradens polynom, passer.

Figur 1. I Simpsons metode er integrationsintervallet opdelt i et jævnt antal intervaller med samme bredde. Funktionen er tilnærmet med en parabola i hver 2 subintervaller, og integralet er tilnærmet med summen af ​​området under parabolerne. Kilde: upv.es.

Derefter er området under funktionens kurve i de to på hinanden følgende intervaller tilnærmet af området for interpolationspolynomet. Ved at tilføje bidraget til området under parabolen af ​​alle de efterfølgende delintervaller har vi den omtrentlige værdi af integralet.

På den anden side, da integralet af en parabola kan beregnes algebraisk nøjagtigt, er det muligt at finde en analytisk formel for den omtrentlige værdi af det bestemte integral. Det er kendt som Simpson-formlen.

Fejlen i det således opnåede omtrentlige resultat falder, når antallet af underinddelinger n er større (hvor n er et jævnt antal).

Der vil blive givet et udtryk nedenfor, der tillader estimering af den øvre grænse for fejlen ved tilnærmelsen til det integrerede I, når der er foretaget en partition af n regelmæssige delintervaller af det samlede interval.

Formel

Integrationsintervallet er opdelt i n subintervaller, hvor n er et jævnt heltal. Bredden af ​​hver underafdeling er:

h = (b - a) / n

På denne måde oprettes partitionen over intervallet:

{X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn}

Hvor X0 = a, X1 = X0 + h, X2 = X0 + 2h,…, Xn-1 = X0 + (n-1) h, Xn = X0 + nh = b.

Formlen, der tillader at tilnærme sig den bestemte integrale I af den kontinuerlige, og fortrinsvis glatte, funktion i intervallet er:

Demonstration

For at opnå Simpsons formel er funktionen f (X) i hver delinterval tilnærmet med en anden grad af polynom p (X) (parabol), der passerer gennem de tre punkter:; og.

Derefter beregnes integralet af polynomet p (x), hvori det tilnærmelses til integralet af funktionen f (X) i dette interval.

Figur 2. Graf for at demonstrere Simpsons formel. Kilde: F. Zapata.

Koefficienter for interpolationspolynomet

Ligningen af ​​parabolen p (X) har den generelle form: p (X) = AX ² + BX + C. Når parabolen passerer gennem punkterne Q angivet i rødt (se figur), er koefficienterne A, B, C bestemmes ud fra følgende ligningssystem:

A (-h) ² - Bh + C = f (Xi)

C = f (Xi + 1)

A (h) ² + B h + C = f (Xi + 2)

Det kan ses, at koefficienten C bestemmes. For at bestemme koefficienten A tilføjer vi den første og den tredje ligning, der får:

2 A h ² + 2 C = f (Xi) + f (Xi + 2).

Derefter erstattes værdien af ​​C, og A ryddes, hvilket forlader:

A = / (2 h ²)

For at bestemme koefficienten B trækkes den tredje ligning fra den første, og B løses, hvilket opnår:

B = = 2 timer.

I resumé har den anden grad af polynom p (X), der passerer gennem punkterne Qi, Qi + 1 og Qi + 2 koefficienter:

A = / (2 h ²)

B = = 2 timer

C = f (Xi + 1)

Beregning af det omtrentlige integral i

Omtrentlig beregning af integralen i

Som allerede nævnt laves en partition {X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn} på det samlede integrationsinterval med trin h = Xi + 1 - Xi = (b - a) / n, hvor n er et jævnt tal.

Tilnærmelsesfejl

Bemærk, at fejlen falder med den fjerde effekt af antallet af underinddelinger i intervallet. Hvis du for eksempel går fra n underafdeling til 2n, falder fejlen med en faktor 1/16.

Den øvre grænse for fejlen opnået ved Simpsons tilnærmelse kan opnås fra denne samme formel, idet den fjerde derivat erstatter den maksimale absolutte værdi af det fjerde derivat i intervallet.

Arbejdede eksempler

- Eksempel 1

Overvej funktionen f (X) = 1 / (1 + X ²).

Find det definitive integral af funktionen f (X) på intervallet ved hjælp af Simpsons metode med to underafdelinger (n = 2).

Løsning

Vi tager n = 2. Integrationsgrænserne er a = -1 og b = -2, så partitionen ser sådan ud:

X0 = -1; X1 = 0 og X2 = +1.

Derfor har Simpsons formel følgende form:

Figur 3. Eksempel på numerisk integration efter Simpsons regel ved hjælp af software. Kilde: F. Zapata.

Referencer

1. Casteleiro, JM 2002. Comprehensive Calculus (Illustreret udgave). Madrid: ESIC Redaktion.
2. UPV. Simpsons metode. Det polytekniske universitet i Valencia. Gendannes fra: youtube.com
3. Purcell, E. 2007. Calculus 9. udgave. Prentice Hall.
4. Wikipedia. Simpsons regel. Gendannet fra: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Lagrange polynomisk interpolation. Gendannet fra: es.wikipedia.com