AKSIAL SYMMETRI: EGENSKABER, EKSEMPLER OG ØVELSER - MATEMATIK - 2025

Den aksiale symmetri er, når punkterne i en figur falder sammen med punkterne i en anden figur af en lige bisector kaldet symmetriakse. Det kaldes også radial, roterende eller cylindrisk symmetri.

Det anvendes normalt i geometriske figurer, men det kan let observeres i naturen, da der er dyr som sommerfugle, skorpioner, marihøner eller mennesker, der præsenterer aksial symmetri.

Aksial symmetri udstilles på dette foto af Toronto's skyline og dets reflektion i vandet. (Kilde: pixabay)

Sådan finder du aksial symmetrisk

For at finde den aksiale symmetri P 'for et punkt P med hensyn til en linje (L) udføres følgende geometriske operationer:

1.- Vinkelret på linjen (L), der passerer gennem punkt P.

2.- Aflytningen af ​​de to linjer bestemmer et punkt O.

3.- Længden af ​​segmentet PO måles, derefter kopieres denne længde på linjen (PO) startende fra O i retning fra P til O, idet punktet P 'bestemmes.

4.- Punkt P 'er den aksiale symmetriske af punkt P med hensyn til aksen (L), da linjen (L) er bisektoren for segmentet PP', som er O midtpunktet for nævnte segment.

Figur 1. To punkter P og P 'er aksialt symmetriske til en akse (L), hvis nævnte akse er en halvering af segmentet PP'

Egenskaber ved aksial symmetri

- Aksial symmetri er isometrisk, det vil sige afstandene af en geometrisk figur og dens tilhørende symmetri bevares.

- Målingen på en vinkel og dens symmetriske er ens.

- Den aksiale symmetri for et punkt på symmetriaksen er selve punktet.

- Den symmetriske linje på en linje, der er parallel med symmetriaksen, er også en linje, der er parallel med nævnte akse.

- En sekantlinie til symmetriaksen har som en symmetrisk linje en anden sekantlinie, der igen skærer symmetriaksen på det samme punkt på den originale linje.

- Det symmetriske billede af en linje er en anden linje, der danner en vinkel med symmetriaksen af ​​samme mål som den for den oprindelige linje.

- Det symmetriske billede af en linje vinkelret på symmetriaksen er en anden linje, der overlapper den første.

- En linje og dens aksiale symmetriske linje danner en vinkel, hvis halvering er symmetriaksen.

Figur 2. Axial symmetri bevarer afstand og vinkler.

Eksempler på aksial symmetri

Naturen udviser rigelige eksempler på aksial symmetri. For eksempel kan du se symmetrien i ansigter, insekter som sommerfugle, reflektionen på rolige vandoverflader og spejle eller planternes blade blandt mange andre.

Figur 3. Denne sommerfugl udviser nær perfekt aksial symmetri. (Kilde: pixabay)

Figur 4. Denne pigens ansigt har aksial symmetri. (Kilde: pixabay)

Axiale symmetriøvelser

Øvelse 1

Vi har trekanten af ​​vertikaterne A, B og C, hvis kartesiske koordinater er henholdsvis A = (2, 5), B = (1, 1) og C = (3,3). Find de kartesiske koordinater for trekanten symmetrisk omkring Y-aksen (ordinatakse).

Løsning: Hvis et punkt P har koordinater (x, y), er dets symmetriske omkring ordinataksen (Y-aksen) P '= (- x, y). Med andre ord ændrer værdien af ​​dens abscissa tegn, mens værdien af ​​ordinaten forbliver den samme.

I dette tilfælde vil den symmetriske trekant med vertikale A ', B' og C 'have koordinater:

A '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) og C' = (- 3, 3) som det kan ses i figur 6.

Figur 6. Hvis et punkt har koordinater (x, y), vil dets symmetriske med hensyn til Y-aksen (ordinatakse) have koordinater (-x, y).

Øvelse 2

Med henvisning til trekant ABC og dets symmetriske A'B'C fra øvelse 1, skal du kontrollere, at de tilsvarende sider af den originale trekant og dens symmetriske har samme længde.

Løsning: For at finde afstanden eller længden på siderne bruger vi den euklidiske afstandsformel:

d (A, B) = √ ((Bx - Ax) ^ 2 + (Af - Ay) ^ 2) = √ ((1-2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((- 1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4.123

Længden på den tilsvarende symmetriske side A'B beregnes nedenfor:

d (A ', B') = √ ((Bx'-Ax ') ^ 2 + (By'-Ay') ^ 2) = √ ((- 1 + 2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4.123

På denne måde kontrolleres det, at aksial symmetri bevarer afstanden mellem to punkter. Proceduren kan gentages for de to andre sider af trekanten og dens symmetriske for at kontrollere invariansen i længden. For eksempel -AC- = -A'C'- = √5 = 2.236.

Øvelse 3

I forhold til trekant ABC og dens symmetriske A'B'C fra øvelse 1, skal du kontrollere, at de tilsvarende vinkler på den originale trekant og dens symmetriske har samme vinkelmåling.

Løsning: For at bestemme målene for vinklerne BAC og B'A'C 'beregner vi først det skalære produkt af vektorerne AB med AC og derefter det skalære produkt af A'B' med A'C '.

Husk at:

A = (2, 5), B = (1, 1) og C = (3,3)

A '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) og C' = (- 3, 3).

Det har:

AB = <1-2, 1-5> og AC = <3-2, 3-5>

på samme måde

A'B ' = <-1 + 2, 1-5> og AC = <-3 + 2, 3-5>

Derefter findes følgende skalariske produkter:

AB⋅AC = <-1, -4> ⋅ <1, -2> = -1⋅1 + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

Tilsvarende

A'B'⋅A'C ' = <1, -4> ⋅ <-1, -2> = 1⋅ (-1) + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

Målet for vinklen BAC er:

∡BAC = ArcCos (AB⋅AC / (- AB- ⋅- AC-)) =

ArcCos (7 / (4.123-2.236)) = 40,6 °

Tilsvarende er målet for vinkel B'A'C:

∡B'A'C '= ArcCos (A'B'⋅A'C' / (- A'B'- ⋅- A'C'-)) =

ArcCos (7 / (4.123-2.236)) = 40,6 °

Konklusionen om, at aksial symmetri bevarer måling af vinklerne.

Øvelse 4

Lad et punkt P være af koordinater (a, b). Find koordinaterne for dens aksiale symmetri P 'med hensyn til linjen y = x.

Løsning: Vi kalder (a ', b') koordinaterne for det symmetriske punkt P 'med hensyn til linjen y = x. Midtpunktet M i segmentet PP 'har koordinater ((a + a') / 2, (b + b ') / 2) og er også på linjen y = x, så følgende lighed gælder:

a + a '= b + b'

På den anden side har segmentet PP 'hældning -1, fordi det er vinkelret på linjen y = x med hældning 1, så følgende lighed gælder:

b - b '= a' -a

Ved at løse for de to foregående ligestillinger a 'og b' konkluderes det, at:

a '= ved det b' = a.

Det vil sige, givet et punkt P (a, b), er dens aksiale symmetri med hensyn til linjen y = x P '(b, a).

Referencer

1. Arce M., Blázquez S og andre. Transformationer af flyet. Gendannes fra: educutmxli.files.wordpress.com
2. Beregning cc. Aksial symmetri. Gendannes fra: calculo.cc
3. Superprof. Aksial symmetri. Gendannes fra: superprof.es
4. wikipedia. Aksial symmetri. Gendannet fra: es.wikipedia.com
5. wikipedia. Cirkulær symmetri. Gendannet fra: en.wikipedia.com