OKTALT SYSTEM: HISTORIE, NUMMERERINGSSYSTEM, KONVERTERINGER - MATEMATIK - 2025

Det octale system er et base-otte (8) positionsnummereringssystem; det vil sige, det består af otte cifre, som er: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 og 7. Derfor kan hvert ciffer i et octaltal have en hvilken som helst værdi fra 0 til 7. Oktaltallene de er dannet ud fra binære tal.

Dette er tilfældet, fordi dens base er en nøjagtig styrke på to (2). Det vil sige, de tal, der hører til det octale system, dannes, når de grupperes i tre på hinanden følgende cifre, ordnet fra højre til venstre, hvilket får deres decimalværdi.

Historie

Det octale system har sin oprindelse i gamle tider, da folk brugte deres hænder til at tælle dyr fra otte til otte.

For at tælle antallet af køer i en stall, begyndte man for eksempel at tælle med højre hånd, idet man kom sammen med tommelfingeren med lillefingeren; For at tælle det andet dyr blev tommelfingeren forbundet med pegefingeren, og så videre med de resterende fingre på hver hånd, indtil færdiggørelse af 8.

Der er en mulighed for, at det ottale nummereringssystem i gamle tider blev anvendt før decimal for at kunne tælle mellemliggende mellemrum; det vil sige, tæl alle fingre undtagen tommelfingre.

Senere blev det oktale nummereringssystem etableret, som stammede fra det binære system, fordi det har brug for mange cifre for kun at repræsentere et tal; fra da af blev der oprettet octale og hexagonale systemer, som ikke kræver så mange cifre og let kan konverteres til det binære system.

Oktalt nummereringssystem

Det octale system består af otte cifre, der går fra 0 til 7. Disse har den samme værdi som for decimalsystemet, men deres relative værdi ændres afhængigt af den placering, de indtager. Værdien af ​​hver position gives af beføjelserne i base 8.

Placeringen af ​​cifrene i et octalt tal har følgende vægt:

8 ⁴, 8 ³, 8 ², 8 ¹, 8 ⁰, octal point, 8 ^-1, 8 ^-2, 8 ^-3, 8 ^-4, 8 ^-5.

Det største octale ciffer er 7; således, når man tæller i dette system, øges en position for et ciffer fra 0 til 7. Når 7 er nået, genanvendes det til 0 for det næste antal; på denne måde øges den næste cifrede position. For at tælle sekvenser vil det i det octale system for eksempel være:

• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10.
• 53, 54, 55, 56, 57, 60.
• 375, 376, 377, 400.

Der er en grundlæggende teorem, der anvendes til det octale system, og det udtrykkes på følgende måde:

I dette udtryk repræsenterer di tallet ciffer multipliceret med kraften i base 8, som angiver placeringsværdien for hvert ciffer, på samme måde som det er ordnet i decimalsystemet.

For eksempel har du nummeret 543.2. For at bringe det til det octale system nedbrydes det som følger:

N = ∑ = (5 * 64) + (4 * 8) + (2 * 1) + (2 * 0,125)

N = 320 +32 + 2 + 0,25 = 354 + 0,25 _d

Vi har således 543,2 _q = 354,25 _d. Subskriptet q angiver, at det er et oktalt tal, der også kan repræsenteres med tallet 8; og underskriften d henviser til decimaltallet, som også kan repræsenteres med tallet 10.

Konvertering fra octalt til decimalt system

For at konvertere et tal fra det octale system til dets ækvivalente i decimalsystemet skal du simpelthen multiplicere hvert octalt ciffer med dets stedværdi, startende fra højre.

Eksempel 1

732 ₈ = (7 _* 8 ²) + (3 _* 8 ¹) + (2 _* 8 ⁰) = (7 _* 64) + (3 _* 8) + (2 _* 1)

732 ₈ = 448 +24 +2

732 ₈ = 474 ₁₀

Eksempel 2

26,9 ₈ = (2 _* 8 ¹) + (6 _* 8 ⁰) + (9 _* 8 ^-1) = (2 _* 8) + (6 _* 1) + (9 _* 0,125)

26,9 ₈ = 16 + 6 + 1,125

26,9 ₈ = 23,125 ₁₀

Konvertering fra decimal til octal system

Et decimaltal kan konverteres til et oktaltal ved hjælp af den gentagne delingsmetode, hvor decimaltalet er divideret med 8, indtil kvotienten er lig med 0, og resten af ​​hver division repræsenterer det oktale tal.

Resterne bestilles fra sidst til første; det vil sige, at den første resterende del er det mindst signifikante ciffer i det oktale antal. På den måde vil det mest markante ciffer være den sidste rest.

Eksempel

Decimalnummer oktalt 266 ₁₀

- Opdel decimaltallet 266 med 8 = 266/8 = 33 + resten af ​​2.

- Delt derefter 33 med 8 = 33/8 = 4 + resten af ​​1.

- Del 4 med 8 = 4/8 = 0 + resten af ​​4.

Som med den sidste division opnås en kvotient mindre end 1, det betyder, at resultatet er fundet; Du skal kun bestille resten omvendt, på en sådan måde, at det oktale antal af decimal 266 er 412, som det kan ses på følgende billede:

Konvertering fra octal til binært system

Konvertering fra octal til binær udføres ved at konvertere det octale ciffer til dets ækvivalente binære ciffer, der består af tre cifre. Der er en tabel, der viser, hvordan de otte mulige cifre konverteres:

Fra disse konverteringer kan ethvert tal fra det octale system til binært ændres, for eksempel for at konvertere tallet 572 _8, vi ser efter dets ækvivalenter i tabellen. Således skal du:

5 ₈ = 101

7 ₈ = 111

2 ₈ = 10

Derfor er 572 ₈ ækvivalent i det binære system til 10111110.

Konvertering fra binær til octal

Processen med at konvertere binære heltal til oktale heltal er det modsatte af den foregående proces.

Det vil sige, at bitene i det binære nummer grupperes i to grupper på tre bit, der starter fra højre til venstre. Derefter foretages konverteringen fra binær til octal med tabellen ovenfor.

I nogle tilfælde vil det binære antal ikke have grupper på 3 bit; for at afslutte det tilføjes en eller to nuller til venstre for den første gruppe.

For eksempel at ændre det binære nummer 11010110 til octal, gør følgende:

- Grupper på 3 bit dannes fra højre (sidste bit):

11010110

- Da den første gruppe er ufuldstændig, tilføjes et førende nul:

011010110

- Konverteringen foretages fra tabellen:

011 = 3

010 = 2

110 = 6

Det binære tal 011010110 er således 326 ₈.

Konvertering fra octal til hexadecimal og vice versa

For at skifte fra et oktalt tal til det hexadecimale system eller fra hexadecimalt til oktalt er det nødvendigt at først konvertere tallet til binært og derefter til det ønskede system.

Til dette er der en tabel, hvor hvert hexadecimalt ciffer er repræsenteret med dets ækvivalent i det binære system, der består af fire cifre.

I nogle tilfælde vil det binære antal ikke have grupper på 4 bit; for at afslutte det tilføjes en eller to nuller til venstre for den første gruppe

Eksempel

Konverter oktaltal 1646 til hexadecimalt tal:

- Konverter tallet fra octal til binær

1 ₈ = 1

6 ₈ = 110

4 ₈ = 100

6 ₈ = 110

- Så, 1646 ₈ = 1110100110.

- For at konvertere fra binær til hexadecimal bestilles de først i en gruppe på 4 bit, der starter fra højre til venstre:

11 1010 0110

- Den første gruppe afsluttes med nuller, så den kan have 4 bit:

0011 1010 0110

- Konverteringen fra binær til hexadecimal udføres. Ækvivalenserne erstattes af tabellen:

0011 = 3

1010 = A

0110 = 6

Det octale tal 1646 er således 3A6 i det hexadecimale system.

Referencer

1. Bressan, AE (1995). Introduktion til nummereringssystemer. Selskabets argentinske universitet.
2. Harris, JN (1957). Introduktion til de binære og octale nummereringssystemer: Lexington, Mass. Armed Services Technical Information Agency.
3. Kumar, AA (2016). Grundlæggende om digitale kredsløb. Læring Pvt.
4. Peris, XC (2009). Enkeltoperative systemer.
5. Ronald J. Tocci, NS (2003). Digitale systemer: principper og applikationer. Pearson Uddannelse.