KVADRATISKE SEKVENSER: EKSEMPLER, REGEL OG LØSTE ØVELSER - MATEMATIK - 2025

De kvadratiske successioner består i matematiske termer af sekvenser af tal, der følger en bestemt regnearkematik. Det er interessant at kende denne regel til at bestemme vilkårene for en sekvens.

En måde at gøre dette på er at bestemme forskellen mellem to på hinanden følgende udtryk og se, om den opnåede værdi altid gentages. Når dette er tilfældet, siges det at være en regelmæssig sekvens.

Talesekvenser er en måde at organisere nummersekvenser på. Kilde: pixabay.com

Men hvis den ikke gentager sig selv, kan du prøve at undersøge forskellen mellem forskellene og se, om denne værdi er konstant. Hvis ja, er det en kvadratisk sekvens.

Eksempler på regelmæssige sekvenser og kvadratiske sekvenser

Følgende eksempler hjælper med at klarlægge, hvad der er blevet forklaret indtil videre:

Eksempel på regelmæssig rækkefølge

Lad sekvensen S = {4, 7, 10, 13, 16, ……}

Denne sekvens, der er betegnet med S, er et uendeligt talesæt, i dette tilfælde med heltal.

Det kan ses, at det er en regelmæssig sekvens, fordi hvert udtryk opnås ved at tilføje 3 til det foregående udtryk eller element:

4

4 + 3 = 7

7+ 3 = 10

10+ 3 = 13

13+ 3 = 16

Med andre ord: denne sekvens er regelmæssig, fordi forskellen mellem det næste udtryk og den forrige giver en fast værdi. I det givne eksempel er denne værdi 3.

De regelmæssige sekvenser, der opnås ved at tilføje en fast mængde til det foregående udtryk kaldes også aritmetiske fremskridt. Og forskellen - konstant - mellem successive udtryk kaldes forholdet og betegnes som R.

Eksempel på ikke-regelmæssig og kvadratisk sekvens

Se nu følgende rækkefølge:

S = {2, 6, 12, 20, 30,….}

Når der beregnes successive forskelle, opnås følgende værdier:

6-2 = 4

12-6 = 6

20-12 = 8

30-20 = 10

Deres forskelle er ikke konstante, så det kan siges, at det er en IKKE regelmæssig sekvens.

Men hvis vi overvejer sæt af forskelle, har vi en anden sekvens, der vil blive betegnet som S _diff:

S _dif = {4, 6, 8, 10,….}

Denne nye sekvens er faktisk en regelmæssig sekvens, da hvert udtryk opnås ved at tilføje den faste værdi R = 2 til den foregående. Derfor kan vi bekræfte, at S er en kvadratisk sekvens.

Generel regel for konstruktion af en kvadratisk sekvens

Der er en generel formel til konstruktion af en kvadratisk sekvens:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C

I denne formel er _Tn udtrykket i sekvensens position n. A, B og C er faste værdier, mens n varierer en efter en, det vil sige 1, 2, 3, 4,…

I sekvensen S i det foregående eksempel A = 1, B = 1 og C = 0. Derfra følger det, at formlen, der genererer alle udtryk, er: T _n = n ² + n

Det vil sige:

T ₁ = 1 ² + 1 = 2

T ₂ = 2 ² + 2 = 6

T ₃ = 3 ² + 3 = 12

T ₅ = 5 ² + 5 = 30

T _n = n ² + n

Forskel mellem to på hinanden følgende udtryk i en kvadratisk sekvens

T _{n + 1} - T _n = -

At udvikle udtrykket gennem bemærkelsesværdigt produkt forbliver:

T _{n + 1} - T _n = A ∙ n ² + A ∙ 2 ∙ n + A + B ∙ n + B + C - A ∙ n ² - B ∙ n - C

Ved at forenkle det får du:

T _{n + 1} - T _n = 2 ∙ A ∙ n + A + B

Dette er formlen, der giver sekvensen af ​​forskelle S _Dif, der kan skrives sådan:

Dif _n = A ∙ (2n + 1) + B

Hvor det næste valg er klart 2 ∙ Nogle gange den foregående. Det vil sige, at forholdet mellem sekvensen af ​​forskelle S _diff er: R = 2 ∙ A.

Løst problemer med kvadratiske sekvenser

Øvelse 1

Lad sekvensen S = {1, 3, 7, 13, 21, ……}. Bestem om:

i) Er det regelmæssigt eller ej

ii) Er det kvadratisk eller ej

iii) Det var kvadratisk, sekvensen af ​​forskelle og deres forhold

svar

i) Lad os beregne forskellen mellem følgende og de foregående udtryk:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21-13 = 8

Vi kan bekræfte, at sekvensen S ikke er regelmæssig, fordi forskellen mellem successive udtryk ikke er konstant.

ii) Sekvensen af ​​forskelle er regelmæssig, fordi forskellen mellem dens udtryk er den konstante værdi 2. Den originale sekvens S er derfor kvadratisk.

iii) Vi har allerede bestemt, at S er kvadratisk, sekvensen af ​​forskellene er:

S _dif = {2, 4, 6, 8,…}, og dens forhold er R = 2.

Øvelse 2

Lad sekvensen S = {1, 3, 7, 13, 21, ……} fra det forrige eksempel, hvor det blev bekræftet, at det er kvadratisk. Bestemme:

i) Formlen, der bestemmer det generelle udtryk _Tn.

ii) Kontroller tredje og femte periode.

iii) Værdien af ​​den tiende periode.

svar

i) Den generelle formel for _Tn er A ∙ n ² + B ∙ n + C. Derefter gjenstår det at kende værdierne for A, B og C.

Differencesekvensen har forhold 2. For enhver kvadratisk sekvens er forholdet R desuden 2 ∙ A som vist i de foregående sektioner.

R = 2 ∙ A = 2, hvilket fører til, at vi konkluderer, at A = 1.

Det første udtryk i sekvensen af ​​forskelle S _Dif er 2 og skal tilfredsstille A ∙ (2n + 1) + B, med n = 1 og A = 1, det vil sige:

2 = 1 ∙ (2 ∙ 1 + 1) + B

løsning for B opnår vi: B = -1

Så er det første udtryk af S (n = 1) værd 1, det vil sige: 1 = A ∙ 1 ² + B ∙ 1 + C. Som vi allerede ved, at A = 1 og B = -1, erstatter vi:

1 = 1 ∙ 1 ² + (-1) ∙ 1 + C

Løsning for C opnår vi dens værdi: C = 1.

Sammenfattende:

A = 1, B = -1 og C = 1

Derefter er det niende udtryk _Tn = n ² - n + 1

ii) Det tredje udtryk T ₃ = 3 ² - 3 + 1 = 7 og det er verificeret. Den femte T ₅ = 5 ² - 5 + 1 = 21, som også er verificeret.

iii) Den tiende periode er T ₁₀ = 10 ² - 10 + 1 = 91.

Øvelse 3

Sekvens af områder til træning 3. Kilde: egen uddybning.

Figuren viser en sekvens på fem figurer. Gitteret repræsenterer længdenheden.

i) Bestem rækkefølgen for figurenes område.

ii) Vis, at det er en kvadratisk sekvens.

iii) Find området i figur # 10 (ikke vist).

svar

i) Sekvensen S svarende til området for figursekvensen er:

S = {0, 2, 6, 12, 20,….. }

ii) Sekvensen, der svarer til de på hinanden følgende forskelle i betingelserne for S, er:

S _diff = {2, 4, 6, 8,….. }

Da forskellen mellem på hinanden følgende termer ikke er konstant, er S ikke en regelmæssig sekvens. Det gjenstår at vide, om det er kvadratisk, som vi igen udfører rækkefølgen af ​​forskellene og opnår:

{2, 2, 2, …….}

Da alle betingelser i sekvensen gentages, bekræftes det, at S er en kvadratisk sekvens.

iii) Sekvensen S _dif er regelmæssig, og dens forhold R er 2. Ved hjælp af ligningen vist ovenfor R = 2 ∙ A forbliver den:

2 = 2 ∙ A, hvilket betyder, at A = 1.

Den anden term i sekvensen af ​​forskelle S _Dif er 4 og den niende sigt af S _Dif er

A ∙ (2n + 1) + B.

Den anden periode har n = 2. Derudover er det allerede bestemt, at A = 1, så ved hjælp af den forrige ligning og substituering har vi:

4 = 1 ∙ (2 ∙ 2 + 1) + B

Løsning for B opnår vi: B = -1.

Det vides, at den anden term i S er værd 2, og at den skal opfylde formlen for det generelle udtryk med n = 2:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C; n = 2; A = 1; B = -1; T ₂ = 2

Det vil sige

2 = 1 ∙ 2 ² - 1 ∙ 2 + C

Det konkluderes, at C = 0, det vil sige, at formlen, der giver det generelle udtryk for sekvensen S, er:

T _n = 1 ∙ n ² - 1 ∙ n +0 = n ² - n

Nu er det femte valgperiode verificeret:

T ₅ = 5 ² - 5 = 20

iii) Figur 10, som ikke er tegnet her, vil have det område, der svarer til det tiende udtryk i sekvensen S:

T ₁₀ = 10 ² - 10 = 90

Referencer

1. https://www.geogebra.org