SUMMEN AF ​​KVADRATERNE MED TO PÅ HINANDEN FØLGENDE TAL - MATEMATIK - 2025

For at finde ud af, hvad der er summen af ​​kvadraterne med to på hinanden følgende tal, kan der findes en formel, som det er nok at erstatte de involverede tal for at opnå resultatet.

Denne formel findes på en generel måde, det vil sige, den kan bruges til ethvert par på hinanden følgende numre.

Ved at sige "fortløbende tal" siger du implicit, at begge tal er hele tal. Og med "firkanterne" henviser han til kvadrering af hvert tal.

For eksempel, hvis tallene 1 og 2 tages i betragtning, er deres firkanter 1² = 1 og 2² = 4, er summen af ​​kvadraterne derfor 1 + 4 = 5.

På den anden side, hvis numrene 5 og 6 tages, er deres firkanter 5² = 25 og 6² = 36, med hvilken summen af ​​kvadraterne er 25 + 36 = 61.

Hvad er summen af ​​firkanterne for to på hinanden følgende tal?

Målet nu er at generalisere, hvad der blev gjort i de foregående eksempler. For at gøre dette er det nødvendigt at finde en generel måde at skrive et helt tal på og dets heltal på hinanden.

Hvis du ser på to på hinanden følgende heltal, for eksempel 1 og 2, kan du se, at 2 kan skrives som 1 + 1. Hvis tallene 23 og 24 overholdes, konkluderes det også, at 24 kan skrives som 23 + 1.

For negative heltal kan denne opførsel også verificeres. Faktisk, hvis -35 og -36 overvejes, kan det ses, at -35 = -36 + 1.

Derfor vælges et helt tal "n", så er heltalet i rækkefølge til "n" "n + 1". Således er der allerede etableret et forhold mellem to på hinanden følgende heltal.

Hvad er summen af ​​firkanterne?

Givet to på hinanden følgende heltal "n" og "n + 1", er deres firkanter "n²" og "(n + 1) ²". Ved hjælp af egenskaber ved bemærkelsesværdige produkter kan dette sidste udtryk skrives som følger:

(n + 1) ² = n² + 2 * n * 1 + 1² = n² + 2n + 1.

Endelig er summen af ​​kvadraterne for de to på hinanden følgende tal angivet med udtrykket:

n² + n² + 2n + 1 = 2n² + 2n +1 = 2n (n + 1) +1.

Hvis den forrige formel er detaljeret, kan det ses, at det er nok at kende det mindste heltal "n" for at vide, hvad summen af ​​kvadraterne er, det vil sige, det er kun nok til at bruge det mindste af de to heltal.

Et andet perspektiv af den opnåede formel er: de valgte tal ganges, derefter opnås det opnåede resultat med 2 og endelig tilføjes 1.

På den anden side er det første tilføjelse til højre et jævnt tal, og tilføjelse af 1 vil resultere i ulige. Dette siger, at resultatet af tilføjelse af kvadraterne med to på hinanden følgende tal altid vil være et ulige tal.

Det kan også bemærkes, at da der tilføjes to firkantede numre, vil dette resultat altid være positivt.

eksempler

1.- Betragt heltalene 1 og 2. Det mindste heltal er 1. Ved hjælp af den forrige formel konkluderes det, at summen af ​​kvadraterne er: 2 * (1) * (1 + 1) +1 = 2 * 2 + 1 = 4 + 1 = 5. Hvilket stemmer overens med de optællinger, der blev foretaget i begyndelsen.

2.- Hvis heltalene 5 og 6 tages, vil summen af ​​kvadraterne være 2 * 5 * 6 + 1 = 60 + 1 = 61, hvilket også falder sammen med det opnåede resultat i begyndelsen.

3.- Hvis heltalene -10 og -9 vælges, er summen af ​​deres firkanter: 2 * (- 10) * (- 9) + 1 = 180 + 1 = 181.

4.- Lad heltalene i denne mulighed være -1 og 0, så er summen af ​​deres firkanter angivet med 2 * (- 1) * (0) + 1 = 0 +1 = 1.

Referencer

1. Bouzas, PG (2004). High School Algebra: Kooperativt arbejde i matematik. Narcea-udgaver.
2. Cabello, RN (2007). Magt og rod. Udgiv dine bøger.
3. Cabrera, VM (1997). Beregning 4000. Redaktionel Progreso.
4. Guevara, MH (nd). Sættet med hele numre. EUNED.
5. Oteyza, E. d. (2003). Albegra. Pearson Uddannelse.
6. Smith, SA (2000). Algebra. Pearson Uddannelse.
7. Thomson. (2006). Videregivet GED: Matematik. InterLingua Publishing.