Den Riemann sum er navnet på den omtrentlige beregning af et bestemt integral, ved hjælp af en diskret summation med et endeligt antal termer. En almindelig anvendelse er tilnærmelsen af ​​funktionsområdet på en graf.

Det var den tyske matematiker Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), der først tilbød en streng definition af integralen af ​​en funktion i et givet interval. Han gjorde det kendt i en artikel, der blev offentliggjort i 1854.

Figur 1. Riemann-summen er defineret på en funktion f og på en partition i intervallet. Kilde: Fanny Zapata.

Riemann-summen er defineret på en funktion y = f (x), med x, der hører til det lukkede interval. På dette interval oprettes en partition P af n elementer:

P = {x ₀ = a, x ₁, x ₂,…, x _n = b}

Dette betyder, at intervallet er opdelt som følger:

x _k-1 ≤ t _k ≤ x _k

Figur 1 viser grafisk Riemann-summen af ​​funktionen f i intervallet på en partition af fire delintervaller, de grå rektangler.

Summen repræsenterer det samlede areal af rektanglerne, og resultatet af denne sum numerisk tilnærmer sig arealet under kurven f, mellem abscissen x = x _{0 og} x = x ₄.

Naturligvis forbedres tilnærmelsen til området under kurven meget, da antallet n af skillevægge er større. På denne måde konvertreres summen til området under kurven, når antallet af partitioner har en tendens til uendelig.

Formler og egenskaber

Riemann-summen af ​​funktionen f (x) på partitionen:

P = {x ₀ = a, x ₁, x ₂,…, x _n = b}

Defineret over intervallet er det givet af:

S (P, f) = ∑ _{k = 1} ⁿ f (t _k) (x _k - x _k-1)

Hvor t _k er en værdi i intervallet. I Riemann-summen bruges normalt regelmæssige intervaller med bredden Δx = (b - a) / n, hvor a og b er minimums- og maksimumværdierne for abscissen, mens n er antallet af underinddelinger.

I dette tilfælde er Riemann den rigtige sum:

Sd (f, n) = * Δx

Figur 2. Riemann højre sum. Kilde: Wikimedia Commons. 09glasgow09.

Mens Riemann's venstre sum udtrykkes som:

Hvis (f, n) = * Δx

Figur 3. Venstre Riemann-sum. Kilde: Wikimedia Commons. 09glasgow09

Endelig er den centrale Riemann-sum:

Sc (f, n) = * Δx

Figur 4. Mellemliggende Riemann-sum. Kilde: Wikimedia Commons. 09glasgow09

Afhængig af hvor det punkt t _k ligger i intervallet, kan Riemann sum overvurdere eller undervurdere den nøjagtige værdi af arealet under kurven for funktionen y = f (x). Med andre ord kan rektanglerne enten stikke ud fra kurven eller være lidt under den.

Området under kurven

Riemann-summenes vigtigste egenskab, og dens betydning stammer fra, er, at hvis antallet af underinddelinger har en tendens til uendelig, konverteres resultatet af summen til det definitive integral af funktionen:

Løst øvelser

- Øvelse 1

Beregn værdien af ​​det definitive integral mellem a = -2 til b = +2 af funktionen:

f (x) = x ²

Gør brug af en Riemann-sum. For at gøre dette skal du først finde summen for n regelmæssige partitioner i intervallet og derefter tage den matematiske grænse for det tilfælde, at antallet af partitioner har en tendens til uendelig.

Løsning

Dette er følgende trin:

-Først defineres partitionsintervallet som:

Δx = (b - a) / n.

-Da ser Riemann-summen til højre svarende til funktionen f (x) sådan ud:

-Og derefter erstattes det omhyggeligt i sammenlægningen:

-Det næste trin er at adskille summationerne og tage de konstante mængder som en fælles faktor for hver sum. Det er nødvendigt at tage højde for, at indekset er i, derfor betragtes antallet og udtrykkene med n som konstant:

-Hver summen vurderes, da der for hver af dem er passende udtryk. For eksempel giver den første af summerne n:

-Finalt er integralet, der skal beregnes:

Læseren kan kontrollere, at dette er det nøjagtige resultat, der kan opnås ved at løse det ubestemte integral og evaluere grænserne for integration efter Barrows regel.

- Øvelse 2

Bestem ca. området under funktionen:

f (x) = (1 / √ (2π)) e ^{(-x 2 /2)}

Indtast x = -1 og x = + 1 ved hjælp af en central Riemann-sum med 10 partitioner. Sammenlign med det nøjagtige resultat, og estim den procentvise forskel.

Løsning

Trinnet eller forøgelsen mellem to på hinanden følgende diskrete værdier er:

Δx = (1 - (-1) / 10 = 0,2

Så partitionen P, som rektanglerne er defineret på, ser sådan ud:

P = {-1,0; -0.8; -0.6; -0.4; -0.2; 0,0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1.0}

Men da det ønskede er den centrale sum, evalueres funktionen f (x) ved midtpunkterne af delintervaller, det vil sige i sættet:

T = {-0,9; -0.7; -0.5; -0.3; -0.1; 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9}.

Den (centrale) Riemann-sum ser sådan ud:

S = f (-0,9) * 0,2 + f (-0,7) * 0,2 + f (-0,5) * 0,2 +… + f (0,7) * 0,2 + f (0,9) * 0,2

Da funktionen f er symmetrisk, er det muligt at reducere summen til kun 5 udtryk, og resultatet ganges med to:

S = 2 * 0,2 * {f (0,1) + f (0,3) + f (0,5) + f (0,7) + f (0,9)}

S = 2 * 0,2 * {0,397+ 0,381+ 0,352+ 0,312+ 0,266} = 0,663

Funktionen, der er givet i dette eksempel, er ingen ringere end den velkendte Gausseklokke (normaliseret, med et middel lig med nul og standardafvigelse). Området under kurven i intervallet for denne funktion vides at være 0,6827.

Figur 5. Område under en gaussisk klokke tilnærmet en Riemann-sum. Kilde: F. Zapata.

Dette betyder, at den omtrentlige løsning med kun 10 udtryk matcher den nøjagtige løsning med tre decimaler. Den procentvise fejl mellem det omtrentlige og det nøjagtige integral er 0,07%.

Referencer

1. Casteleiro, JM, & Gómez-Álvarez, RP (2002). Integreret beregning (Illustreret red.). Madrid: ESIC Redaktion.
2. Unican. Historie om begrebet integreret. Gendannes fra: repositorio.unican.es
3. UIS. Riemann opsummerer. Gendannes fra: matematicas.uis.edu.co
4. Wikipedia. Riemann sum. Gendannet fra: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Riemann integration. Gendannet fra: es.wikipedia.com