TELESKOPISK OPSUMMERING: HVORDAN DET LØSES OG ØVELSER LØSES - MATEMATIK

Den sum teleskopiske er en filial operationer talrække. Den beskæftiger sig med summeringen af elementer fra en startværdi til “n” af udtryk, hvis argument adlyder et af følgende mønstre:

(F _x - F _{x + 1}); (F _{x + 1} - F _x)

Som også:

Kilde: Pixabay.com

De repræsenterer en sammenlægning af elementer, der, når de udvikles, udsættes for annullering af modsatte vilkår. Gør det muligt at definere følgende lighed for teleskopiske summeringer:

Navnet kommer fra forholdet til udseendet af et klassisk teleskop, der kunne foldes og foldes ud, hvilket især ændrer dens dimension. På samme måde kan teleskopiske opsummeringer, der er uendelige i naturen, sammenfattes i det forenklede udtryk:

F ₁ - F _{n + 1}

Demonstration

Når man udvikler sammenlægningen af termer, er eliminering af faktorer ret åbenlyst. Hvor der for hvert af tilfældene vises modsatte elementer i den næste iteration.

Det første tilfælde, (F _x - F _{x + 1}), vil blive taget som et eksempel, da processen fungerer på en homolog måde for (F _{x + 1} –F _x).

Udviklingen af de første 3 værdier {1, 2, 3} observeres tendensen til forenkling

X ₁ (F ₁ - F _{1 + 1}) = F ₁ - F ₂

X ₂ (F ₂ - F _{2 + 1}) = F ₂ - F ₃

X ₃ (F ₃ - F _{3 + 1}) = F ₃ - F ₄

Hvor når man udtrykker summen af de beskrevne elementer:

X ₁ + X ₂ + X ₃ = F ₁ - F ₂ + F ₂ - F ₃ + F ₃ - F ₄

Det bemærkes, at udtrykkene F ₂ og F ₃ beskrives sammen med deres modsætninger, hvilket gør deres forenkling uundgåelig. På samme måde er det konstateret, at udtrykkene F ₁ og F ₄ fastholdes.

Hvis summen blev foretaget fra x = 1 til x = 3, betyder det, at elementet F ₄ svarer til det generiske udtryk F _{n + 1.}

Således demonstrerer lighed:

Hvordan løses det?

Formålet med de teleskopiske sammenlægninger er at lette arbejdet, så det ikke er nødvendigt at udvikle et uendeligt antal udtryk eller at forenkle en række kæder af tilføjelser, der er for lange.

Til dens opløsning vil det kun være nødvendigt at evaluere udtrykkene F ₁ og F _{n + 1}. Disse enkle udskiftninger udgør det endelige resultat af sammenlægningen.

Totaliteten af vilkårene udtrykkes ikke, hvilket bliver nødvendigt kun for at demonstrere resultatet, men ikke for den normale beregningsproces.

Den vigtige ting er at bemærke konvergensen i nummerserien. Nogle gange vil summationsargumentet ikke blive udtrykt teleskopisk. I disse tilfælde er implementeringen af alternative factoringmetoder meget almindelig.

Den karakteristiske faktoriseringsmetode i teleskopiske tilføjelser er den for simple fraktioner. Dette sker, når en original fraktion nedbrydes til en sum af flere fraktioner, hvor det teleskopiske mønster (F _x - F _{x + 1}) eller (F _{x + 1} - F _x) kan observeres.

Nedbrydning i enkle fraktioner

For at verificere konvergensen af numeriske serier er det meget almindeligt at transformere rationelle udtryk med den enkle brøkmetode. Målet er at modellere plotet i form af en teleskopisk summering.

For eksempel repræsenterer følgende lighed en nedbrydning i enkle fraktioner:

Når du udvikler nummerserier og anvender de tilsvarende egenskaber, har udtrykket følgende form:

Hvor den teleskopiske form er værdsat (F _x - F _{x + 1}).

Proceduren er ganske intuitiv og består i at finde værdierne på tælleren, der uden at bryde ligheden giver os mulighed for at adskille de produkter, der findes i nævneren. Ligningerne, der opstår ved bestemmelsen af disse værdier, hæves i henhold til sammenligninger mellem begge sider af ligheden.

Denne procedure observeres trin for trin i udviklingen af øvelse 2.

Historie

Det er ganske usikkert at kunne definere det historiske øjeblik, hvor de teleskopiske sammenlægninger blev præsenteret. Imidlertid begynder dens implementering at blive set i det syttende århundrede i undersøgelserne af numeriske serier udført af Leibniz og Huygens.

Begge matematikere, der udforsker sammenlægningerne af trekantede tal, begynder at lægge mærke til tendenser i konvergensen af bestemte række successive elementer. Men endnu mere interessant er begyndelsen på modelleringen af disse udtryk, i elementer, der ikke nødvendigvis følger hinanden.

Faktisk er det udtryk, der tidligere blev brugt til at henvise til enkle fraktioner:

Det blev introduceret af Huygens og fangede straks Leibniz's opmærksomhed. Hvem over tid kunne observere konvergensen til værdien 2. Uden at vide det implementerede han det teleskopiske opsummeringsformat.

Øvelser

Øvelse 1

Definer til hvilket udtryk følgende sum konvergerer:

Når man manuelt udvikler summen, observeres følgende mønster:

(2 ³ - 2 ⁴) + (2 ⁴ - 2 ⁵) + (2 ⁵ - 2 ⁶)…. (2 ¹⁰ - 2 ¹¹)

Hvor faktorerne fra 2 ⁴ til 2 ¹⁰ viser positive og negative dele, hvilket gør deres annullering tydeligt. Så er de eneste faktorer, der ikke vil blive forenklet, den første "2 ³ " og den sidste "2 ¹¹ ".

På denne måde opnås følgende, når man implementerer det teleskopiske opsummeringskriterium:

Øvelse 2

Transformer argumentet til en sammenlægning af teleskopisk type og definer seriens konvergens:

Som angivet i udsagnet, er den første ting at gøre at nedbrydes til enkle fraktioner for at gentage argumentet og udtrykke det på en teleskopisk måde.

Du skal finde 2 fraktioner, hvis nævnere er henholdsvis "n" og "n + 1", hvor metoden, der bruges nedenfor, skal opnå værdierne på tælleren, der tilfredsstiller ligheden.

Vi fortsætter med at definere værdierne for A og B. Først tilføjes fraktionerne.

Derefter forenkles nævnerne, og der etableres en lineær ligning.

I det næste trin betjenes udtrykket til højre, indtil et mønster, der kan sammenlignes med “3” til venstre, opnås.

For at definere ligningerne, der skal bruges, skal resultaterne fra begge sider af ligheden sammenlignes. Med andre ord observeres ingen værdier af variablen n på venstre side, på denne måde skal A + B være lig med nul.

A + B = 0; A = -B

På den anden side skal den konstante værdi A være lig med den konstante værdi 3.

A = 3

Dermed.

A = 3 og B = -3

Når tællerværdierne for de enkle fraktioner allerede er defineret, ændres summeringen.

Hvor den generiske form for teleskopisk opsummering allerede er opnået. Den teleskopiske serie er udviklet.

Hvor når man deler med et meget stort antal, vil resultatet komme nærmere og tættere på nul, idet seriens konvergens til værdien 3 ses.

Denne type serier kunne ikke løses på anden måde på grund af det uendelige antal iterationer, der definerer problemet. Imidlertid indrammer denne metode sammen med mange andre grenen af undersøgelse af numeriske serier, hvis mål er at bestemme konvergensværdier eller definere divergensen i nævnte serie.

Referencer

Infinitesimal lektioner i beregningen. Manuel Franco, Manuel Franco Nicolás, Francisco Martínez González, Roque Molina Legaz. EDITUM, 1994.
Integreret beregning: Sekvenser og serier af funktioner. Antonio Rivera Figueroa. Grupo Editorial Patria, 21. oktober. 2014.
Et kursus i beregning og reel analyse. Sudhir R. Ghorpade, Balmohan V. Limaye. Springer Science & Business Media, 5. juni. 2006.
Uendelig serie. Tomlinson Fort. The Clarendon Press, 1930.
Elementer i teorien om uendelige processer. Lloyd Leroy Smail. McGraw-Hill Book Company, Incorporated, 1923.

TELESKOPISK OPSUMMERING: HVORDAN DET LØSES OG ØVELSER LØSES - MATEMATIK - 2025