Den Bayes 'teorem er en procedure, der giver os mulighed for at udtrykke den betingede sandsynlighed for en tilfældig hændelse En given B, i form af sandsynlighedsfordelingen for begivenheden A og B siden sandsynlighedsfordelingen for kun A.
Denne sætning er meget nyttig, da vi takket være den kan relatere sandsynligheden for, at en hændelse A forekommer, vel vidende om, at B forekom, med sandsynligheden for, at det modsatte opstår, det vil sige, at B forekommer givet A.
Bayes 'teorem var en sølvproposition af pastor Thomas Bayes, en engelsk teolog fra det 18. århundrede, der også var matematiker. Han var forfatter til flere værker inden for teologi, men i øjeblikket er han kendt for et par matematiske afhandlinger, blandt hvilke ovennævnte Bayes sætning fremtræder som hovedresultatet.
Bayes behandlede dette teorem i en artikel med titlen "Et essay til løsning af et problem i doktrinen om chancer", der blev offentliggjort i 1763, og hvor der er udviklet et stort antal. studier med applikationer inden for forskellige videnområder.
Forklaring
For det første for en bedre forståelse af dette teorem er nogle grundlæggende forestillinger om sandsynlighedsteori nødvendige, især multiplikationsteoremet for betinget sandsynlighed, der siger, at
For E og A vilkårlige begivenheder i et eksempelrum S.
Og definitionen af skillevægge, som fortæller os, at hvis vi har A 1, A 2,…, A n begivenheder af udfaldsrummet S, vil disse danne en partition af S, hvis A jeg udelukker hinanden, og deres fagforening er S.
På baggrund af dette, lad B være en anden begivenhed. Så vi kan se B som
Hvor A i krydset B er gensidigt eksklusive begivenheder.
Og som konsekvens heraf
Brug derefter multiplikationssætningen
På den anden side er den betingede sandsynlighed for Ai givet B defineret af
Ved at erstatte det passende har vi det for enhver i
Anvendelser af Bayes 'sætning
Takket være dette resultat har forskningsgrupper og forskellige virksomheder formået at forbedre systemer, der er baseret på viden.
F.eks. I undersøgelsen af sygdomme kan Bayes teorem hjælpe med at skelne mellem sandsynligheden for, at en sygdom findes i en gruppe mennesker med en given egenskab, idet de tager de globale sygdomsrater og overvægt af de nævnte egenskaber som data. både sunde og syge mennesker.
På den anden side har verden i højteknologierne haft indflydelse på store virksomheder, der har udviklet takket være dette resultat ”videnbaseret” software.
Som et dagligt eksempel har vi Microsoft Office-assistenten. Bayes teorem hjælper softwaren med at evaluere de problemer, som brugeren præsenterer og bestemme, hvilket råd han skal give ham og dermed være i stand til at tilbyde en bedre service i henhold til brugerens vaner.
Denne formel blev især ignoreret indtil for nylig, det skyldes hovedsageligt, at da dette resultat blev udviklet for 200 år siden, var der kun lidt praktisk brug for dem. Imidlertid har forskere i vores tid, takket være store teknologiske fremskridt, fundet måder at omsætte dette resultat til.
Løst øvelser
Øvelse 1
Et mobiltelefonselskab har to maskiner A og B. 54% af de producerede mobiltelefoner er fremstillet af maskine A og resten af maskine B. Ikke alle producerede mobiltelefoner er i god stand.
Andelen af defekte mobiltelefoner foretaget af A er 0,2 og af B er 0,5. Hvad er sandsynligheden for, at en mobiltelefon fra fabrikken er defekt? Hvad er sandsynligheden for, at når man vide, at en mobiltelefon er defekt, kommer den fra maskine A?
Løsning
Her har du et eksperiment, der udføres i to dele; i den første del sker begivenhederne:
A: celle fremstillet af maskine A.
B: celle fremstillet af maskine B.
Da maskine A producerer 54% af mobiltelefoner, og resten produceres af maskine B, følger det, at maskine B producerer 46% af mobiltelefoner. Sandsynligheden for disse begivenheder er angivet, nemlig:
P (A) = 0,54.
P (B) = 0,46.
Begivenhederne i den anden del af eksperimentet er:
D: defekt mobiltelefon.
E: ikke-defekt mobiltelefon.
Som anført i redegørelsen afhænger sandsynligheden for disse begivenheder af resultatet opnået i første del:
P (DA) = 0,2.
P (DB) = 0,5.
Ved hjælp af disse værdier kan sandsynligheden for komplementerne til disse begivenheder også bestemmes, dvs.
P (EA) = 1 - P (DA)
= 1 - 0,2
= 0,8
og
p (EB) = 1 - P (DB)
= 1 - 0,5
= 0,5.
Nu kan hændelse D skrives som følger:
Brug af multiplikationssætningen til betingede sandsynlighedsresultater:
Hvorpå det første spørgsmål besvares.
Nu behøver vi kun at beregne P (AD), som Bayes sætning anvendes til:
Takket være Bayes teorem kan det siges, at sandsynligheden for, at en mobiltelefon blev lavet af maskine A, vel vidende, at mobiltelefonen er defekt, er 0,319.
Øvelse 2
Tre kasser indeholder sorte og hvide bolde. Sammensætningen af hver af dem er som følger: U1 = {3B, 1N}, U2 = {2B, 2N}, U3 = {1B, 3N}.
En af kasserne vælges tilfældigt, og en bold tegnes tilfældigt, hvilket viser sig at være hvid. Hvad er kassen mest sandsynligt valgt?
Løsning
Ved hjælp af U1, U2 og U3 repræsenterer vi også det valgte felt.
Disse begivenheder udgør en partition af S, og det verificeres, at P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3, da valget af boksen er tilfældigt.
Hvis B = {den trukket kugle er hvid}, vil vi have P (B-U1) = 3/4, P (B-U2) = 2/4, P (B-U3) = 1/4.
Hvad vi ønsker at opnå, er sandsynligheden for, at bolden er taget ud af boksen Ui ved at vide, at den nævnte bold var hvid, det vil sige P (Ui-B), og se, hvilken af de tre værdier der var den højeste, der vidste, hvilken boks har sandsynligvis været udvindingen af køballen.
Anvendelse af Bayes 'sætning på den første af boksene:
Og for de to andre:
P (U2-B) = 2/6 og P (U3-B) = 1/6.
Derefter er den første af kasserne den med størst sandsynlighed for at være blevet valgt til ekstraktion af køballen.
Referencer
- Kai Lai Chung. Elementær praktisk teori med stokastiske processer. Springer-Verlag New York Inc
- Kenneth.H. Rosen, diskret matematik og dens applikationer. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
- Paul L. Meyer. Sandsynlighed og statistiske anvendelser. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 løste problemer med diskret matematik. McGraw-Hill.
- Seymour Lipschutz Ph.D. Teori og sandsynlighedsproblemer. McGraw-Hill.