Den Bolzano sætning hedder, at hvis en funktion er kontinuert i ethvert punkt af en lukket interval og er tilfreds, at billedet af "a" og "b" (under funktionen) har modsat fortegn, så vil der være mindst ét punkt " c "i det åbne interval (a, b), på en sådan måde, at den evaluerede funktion i" c "vil være lig med 0.
Denne teorem blev udskrevet af filosofen, teologen og matematikeren Bernard Bolzano i 1850. Denne videnskabsmand, født i nutidig Tjekkiet, var en af de første matematikere i historien, der formelt bevisede egenskaberne ved kontinuerlige funktioner.
Forklaring
Bolzanos teorem er også kendt som mellemværdiers sætning, som hjælper med at bestemme specifikke værdier, især nuller, for visse reelle funktioner i en reel variabel.
I en given funktion fortsætter f (x) - det er, at f (a) og f (b) er forbundet med en kurve-, hvor f (a) er under x-aksen (det er negativt), og f (b) med over x-aksen (det er positivt), eller omvendt, grafisk vil der være et afskæringspunkt på x-aksen, der repræsenterer en mellemværdi «c», der vil være mellem «a» og «b», og værdien af f (c) vil være lig med 0.
Når man grafisk analyserer Bolzanos teorem, kan det ses, at for hver kontinuerlig funktion f defineret i et interval, hvor f (a) * f (b) er mindre end 0, vil der være mindst en rod «c» til denne funktion inden for af intervallet (a, b).
Denne sætning fastlægger ikke antallet af punkter i det åbne interval, det siger kun, at der er mindst 1 point.
Demonstration
For at bevise Bolzanos teorem antages det uden tab af generalitet, at f (a) <0 og f (b)> 0; der kan således være mange værdier mellem "a" og "b", for hvilke f (x) = 0, men kun en skal vises.
Vi starter med at evaluere f ved midtpunktet (a + b) / 2. Hvis f ((a + b) / 2) = 0, slutter beviset her; Ellers er f ((a + b) / 2) positiv eller negativ.
En af halvdelene af intervallet vælges, således at tegnene på den funktion, der evalueres ved yderpunkterne, er forskellige. Dette nye interval bliver.
Nu, hvis f evalueret ved midtpunktet af ikke er nul, udføres den samme operation som før; det vil sige, at halvdelen af dette interval vælges, der opfylder betingelserne for skiltene. Lad dette være det nye interval.
Hvis du fortsætter med denne proces, vil du have to sekvenser {an} og {bn}, således at:
{an} stiger, og {bn} falder:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤…. ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
Hvis du beregner længden af hvert interval, skal du:
b1-a1 = (ba) / 2.
b2-a2 = (ba) / 2².
….
bn-an = (ba) / 2 ^ n.
Derfor er grænsen, når n nærmer sig uendelighed af (bn-an), lig med 0.
Brug af {an} er stigende og afgrænset og {bn} er faldende og afgrænset, vi har, at der findes en værdi «c», således at:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤….≤ c ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
Grænsen for en er "c", og grænsen for {bn} er også "c". Derfor, givet ethvert δ> 0, er der altid et "n", således at intervallet er indeholdt i intervallet (c-δ, c + 5).
Nu skal det vises, at f (c) = 0.
Hvis f (c)> 0, eksisterer der en ε> 0, da f er kontinuerlig, så f er positiv over hele intervallet (c - ε, c + ε). Som nævnt ovenfor er der imidlertid en værdi "n", således at f ændringer logger på og desuden er indeholdt i (c - ε, c + ε), hvilket er en modsigelse.
Hvis f (c) <0, eksisterer der en ε> 0, da f er kontinuerlig, så f er negativ i hele intervallet (c - ε, c + ε); men der findes en værdi "n", så f ændrer login. Det viser sig, at det er indeholdt i (c - ε, c + ε), hvilket også er en modsigelse.
Derfor er f (c) = 0, og det er det, vi ønskede at bevise.
Hvad er det for?
Fra sin grafiske fortolkning bruges Bolzanos teorem til at finde rødder eller nuller i en kontinuerlig funktion gennem halvering (tilnærmelse), som er en inkrementel søgemetode, der altid deler intervallerne med 2.
Derefter tages et interval, eller hvor tegnskiftet forekommer, og processen gentages, indtil intervallet er mindre og mindre for at kunne nærme sig den ønskede værdi; det vil sige til den værdi, som funktionen skaber 0.
Kort sagt, for at anvende Bolzanos teorem og således finde rødderne, begrænse nulpunkterne på en funktion eller give en løsning på en ligning, udføres følgende trin:
- Det verificeres, om f er en kontinuerlig funktion i intervallet.
- Hvis intervallet ikke er givet, skal man finde, hvor funktionen er kontinuerlig.
- Det kontrolleres, om ekstreme intervaller giver modsatte tegn, når de vurderes i f.
- Hvis der ikke opnås modsatte tegn, skal intervallet opdeles i to delintervaller ved hjælp af midtpunktet.
- Evaluer funktionen i midtpunktet, og kontroller, at Bolzano-hypotesen er tilfreds, hvor f (a) * f (b) <0.
- Afhængigt af tegnet (positiv eller negativ) for den fundne værdi gentages processen med et nyt underinterval, indtil ovennævnte hypotese er opfyldt.
Løst øvelser
Øvelse 1
Bestem, om funktionen f (x) = x 2 - 2, har mindst en reel løsning i intervallet.
Løsning
Vi har funktionen f (x) = x 2 - 2. Da den er polynom, betyder det, at den er kontinuerlig i ethvert interval.
Det bliver bedt om at bestemme, om det har en reel løsning i intervallet, så nu er det kun nødvendigt at erstatte enderne af intervallet i funktionen for at kende tegnet på disse og vide, om de opfylder betingelsen for at være forskellige:
f (x) = x 2 - 2
f (1) = 1 2 - 2 = -1 (negativ)
f (2) = 2 2 - 2 = 2 (positiv)
Derfor skal tegn på f (1) ≠ tegn f (2).
Dette sikrer, at der er mindst et punkt "c", der hører til intervallet, hvor f (c) = 0.
I dette tilfælde kan værdien af "c" let beregnes som følger:
x 2 - 2 = 0
x = ± √2.
Således hører √2 ≈ 1,4 til intervallet og opfylder, at f (√2) = 0.
Øvelse 2
Vis at ligningen x 5 + x + 1 = 0 har mindst en reel løsning.
Løsning
Lad os først bemærke, at f (x) = x 5 + x + 1 er en polynomisk funktion, hvilket betyder, at den er kontinuerlig på alle reelle tal.
I dette tilfælde gives der intet interval, så værdier skal vælges intuitivt, helst tæt på 0, for at evaluere funktionen og finde tegnændringerne:
Hvis du bruger intervallet, skal du:
f (x) = x 5 + x + 1.
f (0) = 0 5 + 0 + 1 = 1> 0.
f (1) = 1 5 + 1 + 1 = 3> 0.
Da der ikke er nogen tegnændring, gentages processen med et andet interval.
Hvis du bruger intervallet, skal du:
f (x) = x 5 + x + 1.
f (-1) = (-1) 5 + (-1) + 1 = -1 <0.
f (0) = 0 5 + 0 + 1 = 1> 0.
I dette interval er der en ændring af tegn: tegn på f (-1) ≠ tegn på f (0), hvilket betyder, at funktionen f (x) = x 5 + x + 1 har mindst en reel rod «c» i intervallet, således at f (c) = 0. Med andre ord er det sandt, at x 5 + x + 1 = 0 har en reel løsning i intervallet.
Referencer
- Bronshtein I, SK (1988). Manual for matematik for ingeniører og studerende.. Redaktionel MIR.
- George, A. (1994). Matematik og sind. Oxford University Press.
- Ilín V, PE (1991). Matematisk analyse. I tre bind..
- Jesús Gómez, FG (2003). Lærere i gymnasiet. Bind II. GAL.
- Mateos, ML (2013). Grundlæggende egenskaber ved analyse i R. Editores, 20. dec.
- Piskunov, N. (1980). Differential og integreret beregning..
- Sydsaeter K, HP (2005). Matematik til økonomisk analyse. Felix Varela.
- William H. Barker, RH (nd). Kontinuerlig symmetri: Fra euklid til Klein. American Mathematical Soc.