CHEBYSHOVS SÆTNING: HVAD DET ER, APPLIKATIONER OG EKSEMPLER - MATEMATIK - 2025

Den sætning Chebyshev (Chebyshev eller ulighed) er en af de vigtigste klassiske resultater af teorien om sandsynlighed. Det tillader at estimere sandsynligheden for en begivenhed beskrevet i form af en tilfældig variabel X ved at give os en grænse, der ikke afhænger af fordelingen af ​​den tilfældige variabel, men af ​​X's varians.

Sætningen er opkaldt efter den russiske matematiker Pafnuty Chebyshov (også skrevet som Chebychev eller Tchebycheff), der til trods for ikke at være den første til at anføre teorem, var den første, der beviste et bevis i 1867.

Denne ulighed, eller dem, der på grund af deres egenskaber kaldes Chebyshovs ulighed, bruges hovedsageligt til at tilnærme sandsynligheder ved at beregne højder.

Hvad består det af?

I studiet af sandsynlighedsteori sker det, at hvis fordelingsfunktionen af ​​en tilfældig variabel X er kendt, kan dens forventede værdi eller matematisk forventning E (X) - og dens varians Var (X) beregnes, så længe sådanne beløb findes. Imidlertid er det omvendte ikke nødvendigvis sandt.

Det vil sige at kende E (X) og Var (X) er det ikke nødvendigvis muligt at opnå fordelingsfunktionen af ​​X, derfor er mængder såsom P (-X-> k) for nogle k> 0 meget vanskelige at få. Men takket være Chebyshovs ulighed er det muligt at estimere sandsynligheden for den tilfældige variabel.

Chebyshovs sætning fortæller os, at hvis vi har en tilfældig variabel X over et prøverum S med en sandsynlighedsfunktion p, og hvis k> 0, så:

Anvendelser og eksempler

Blandt de mange anvendelser af Chebyshovs sætning kan følgende nævnes:

Begrænsning af sandsynligheder

Dette er den mest almindelige anvendelse og bruges til at give en øvre grænse for P (-XE (X) -≥k), hvor k> 0, kun med variansen og forventningen til den tilfældige variabel X, uden at kende sandsynlighedsfunktionen.

Eksempel 1

Antag, at antallet af produkter, der er produceret i en virksomhed i løbet af en uge, er en tilfældig variabel med et gennemsnit på 50.

Hvis det vides, at variansen af ​​en produktionsuge er lig med 25, hvad kan vi så sige om sandsynligheden for, at produktionen denne uge afviger med mere end 10 fra gennemsnittet?

Løsning

Anvendelse af Chebyshovs ulighed har vi:

Herfra kan vi opnå, at sandsynligheden for, at antallet af artikler i produktionsugen overstiger gennemsnittet med mere end 10, højst er 1/4.

Bevis for begrænsningssætninger

Chebyshovs ulighed spiller en vigtig rolle for at bevise de vigtigste grænse-sætninger. Som eksempel har vi følgende:

Svag lov af stort antal

Denne lov angiver, at der gives en sekvens X1, X2,…, Xn,… af uafhængige tilfældige variabler med den samme gennemsnitlige fordeling E (Xi) = μ og varians Var (X) = σ ², og en kendt gennemsnitlig prøve af:

Så for k> 0 har vi:

Eller tilsvarende:

Demonstration

Lad os først bemærke følgende:

Da X1, X2,…, Xn er uafhængige, følger det at:

Derfor er det muligt at angive følgende:

Derefter har vi ved hjælp af Chebyshovs sætning:

Endelig er teoremet et resultat af, at grænsen til højre er nul, når n nærmer sig uendelighed.

Det skal bemærkes, at denne test kun blev foretaget i det tilfælde, hvor variationen af ​​Xi eksisterer; det vil sige, at den ikke afviger. Således observerer vi, at teoremet altid er sandt, hvis E (Xi) eksisterer.

Chebyshov begrænsningssætning

Hvis X1, X2,…, Xn,… er en sekvens af uafhængige tilfældige variabler, således at der findes noget C <uendeligt, således at Var (Xn) ≤ C for alle naturlige n, så for enhver k> 0:

Demonstration

Da sekvensen af ​​afvigelser er ensartet afgrænset, har vi den Var (Sn) ≤ C / n for alle naturlige n. Men vi ved, at:

Få n tendens til uendelig, følgende resultater:

Da en sandsynlighed ikke kan overstige værdien 1, opnås det ønskede resultat. Som en konsekvens af dette sætning kunne vi nævne det særlige tilfælde af Bernoulli.

Hvis et eksperiment gentages n gange uafhængigt med to mulige resultater (fiasko og succes), hvor p er sandsynligheden for succes i hvert eksperiment og X er den tilfældige variabel, der repræsenterer antallet af opnåede succeser, så for hver k> 0 du skal:

Prøvestørrelse

Med hensyn til varians giver Chebyshov-uligheden os mulighed for at finde en prøvestørrelse n, der er tilstrækkelig til at garantere, at sandsynligheden for, at -Sn-μ -> = k forekommer, er så lille som ønsket, hvilket tillader en tilnærmelse til gennemsnittet.

Lad X1, X2,… Xn specifikt være en prøve af uafhængige tilfældige variabler i størrelse n og antage, at E (Xi) = μ og dens varians σ ². Så ved Chebyshovs ulighed har vi:

Eksempel

Antag, at X1, X2,… Xn er en prøve af uafhængige tilfældige variabler med Bernoulli-fordeling, således at de tager værdien 1 med sandsynlighed p = 0,5.

Hvad skal størrelsen på prøven være for at kunne garantere, at sandsynligheden for, at forskellen mellem det aritmetiske middelværdi og dens forventede værdi (overstiger mere end 0,1), er mindre end eller lig med 0,01?

Løsning

Vi har, at E (X) = μ = p = 0,5, og at Var (X) = σ ² = p (1-p) = 0,25. Ved Chebyshovs ulighed har vi for enhver k> 0:

Nu med k = 0,1 og 5 = 0,01, har vi:

På denne måde konkluderes det, at en prøvestørrelse på mindst 2.500 er nødvendig for at garantere, at sandsynligheden for hændelsen -Sn - 0,5 -> = 0,1 er mindre end 0,01.

Forskelle i Chebyshov-type

Der er adskillige uligheder knyttet til Chebyshovs ulighed. En af de mest kendte er Markov-uligheden:

I dette udtryk er X en ikke-negativ tilfældig variabel med k, r> 0.

Markov-uligheden kan antage forskellige former. Lad Y for eksempel være en ikke-negativ tilfældig variabel (så P (Y> = 0) = 1) og antag, at E (Y) = μ findes. Antag også, at (E (Y)) ^r = μ _r findes for noget heltal r> 1. Så:

En anden ulighed er Gaussian, der fortæller os, at der givet en utimodal tilfældig variabel X med tilstand ved nul, derefter for k> 0,

Referencer

1. Kai Lai Chung. Elementær praktisk teori med stokastiske processer. Springer-Verlag New York Inc
2. Kenneth.H. Rosen, diskret matematik og dens applikationer. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Sandsynlighed og statistiske anvendelser. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 løste problemer med diskret matematik. McGraw-Hill.
5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teori og sandsynlighedsproblemer. McGraw-Hill.