EUKLIDS SÆTNING: BEVIS, ANVENDELSE OG ØVELSER - MATEMATIK - 2025

Den Euclid sætning viser egenskaberne af en trekant til tegne en linie, der deler det i to nye trekanter, der ligner hinanden, og til gengæld ligner den oprindelige trekant; så er der et forhold mellem proportionalitet.

Euclid var en af ​​de største matematikere og geometrikere i antikken, der udførte flere bevis for vigtige teoremer. En af de vigtigste er den, der bærer hans navn, der har haft en bred anvendelse.

Dette har været tilfældet, fordi det gennem dette teorem på en enkel måde forklarer de geometriske forhold, der findes i den rigtige trekant, hvor benene i trekanten er relateret til deres fremspring på hypotenusen.

Formler og demonstration

Euclids teorem foreslår, at der i hver højre trekant, når der tegnes en linje - som repræsenterer den højde, der svarer til højdepunktet i den rigtige vinkel i forhold til hypotenusen - dannes to højre trekanter fra originalen.

Disse trekanter vil svare til hinanden og vil også svare til den originale trekant, hvilket betyder, at deres lignende sider er proportionale med hinanden:

Vinklerne på de tre trekanter er kongruente; det vil sige, når de drejes 180 grader om deres toppunkt, falder den ene vinkel sammen med den anden. Dette indebærer, at de alle vil være ens.

På denne måde kan ligheden mellem de tre trekanter også bekræftes ved lighed mellem deres vinkler. Ud fra ligheden mellem trekanter fastlægger Euclid proportioner af disse ud fra to sætninger:

- Højde teorem.

- Benets sætning.

Dette sætning har en bred anvendelse. I gamle tider blev det brugt til at beregne højder eller afstande, hvilket repræsenterede et stort fremskridt for trigonometri.

Det anvendes i øjeblikket inden for forskellige områder, der er baseret på matematik, såsom ingeniørarbejde, fysik, kemi og astronomi, blandt mange andre områder.

Højde teorem

I dette sætning fastlægges det, at i en hvilken som helst højre trekant er højden trukket fra den rigtige vinkel i forhold til hypotenusen det geometriske proportionalværdi (kvadratet af højden) mellem fremspringene af benene, som det bestemmer på hypotenusen.

Det vil sige, højden skal være lig med multiplikationen af ​​de projicerede ben, der danner hypotenusen:

h _c ² = m _* n

Demonstration

Givet en trekant ABC, som er lige ved toppunktet C, genererer afbildning af højden to lignende højre trekanter, ADC og BCD; derfor er deres tilsvarende sider proportionale:

På en sådan måde, at højden h _c, der svarer til segmentet CD, svarer til hypotenusen AB = c, har vi således:

Dette svarer til gengæld:

Løsning for hypotenusen (h _c), for at multiplicere de to medlemmer af ligestillingen, har vi:

h _{c *} h _{c =} m _* n

h _c ² = m _* n

Værdien af ​​hypotenusen er således givet ved:

Ben sætning

I dette teorem er det fastslået, at målingen for hvert ben i hver højre trekant er det geometriske proportionalværdi (kvadratet på hvert ben) mellem målet på hypotenusen (fuldstændig) og projektionen af ​​hvert enkelt på det:

b ² = c _* m

a ² = c _* n

Demonstration

Givet en trekant ABC, der er lige ved toppunktet C, på en sådan måde, at dens hypotenuse er c, når der planlægges højden (h) bestemmes fremspringene af benene a og b, som er henholdsvis segmenterne m og n, og som ligger på hypotenusen.

Således har vi, at højden, der er trukket på den højre trekant ABC, genererer to lignende højre trekanter, ADC og BCD, så de tilsvarende sider er proportionelle som denne:

DB = n, som er projicering af ben CB på hypotenusen.

AD = m, som er fremspringet af benet AC på hypotenusen.

Derefter bestemmes hypotenusen c af summen af ​​benene på dens fremspring:

c = m + n

På grund af ligheden mellem trekanterne ADC og BCD har vi:

Ovenstående er det samme som:

Løsning for benet "a" for at multiplicere de to medlemmer af ligestillingen, har vi:

a _* a = c _* n

a ² = c _* n

Værdien af ​​benet "a" er således givet ved:

På samme måde på grund af ligheden mellem trekanterne ACB og ADC har vi:

Ovenstående er lig med:

Løsning for ben "b" for at multiplicere de to medlemmer af ligestillingen, har vi:

b _* b = c _* m

b ² = c _* m

Værdien af ​​ben "b" er således givet af:

Forholdet mellem Euclids sætninger

Teoreme med henvisning til højden og benene er forbundet med hinanden, fordi måling af begge er foretaget med hensyn til hypotenusen til højre trekant.

Gennem relationen til Euclids teorier kan værdien af ​​højden også findes; dette er muligt ved at løse værdierne af m og n fra benstelsen, og de erstattes i højdesætningen. På denne måde opfyldes det, at højden er lig med multiplikationen af ​​benene divideret med hypotenusen:

b ² = c _* m

m = b ² ÷ c

a ² = c _* n

n = a ² ÷ c

I højdesætningen erstatter vi m og n:

h _c ² = m _* n

h _c ² = (b ² ÷ c) _* (a ² ÷ c)

h _c = (b ² _* a ²) ÷ c

Løst øvelser

Eksempel 1

Givet trekanten ABC, lige ved A, bestem målet for AC og AD, hvis AB = 30 cm og BD = 18 cm

Løsning

I dette tilfælde har vi målingerne af et af de projicerede ben (BD) og af et af benene i den originale trekant (AB). På denne måde kan benteoremet anvendes til at finde værdien af ​​ben BC.

AB ² = BD _* f.Kr.

(30) ² = 18 _* f.Kr.

900 = 18 _* f.Kr.

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

Værdien af ​​ben-CD kan findes ved at vide, at BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 cm

Nu er det muligt at bestemme værdien af ​​ben AC ved at anvende benet sætningen igen:

AC ² = CD _* BD

AC ² = 32 _* 50

AC ² = 160

AC = √1600 = 40 cm

For at bestemme værdien af ​​højden (AD) anvendes højdesætningen, da værdierne for de projicerede ben CD og BD er kendte:

AD ² = 32 _* 18

AD ² = 576

AD = √576

AD = 24 cm

Eksempel 2

Bestem værdien af ​​højden (h) på en trekant MNL, lige i N, kend til målene for segmenterne:

NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

Løsning

Vi har måttet på et af benene, der er projiceret på hypotenusen (PM), såvel som målingerne på benene i den originale trekant. På denne måde kan benteoremet anvendes til at finde værdien af ​​det andet projicerede ben (LN):

NL ² = PM _* LM

(10) ² = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

Da værdien af ​​benene og hypotenusen allerede er kendt, kan værdien af ​​højden bestemmes gennem forholdet mellem sætningerne i højden og benene:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b ² _* a ²) ÷ c.

h = (10 ² _* 5 ²) ÷ (20)

h = (100 _* 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 cm.

Referencer

1. Braun, E. (2011). Kaos, fraktaler og underlige ting. Fond for økonomisk kultur.
2. Cabrera, VM (1974). Moderne matematik, bind 3.
3. Daniel Hernandez, DP (2014). 3. års matematik. Caracas: Santillana.
4. Encyclopaedia Britannica, i. (nitten femoghalvfems). Hispanic Encyclopedia: Macropedia. Encyclopedia Britannica Publisher.
5. Euclid, RP (1886). Euclids elementer af geometri.
6. Guardeño, AJ (2000). Arven fra matematik: fra Euclid til Newton, genierne gennem deres bøger. Sevilla University.