EKSISTENS- OG UNIKHEDSTEOREM: BEVIS, EKSEMPLER OG ØVELSER - MATEMATIK - 2025

Den eksistens og entydighed sætning fastsætter de nødvendige og tilstrækkelige betingelser for en første ordens differentialligning, med en given begyndelsestilstand at have en løsning og til denne opløsning for at være den eneste.

Sætningen giver dog ingen teknik eller indikation af, hvordan man finder en sådan løsning. Eksistensen og unikke teorem udvides også til differentierede ligninger med højere orden med startbetingelser, der er kendt som Cauchy-problemet.

Figur 1. En differentialligning med startbetingelse og dens løsning vises. Eksistens og unikke teorem garanterer, at det er den eneste mulige løsning.

Den formelle erklæring om eksistens og unikke teorem er som følger:

”For en differentialligning y '(x) = f (x, y) med den første betingelse y (a) = b, findes der mindst en løsning i et rektangulært område af XY-planet, der indeholder punktet (a, b), hvis f (x, y) er kontinuerlig i det område. Og hvis det partielle derivat af f med hensyn til y: g = ∂f / ∂y er kontinuerligt i det samme rektangulære område, så er løsningen unik i et kvarter af punktet (a, b) indeholdt i regionen for kontinuitet af fy g. "

Nyttigheden af ​​dette teorem ligger først i at vide, hvilke regioner der er i XY-planet, hvori en løsning kan eksistere, og også ved at vide, om den fundne løsning er den eneste mulige, eller om der er andre.

Bemærk, at hvis unikke betingelsen ikke er opfyldt, kan teoremet ikke forudsige, hvor mange løsninger Cauchy-problemet totalt har: måske er det en, to eller flere.

Bevis for eksistens og unikke sætning

Figur 2. Charles Émile Picard (1856-1941) krediteres et af de første bevis for eksistens og unikke teorem. Kilde: Wikimedia Commons.

Til dette teorem kendes to mulige bevis, det ene er beviset for Charles Émile Picard (1856-1941), og det andet skyldes Giuseppe Peano (1858-1932) baseret på værkerne af Augustin Louis Cauchy (1789-1857).

Det er bemærkelsesværdigt, at de mest strålende matematiske sind i det 19. århundrede deltog i beviset for dette teorem, så det kan antydes, at ingen af ​​dem er enkle.

For formelt at bevise teoremet er det nødvendigt først at etablere en række mere avancerede matematiske begreber, såsom funktioner af Lipschitz-type, Banach-rum, Carathéodorys eksistenssteorem og flere andre, som er uden for artiklen.

En stor del af de differentialligninger, der håndteres i fysik, beskæftiger sig med kontinuerlige funktioner i de regioner af interesse, derfor begrænser vi os til at vise, hvordan teoremet anvendes i enkle ligninger.

eksempler

- Eksempel 1

Lad os overveje følgende differentialligning med en startbetingelse:

y '(x) = - y; med y (1) = 3

Er der en løsning på dette problem? Er det den eneste mulige løsning?

svar

For det første vurderes eksistensen af ​​løsningen af ​​differentialligningen, og at den også opfylder den oprindelige betingelse.

I dette eksempel er f (x, y) = - og eksistensbetingelsen kræver at vide, om f (x, y) er kontinuerlig i et område af XY-planet, der indeholder punktet med koordinater x = 1, y = 3.

Men f (x, y) = - y er affinefunktionen, der er kontinuerlig inden for domænet for reelle tal og findes i hele rækken af ​​reelle tal.

Det konkluderes derfor, at f (x, y) er kontinuert i R ², så sætningen garanterer eksistensen af mindst én løsning.

Når man ved dette, er det nødvendigt at vurdere, om løsningen er unik, eller om der tværtimod er mere end én. Til dette er det nødvendigt at beregne det partielle derivat af f med hensyn til variablen y:

Derefter g (x, y) = -1, som er en konstant funktion, der er også defineret for alle R ² og er også kontinuerlig der. Det følger heraf, at eksistensen og unikke teorem garanterer, at dette startværdiproblem har en unik løsning, skønt det ikke fortæller os, hvad det er.

- Eksempel 2

Overvej følgende førsteordens almindelige differentialligning med startbetingelse:

y '(x) = 2√y; og (0) = 0.

Er der en løsning y (x) på dette problem? I så fald skal du bestemme, om der er en eller flere end en.

Svar

Vi betragter funktionen f (x, y) = 2√y. Funktionen f er kun defineret for y≥0, da vi ved, at et negativt tal mangler en reel rod. Endvidere f (x, y) er kontinuert i den øvre halvdel plan R ² herunder X-aksen, så eksistensen og Entydighedssætningen garanterer mindst én løsning i nævnte område.

Nu er den første betingelse x = 0, y = 0 på kanten af ​​opløsningsområdet. Derefter tager vi det partielle derivat af f (x, y) med hensyn til y:

∂f / ∂y = 1 / √y

I dette tilfælde er funktionen ikke defineret for y = 0, nøjagtigt hvor den oprindelige tilstand er.

Hvad fortæller sætningen os? Det fortæller os, at selvom vi ved, at der er mindst en løsning i det øverste halvplan af X-aksen inklusive X-aksen, da unikhedstilstanden ikke er opfyldt, er der ingen garanti for, at der vil være en unik løsning.

Dette betyder, at der kan være en eller flere end en løsning i kontinuitetsområdet for f (x, y). Og som altid fortæller teoremet os ikke, hvad de kunne være.

Løst øvelser

- Øvelse 1

Løs Cauchy-problemet i eksempel 1:

y '(x) = - y; med y (1) = 3.

Find den funktion y (x), der tilfredsstiller den differentielle ligning og den oprindelige tilstand.

Løsning

I eksempel 1 blev det bestemt, at dette problem har en løsning og også er unikt. For at finde løsningen er den første ting at bemærke, at det er en første grads differentialligning af adskillelige variabler, som er skrevet som følger:

Opdeling mellem og i begge medlemmer for at adskille de variabler, vi har:

Det ubegrænsede integral anvendes i begge medlemmer:

Løsning af de ubestemte integraler, vi har:

hvor C er en konstant af integration, der bestemmes af den oprindelige betingelse:

Udskiftning af værdien af ​​C og omarrangering af den forbliver:

Anvendelse af følgende egenskab ved logaritmer:

Ovenstående udtryk kan omskrives på denne måde:

Den eksponentielle funktion med base e i begge medlemmer anvendes til at opnå:

y / 3 = e ^{(1 - x)}

Hvilket svarer til:

y = 3e e ^-x

Dette er den unikke løsning af ligningen y '= -y med y (1) = 3. Grafen af ​​denne løsning er vist i figur 1.

- Øvelse 2

Find to løsninger til problemet, der er anført i eksempel 2:

y '(x) = 2√ (y); og (0) = 0.

Løsning

Det er også en ligning af adskillelige variabler, der, skrevet i differentiel form, ser sådan ud:

dy / √ (y) = 2 dx

At tage det ubestemte integral i begge medlemmer forbliver:

2 √ (y) = 2 x + C

Da vi ved, at y≥0 i løsningsregionen har vi:

y = (x + C) ²

Men da den oprindelige betingelse x = 0, y = 0 skal være opfyldt, er konstanten C nul, og den følgende løsning forbliver:

y (x) = x ².

Men denne løsning er ikke unik, funktionen y (x) = 0 er også en løsning på det stillede problem. Eksistensen og unikke teorem anvendt til dette problem i eksempel 2 havde allerede forudsagt, at der kunne være mere end en løsning.

Referencer

1. Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955), Theory of Ordinary Differential Equations, New York: McGraw-Hill.
2. Encyclopedia of Mathematics. Cauchy-Lipschitz teorem. Gendannet fra: encyclopediaofmath.org
3. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Kommer rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Bind 116, 1894, s. 454-457. Gendannes fra: gallica.bnf.fr.
4. Wikipedia. Picards successive tilnærmelsesmetode. Gendannet fra: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Picard-Lindelöf sætning. Gendannet fra: es.wikipedia.com.
6. Zill, D. 1986. Elementære differentialligninger med applikationer Prentice Hall.