MOIVRES SÆTNING: BEVIS OG LØSTE ØVELSER - MATEMATIK - 2025

Den sætning af Moivre anvendt algebra grundlæggende processer, såsom beføjelser og udvinder rødder i komplekse tal. Teoremmet blev udtalt af den berømte franske matematiker Abraham de Moivre (1730), der associerede komplekse tal med trigonometri.

Abraham Moivre skabte denne forening gennem udtryk for sinus og kosinus. Denne matematiker frembragte en slags formel, hvorigennem det er muligt at hæve et komplekst tal z til kraften n, som er et positivt heltal større end eller lig med 1.

Hvad er Moivres sætning?

Moivres sætning siger følgende:

Hvis vi har et komplekst tal i den polære form z = r _Ɵ, hvor r er modulet til det komplekse tal z, og vinklen Ɵ kaldes amplituden eller argumentet for et hvilket som helst komplekst tal med 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, for at beregne dets n– th magt vil det ikke være nødvendigt at multiplicere det med sig selv n-gange; det er, det er ikke nødvendigt at fremstille følgende produkt:

Z ⁿ = z _* z _* z _{*… *} z = r _{Ɵ *} r _{Ɵ *} r _{Ɵ *… *} r _Ɵ n-gange.

Tværtimod siger teoremet, at når vi skriver z i dens trigonometriske form, for at beregne den niende magt, fortsætter vi som følger:

Hvis z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), skal z ⁿ = r ⁿ (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

For eksempel hvis n = 2, så z ² = r ². Hvis n = 3, så er z ³ = z ² _* z. Også:

z ³ = r ² _* r = r ³.

På denne måde kan de trigonometriske forhold mellem sinus og cosinus for multipler af en vinkel opnås, så længe de trigonometriske forhold mellem vinklen er kendt.

På samme måde kan det bruges til at finde mere præcise og mindre forvirrende udtryk for den n-th rod af et komplekst tal z, så z ⁿ = 1.

For at bevise Moivres teorem bruges princippet om matematisk induktion: hvis et heltal "a" har en egenskab "P", og hvis det er et helt tal "n" større end "a", der har egenskaben "P" Det opfylder, at n + 1 også har egenskaben "P", så har alle heltal større end eller lig med "a" egenskaben "P".

Demonstration

Således foretages beviset på teorem med følgende trin:

Induktiv base

Det kontrolleres først for n = 1.

Da z ¹ = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ¹ = r ¹ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ¹ = r ¹, gælder sætningen for n = 1.

Induktiv hypotese

Formlen antages at være sand for et positivt heltal, det vil sige n = k.

z ^k = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^k = r ^k (cos k Ɵ + i _* sin k Ɵ).

Verifikation

Det er vist sig at være sandt for n = k + 1.

Da z ^{k + 1} = z ^k _* z, så er z ^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^{k + 1} = r ^k (cos kƟ + i _* sin kƟ) _* r (cos Ɵ + i _* senƟ).

Derefter multipliceres udtrykkene:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} ((cos kƟ) _* (cosƟ) + (cos kƟ) _* (i _* sinƟ) + (i _* sin kƟ) _* (cosƟ) + (i _* sin kƟ) _* (i _* senƟ)).

Et øjeblik ignoreres faktoren r ^{k + 1}, og den fælles faktor i tages:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) + i ² (sin kƟ) _* (sinƟ).

Da jeg ² = -1, erstatter vi det i udtrykket, og vi får:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ).

Nu er den rigtige del og den imaginære del bestilt:

(cos kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ) + i.

For at forenkle udtrykket anvendes de trigonometriske identiteter af summen af ​​vinkler for kosinus og sinus, som er:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sin A _* sin B.

sin (A + B) = sin A _* cos B - cos A _* cos B.

I dette tilfælde er variablerne vinklerne Ɵ og kƟ. Anvendelse af de trigonometriske identiteter, vi har:

cos kƟ _* cosƟ - sin kƟ _* sinƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sin kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* sinƟ = sin (kƟ + Ɵ)

På denne måde er udtrykket:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sin (kƟ + Ɵ))

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos + i _* sin).

Således kunne det vises, at resultatet er sandt for n = k + 1. Ved princippet om matematisk induktion konkluderes det, at resultatet er sandt for alle positive heltal; det vil sige n ≥ 1.

Negativt heltal

Moivres sætning anvendes også, når n ≤ 0. Lad os overveje et negativt heltal «n»; så kan "n" skrives som "-m", det vil sige n = -m, hvor "m" er et positivt heltal. Dermed:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^-m

For at få eksponenten «m» på en positiv måde skrives udtrykket omvendt:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^m

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos mƟ + i _* sin mƟ)

Nu bruges det, at hvis z = a + b * i er et komplekst tal, så er 1 ÷ z = ab * i. Dermed:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (mƟ) - i _* sin (mƟ).

Brug af denne cos (x) = cos (-x) og den -sen (x) = sin (-x), vi har:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ =

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (- mƟ) + i _* sin (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (nƟ) - i _* sin (nƟ).

Det kan således siges, at sætningen gælder for alle heltalværdier af "n".

Løst øvelser

Beregning af positive kræfter

En af operationerne med komplekse tal i deres polære form er multiplikationen med to af disse; i dette tilfælde multipliceres modulerne, og argumenterne tilføjes.

Hvis du har to komplekse tal z _{1 og} z ₂ og du vil beregne (z ₁ * z ₂) ², fortsætter du som følger:

z ₁ z ₂ = *

Den distributionsejendom gælder:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ (cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i _* cos Ɵ _{1 *} i _* sin Ɵ ₂ + i _* sin Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i ² _* sin Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂).

De er samlet og tager udtrykket "i" som en fælles faktor for udtrykket:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Da i ² = -1, er det substitueret i udtrykket:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

De reelle udtryk er omgrupperet med reelle og imaginære med imaginære:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Endelig gælder de trigonometriske egenskaber:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂.

Afslutningsvis:

(z ₁ * z ₂) ² = (r ₁ r ₂) ²

= r ₁ ² r ₂ ².

Øvelse 1

Skriv det komplekse tal i polær form, hvis z = - 2 -2i. Beregn derefter z ⁴ ved hjælp af Moivres teorem.

Løsning

Det komplekse tal z = -2 -2i udtrykkes i den rektangulære form z = a + bi, hvor:

a = -2.

b = -2.

Når vi ved, at den polære form er z = r (cos cos + i _* sin Ɵ), er vi nødt til at bestemme værdien af ​​modulet "r" og værdien af ​​argumentet "Ɵ". Da r = √ (a² + b²), er de givne værdier substitueret:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

For at bestemme værdien af ​​«Ɵ» anvendes den rektangulære form derefter, som er givet ved formlen:

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Da solbrun (Ɵ) = 1 og vi har en <0, så har vi:

Ɵ = arctan (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

Da værdien af ​​«r» og «Ɵ» allerede er opnået, kan det komplekse tal z = -2 -2i udtrykkes i polær form ved at erstatte værdierne:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)).

Nu bruger vi Moivres sætning til at beregne z ⁴:

z ⁴ = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)) ⁴

= 32 (cos (5Π) + i _* sin (5Π)).

Øvelse 2

Find produktet af de komplekse tal ved at udtrykke det i polær form:

z1 = 4 (cos 50 ^o + i _* sin 50 ^o)

z2 = 7 (cos 100 ^o + i _* sin 100 ^o).

Beregn derefter (z1 * z2) ².

Løsning

Først dannes produktet af de givne numre:

z ₁ z ₂ = *

Derefter multipliceres modulerne med hinanden, og argumenterne tilføjes:

z ₁ z ₂ = (4 _* 7) _*

Udtrykket er forenklet:

z ₁ z ₂ = 28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o).

Endelig gælder Moivres sætning:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o)) ² = 784 (cos 300 ^o + (i _* sin 300 ^o)).

Beregning af negative kræfter

For at opdele to komplekse tal z _{1 og} z ₂ i deres polære form deles modulet og argumenterne trækkes fra. Kvotienten er således z ₁ ÷ z ₂ og udtrykkes som følger:

z ₁ ÷ z ₂ = r1 / r2 ().

Som i det foregående tilfælde, hvis vi vil beregne (z1 ÷ z2) ³, udføres divisionen først, og derefter bruges Moivres sætning.

Øvelse 3

Terninger:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)), z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)), beregne (z1 ÷ z2) ³.

Løsning

Følgende trin beskrevet ovenfor kan det konkluderes, at:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

Referencer

1. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra og trigonometri med analytisk geometri. Pearson Uddannelse.
2. Croucher, M. (nd). Fra Moivre's sætning for trækidentiteter. Wolfram demonstrationsprojekt.
3. Hazewinkel, M. (2001). Encyclopaedia of Mathematics.
4. Max Peters, WL (1972). Algebra og trigonometri.
5. Pérez, CD (2010). Pearson Uddannelse.
6. Stanley, G. (nd). Lineær algebra. Graw-Hill.
7. , M. (1997). Forkalkulation. Pearson Uddannelse.