VARIGNONS SÆTNING: EKSEMPLER OG LØSTE ØVELSER - MATEMATIK - 2025

Den sætning Varignon, at hvis nogen firsidede kontinuerligt forbundet midpoints af siderne, er et parallelogram genereret. Denne sætning blev formuleret af Pierre Varignon og udgivet i 1731 i bogen matematiske elementer ”.

Udgivelsen af ​​bogen skete år efter hans død. Da det var Varignon, der introducerede dette teorem, er parallelogrammet opkaldt efter ham. Sætningen er baseret på euklidisk geometri og præsenterer geometriske sammenhænge mellem de firkantede sider.

Hvad er Varignons sætning?

Varignon erklærede, at et tal, der er defineret af midtpunkterne for et firkantet, altid vil resultere i et parallelogram, og området for dette vil altid være halvdelen af ​​det firkantede område, hvis det er fladt og konvekst. For eksempel:

I figuren kan du se en firkantet side med et område X, hvor midtpunkterne på siderne er repræsenteret af E, F, G og H og, når de sammenføjes, danner et parallelogram. Området med det firkantede er summen af ​​de områder af trekanterne, der er dannet, og halvdelen af ​​dette svarer til arealet af parallelogrammet.

Da arealet af parallellogrammet er halvdelen af ​​det firkantede område, kan omfanget af det parallelleogram bestemmes.

Således er omkredsen lig med summen af ​​længderne af diagonalerne i det firkantede; dette skyldes, at medianerne for det firsidede sider vil være diagonalerne i parallelogrammet.

På den anden side, hvis længderne af de firkantede diagonaler er nøjagtig de samme, vil parallelogrammet være en romb. For eksempel:

Fra figuren kan det ses, at der ved sammenføjning af midtpunkterne på siderne af det firkantede side opnås en rhombus. På den anden side, hvis de firkantede diagonaler er vinkelret på, vil parallelogrammet være et rektangel.

Parallellogrammet er også et kvadrat, når det firkantede sider har diagonalerne med samme længde, og de er også vinkelret.

Teoremet opfyldes ikke kun i plane firkantede sider, det implementeres også i rumlig geometri eller i store dimensioner; det vil sige i de firedoblinger, der ikke er konvekse. Et eksempel på dette kan være en oktaeder, hvor midtpunkterne er centroiderne på hvert ansigt og danner en parallelepiped.

På denne måde kan man opnå parallelleogrammer ved at sammenføje midtpunkterne i forskellige figurer. En nem måde at kontrollere, om dette virkelig er sandt, er, at de modsatte sider skal være parallelle, når de udvides.

eksempler

Første eksempel

Udvidelse af modsatte sider for at vise, at det er et parallelogram:

Andet eksempel

Ved at sammenføje midtpunktene i en rhombus opnås et rektangel:

Sætningen bruges i foreningen af ​​punkter placeret midt på siderne af et firkantet, og det kan også bruges til andre typer punkter, såsom en trisektion, penta-sektion eller endda et uendeligt antal sektioner (nth) for at opdele siderne af ethvert firsidet i segmenter, der er proportionelle.

Løst øvelser

Øvelse 1

I figuren har vi en firkantet ABCD af område Z, hvor midtpunkterne på siderne af dette er PQSR. Kontroller, at der er dannet et Varignon-parallelogram.

Løsning

Det kan ses, at sammenføjning med PQSR-punkterne danner et Varignon-parallelogram, netop fordi midtpunkterne for et firsidet er angivet i udsagnet.

For at demonstrere dette forbindes først midtpunktene PQSR, så det kan ses, at der dannes en anden firkantet. For at vise, at det er et parallelogram, skal du kun tegne en lige linje fra punkt C til punkt A, så det kan ses, at CA er parallel med PQ og RS.

På samme måde, når siderne PQRS udvides, kan det ses, at PQ og RS er parallelle, som vist på følgende billede:

Øvelse 2

Vi har et rektangel, så længderne på alle sider er ens. Ved at sammenføje midtpunktene på disse sider dannes en rhombus ABCD, der er delt med to diagonaler AC = 7 cm og BD = 10 cm, der falder sammen med målingerne på rektanglets sider. Bestemm områderne fra rhombus og rektanglet.

Løsning

Husk, at arealet af det resulterende parallelogram er halvdelen af ​​det firsidede, kan området af disse bestemmes ved at vide, at måling af diagonalerne falder sammen med siderne af rektanglet. Så du skal:

AB = D

CD = d

Et _rektangel = (AB _* CD) = (10 cm _* 7 cm) = 70 cm ²

En _rhombus = Et _rektangel / 2

En _rombe = 70 cm ² /2 = 35 cm ²

Øvelse 3

I figuren er der et firkantet, der har forening af punkterne EFGH, segmenternes længder er angivet. Bestem om EFGH-foreningen er et parallelogram.

AB = 2,4 CG = 3,06

EB = 1,75 GD = 2,24

BF = 2,88 DH = 2,02

HR = 3,94 HA = 2,77

Løsning

Idet segmenternes længder er angivet, kan det verificeres, om der er proportionalitet mellem segmenterne; det vil sige, du kan vide, om de er parallelle, og relaterer segmenterne til det firkantede på følgende måde:

- AE / EB = 2,4 / 1,75 = 1,37

- AH / HD = 2,77 / 2,02 = 1,37

- CF / FB = 3,94 / 2,88 = 1,37

- CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

Derefter kontrolleres proportionaliteten, da:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

Tilsvarende, når man tegner en linje fra punkt B til punkt D, kan det ses, at EH er parallel med BD, ligesom BD er parallel med FG. På den anden side er EF parallel med GH.

Det kan således bestemmes, at EFGH er et parallelogram, fordi de modsatte sider er parallelle.

Referencer

1. Andres, T. (2010). Matematisk Olympiad Tresure. Springer. New York.
2. Barbosa, JL (2006). Plan euklidisk geometri. SBM. Rio de Janeiro.
3. Howar, E. (1969). Undersøgelse af geometrier. Mexico: Hispanic - American.
4. Ramo, GP (1998). Ukendte løsninger på Fermat-Torricelli-problemerne. ISBN - Uafhængigt arbejde.
5. Vera, F. (1943). Elementer i geometri. Bogota
6. Villiers, M. (1996). Nogle eventyr i euklidisk geometri. Sydafrika.