- Bevis for det grundlæggende teorem for aritmetik
- Det unikke ved førstnævnte faktorisering
- Applikationer
- Primtal i naturen
- Prime numre og online shopping
- Løst øvelser
- - Øvelse 1
- Løsning
- - Øvelse 2
- Løsning
- Referencer
Den grundlæggende teorem for aritmetik siger, at ethvert naturligt tal større end 1 kan nedbrydes som et produkt af primtal - nogle kan gentages - og denne form er unik for dette antal, skønt rækkefølgen af faktorer kan være anderledes.
Husk, at et primtal p er et, der kun indrømmer sig selv og 1. som positive skillerne. Følgende tal er primater: 2, 3, 5, 7, 11, 13 osv., Da der er uendeligheder. Nummeret 1 betragtes ikke som en prim, da det kun har en divisor.
Figur 1. Euklid (venstre) beviste det grundlæggende teorem for aritmetik i sin bog Elements (350 f.Kr.), og det første komplette bevis skyldes Carl F. Gauss (1777-1855) (til højre). Kilde: Wikimedia Commons.
På den anden side kaldes de tal, der ikke overholder ovenstående, sammensatte numre, såsom 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14… Lad os tage nummeret 10 for eksempel og straks ser vi, at det kan nedbrydes som et produkt af 2 og 5:
10 = 2 × 5
Både 2 og 5 er faktisk primtal. Sætningen siger, at dette er muligt for ethvert nummer n:
Hvor p 1, p 2, p 3… p r er primtal og k 1, k 2, k 3,… k r er naturlige tal. Så primtallene fungerer som byggestenene, hvorfra de naturlige tal er multipliceret fra.
Bevis for det grundlæggende teorem for aritmetik
Vi begynder med at vise, at hvert tal kan nedbrydes til primære faktorer. Lad være et naturligt tal n> 1, prim eller sammensat.
For eksempel, hvis n = 2, kan det udtrykkes som: 2 = 1 × 2, som er prim. Fortsæt på samme måde med følgende tal:
3 = 1 × 3
4 = 2 × 2
5 = 1 × 5
6 = 2 × 3
7 = 1 × 7
8 = 2 × 2 × 2
Vi fortsætter sådan med at nedbryde alle de naturlige tal, indtil vi når antallet n -1. Lad os se, om vi kan gøre det med følgende nummer: n.
Hvis n er prim, kan vi nedbryde det som n = 1 × n, men antage, at n er sammensat og har en divisor d, logisk set mindre end n:
1 <d <n.
Hvis n / d = p 1, med p 1 et primtal, skrives n som:
n = p 1.d
Hvis d er prime er der ikke mere at gøre, men hvis det ikke er, er der et tal n 2, der er en divisor af d og mindre end dette: n 2 <d, så d kan skrives som produktet af n 2 af en anden primtal p 2:
d = p 2 n 2
Det, når der erstattes med det oprindelige nummer n, ville give:
n = p 1.p 2.n 2
Antag nu, at n 2 heller ikke er et primtal, og vi skriver det som produktet af et primtal p 3 ved dens divisor n 3, således at n 3 <n 2 <n 1 <n:
n 2 = p 3.n 3 → n = p 1 p 2 p 3.n 3
Vi gentager denne procedure et begrænset antal gange, indtil vi får:
n = p 1.p 2.p 3… p r
Dette betyder, at det er muligt at nedbryde alle heltal fra 2 til tallet n, som et produkt af primtal.
Det unikke ved førstnævnte faktorisering
Lad os nu verificere, at bortset fra rækkefølgen af faktorer, er denne nedbrydning unik. Antag, at n kan skrives på to måder:
n = p 1.p 2.p 3 … p r = q 1. q 2.q 3 …..q s (med r ≤ s)
Selvfølgelig er q 1, q 2, q 3… også primtal. Da p 1 deler sig (q 1. q 2.q 3 …..q s), så er p 1 lig med nogen af “q”, betyder det ikke noget, hvilken, så vi kan sige, at p 1 = q 1. Vi deler n med p 1 og opnår:
p 2.p 3… p r = . q 2.q 3 …..q s
Vi gentager proceduren, indtil vi deler alt med p r, så får vi:
1 = q r + 1 … q s
Men det er ikke muligt at nå frem til q r + 1 … q s = 1 når r <s, kun hvis r = s. Selvom det indrømmes, at r = s, indrømmes det også, at "p" og "q" er de samme. Derfor er nedbrydningen unik.
Applikationer
Som vi har sagt før, repræsenterer primtalene, hvis du kan lide, atomer i numrene, deres grundlæggende komponenter. Så det grundlæggende teorem for aritmetik har adskillige anvendelser, det mest indlysende: vi kan lettere arbejde med store tal, hvis vi udtrykker dem som et produkt af mindre tal.
På samme måde kan vi finde den største fælles multiplum (LCM) og den største fælles divisor (GCF), en procedure, der hjælper os med at gøre tilføjelser til fraktioner lettere, finde rødder i stort antal eller arbejde med radikaler, rationalisere og løse applikationsproblemer af en meget forskelligartet karakter.
Endvidere er primtallene ekstremt gåtefulde. Et mønster genkendes endnu ikke i dem, og det er ikke muligt at vide, hvilken der vil være den næste. Den største hidtil blev fundet af computere og har 24.862.048 cifre, selvom de nye primtall vises mindre hyppigt hver gang.
Primtal i naturen
Cicadas, cicádidos eller cicader, der lever i den nordøstlige del af De Forenede Stater opstår i cykler på 13 eller 17 år. De er begge primtal.
På denne måde undgår cikaderne at falde sammen med rovdyr eller konkurrenter, der har andre fødsler, og de forskellige sorter af cikader konkurrerer heller ikke med hinanden, da de ikke falder sammen i samme år.
Figur 2. Magicicada-cicaden i det østlige USA fremkommer hvert 13. til 17 år. Kilde: Pxfuel.
Prime numre og online shopping
Primnumre bruges i kryptografi for at holde kreditkortoplysninger hemmelige, når du foretager køb via Internettet. På denne måde kommer de data, som køberen når butikken nøjagtigt uden at gå tabt eller falde i hænderne på skrupelløse mennesker.
Hvordan? Dataene på kortene er kodet i et nummer N, der kan udtrykkes som produktet af primtal. Disse primtal er nøglen, som dataene afslører, men de er ukendte for offentligheden, de kan kun afkodes på det web, de er rettet til.
At nedbryde et tal i faktorer er en let opgave, hvis tallene er små (se de løste øvelser), men i dette tilfælde bruges primtall på 100 cifre som nøglen, som når man multiplicerer dem giver meget større tal, hvis detaljerede nedbrydning involverer en enorm opgave.
Løst øvelser
- Øvelse 1
Del 1029 ned i primære faktorer.
Løsning
1029 kan deles med 3. Det vides, fordi summen er et multiplum af 3: 1 + 0 + 2 + 9 = 12, når der tilføjes dens cifre. Da faktorenes rækkefølge ikke ændrer produktet, kan vi starte der:
1029 3
343
1029 = 3 × 343
På den anden side 343 = 7 3, så:
1029 = 3 × 7 3 = 3 × 7 × 7 × 7
Og da både 3 og 7 er primtal, er dette dekomponeringen af 1029.
- Øvelse 2
Faktor trinomial x 2 + 42x + 432.
Løsning
Trinomialet skrives om i formen (x + a). (x + b), og vi er nødt til at finde værdierne af a og b, således at:
a + b = 42; ab = 432
Tallet 432 nedbrydes til primfaktorer, og derfra vælges den passende kombination ved forsøg og fejl, så de tilsatte faktorer giver 42.
432 = 2 4 × 3 3 = 2 × 3 3 × 2 3 = 2 4 × 3 2 × 3 =…
Herfra er der flere muligheder for at skrive 432:
432 = 16 × 27 = 24 × 18 = 54 × 8 = 6 × 72….
Og alt kan findes ved at kombinere produkter mellem de primære faktorer, men for at løse den foreslåede øvelse er den eneste egnede kombination: 432 = 24 × 18 siden 24 + 18 = 42, derefter:
x 2 + 42x + 432 = (x + 24). (x +18)
Referencer
- Baldor, A. 1986. Teoretisk praktisk aritmetik. Compañía Cultural Editora de Textos Americanos SA
- BBC World. Den skjulte naturkode. Gendannes fra: bbc.com.
- De Leon, Manuel Premiernumre: internetets værger. Gendannet fra: blogs.20minutos.es.
- UNAM. Nummerteori I: Grundlæggende teorem for aritmetik. Gendannes fra: teoriadenumeros.wikidot.com.
- Wikipedia. Det grundlæggende teorem for aritmetik. Gendannet fra: es.wikipedia.org.