TESSELLATIONER: KARAKTERISTISKE, TYPER (REGELMÆSSIGE, UREGELMÆSSIGE), EKSEMPLER - MATEMATIK - 2025

De tilings er belagte overflader et eller flere tal kaldet tesserae. De er overalt: i gader og bygninger af alle slags. Fliser eller fliser er flade stykker, generelt polygoner med kongruente eller isometriske kopier, som placeres efter et regelmæssigt mønster. På denne måde er der ingen mellemrum, der ikke er afdækket, og fliserne eller mosaikkerne overlapper ikke hinanden.

I tilfælde af at der bruges en enkelt type mosaik dannet af en regelmæssig polygon, er der en regelmæssig tessellation, men hvis der bruges to eller flere typer af regelmæssige polygoner, er det en semi-regelmæssig tessellation.

Figur 1. Flisegulv med uregelmæssig tessellation, fordi rektanglerne er ikke-regulære polygoner, selvom firkanterne er. Kilde: Pixabay.

Endelig, når polygonerne, som tessellationen danner, ikke er regelmæssige, er det en uregelmæssig tessellation.

Den mest almindelige type tessellation er den, der dannes af rektangulære og især firkantede mosaikker. I figur 1 har vi et godt eksempel.

Tessellations historie

Tessellation er blevet brugt i tusinder af år til at dække gulve og vægge i paladser og templer i forskellige kulturer og religioner.

For eksempel brugte den sumeriske civilisation, der blomstrede omkring 3500 f.Kr. syd for Mesopotamia, mellem floderne Eufrat og Tigris, tessellationer i deres arkitektur.

Figur 2. Sumeriske tessellationer ved Istar-porten. Kilde: Wikimedia Commons.

Tessellationer har også skabt interesse for matematikere i alle aldre: begyndende med Archimedes i det 3. århundrede f.Kr., efterfulgt af Johannes Kepler i 1619, Camille Jordan i 1880, til nutiden med Roger Penrose.

Penrose skabte en ikke-periodisk tessellation kendt som Penrose-tessellationen. Dette er blot et par navne på forskere, der har bidraget meget til tessellation.

Regelmæssige tessellationer

Regelmæssige tessellationer udføres med kun en type regelmæssig polygon. På den anden side, for at tessellationen skal betragtes som regelmæssig, skal hvert punkt på flyet:

-Lang til det indre af polygonen

-Eller til kanten af ​​to tilstødende polygoner

Endelig kan det høre til det fælles toppunkt af mindst tre polygoner.

Med ovenstående begrænsninger kan det vises, at kun ligesidede trekanter, firkanter og sekskanter kan danne en regelmæssig tessellation.

nomenklatur

Der er en nomenklatur til at betegne tessellationer, der består af en liste i urets retning og adskilt med et punkt, antallet af sider af polygonerne, der omgiver hvert knudepunkt (eller toppunkt) i tessellationen, altid startende med polygonen med det laveste tal sider.

Denne nomenklatur gælder for regelmæssige og halvregulære tessellationer.

Eksempel 1: Triangulær tessellering

Figur 3 viser en regelmæssig trekantet tessellation. Det skal bemærkes, at hver knudepunkt i den trekantede tessellation er den fælles toppunkt for seks ligesidige trekanter.

Måden til at betegne denne type tessellation er 3.3.3.3.3.3, som også betegnes med 3 ⁶.

Figur 3. Regelmæssig trekantet tessellering 3.3.3.3.3.3. Kilde: wikimedia commons

Eksempel 2: Kvadratisk tessellation

Figur 4 viser en regelmæssig tessellation, der kun består af firkanter. Det skal bemærkes, at hver knude i tessellationen er omgivet af fire kongruente firkanter. Notationen, der anvendes til denne type kvadratisk tessellation, er: 4.4.4.4 eller alternativt 4 ⁴

Figur 4. Kvadratisk tessellation 4.4.4.4. Kilde: wikimedia commons.

Eksempel 3: Hexagonal tessellation

I en hexagonal tessellation er hver knudepunkt omgivet af tre regelmæssige sekskanter som vist i figur 5. Nomenklaturen for en regelmæssig hexagonal tessellation er 6.6.6 eller alternativt 6 ³.

Figur 5. Hexagonal tessellation 6.6.6. Kilde: wikimedia commons.

Halv-regelmæssige tessellationer

Halv-regelmæssige eller arkimediske tessellationer består af to eller flere typer regelmæssige polygoner. Hver knude er omgivet af de typer polygoner, der udgør tessellationen, altid i samme rækkefølge, og kanttilstanden deles fuldstændigt med naboen.

Der er otte halvregulære tessellationer:

1. 3.6.3.6 (tri-hexagonal tessellation)
2. 3.3.3.3.6 (stump hexagonal tessellation)
3. 3.3.3.4.4 (langstrakt trekantet tellation)
4. 3.3.4.3.4 (stump kvadratisk tessellation)
5. 3.4.6.4 (rhombi-tri-hexagonal tessellation)
6. 4.8.8 (trunkeret kvadratisk tessellation)
7. 3.12.12 (trunkeret hexagonal tessellation)
8. 4.6.12 (trunkeret tri-hexagonal tessellation)

Nogle eksempler på halvregulære tessellationer er vist nedenfor.

Eksempel 4: Tri-hexagonal tessellation

Det er den, der er sammensat af ligesidede trekanter og regelmæssige sekskanter i strukturen 3.6.3.6, hvilket betyder, at en knudepunkt i tessellationen er omgivet (indtil der er afsluttet en drejning) af en trekant, en hexagon, en trekant og en hexagon. Figur 6 viser en sådan tessellation.

Figur 6. Den tri-hexagonale tessellation (3.6.3.6) er et eksempel på semi-regulær tessellation. Kilde: Wikimedia Commons.

Eksempel 5: Blunt hexagonal tessellation

Som tessellationen i det foregående eksempel består denne også af trekanter og hexagoner, men deres fordeling omkring en knude er 3.3.3.3.6. Figur 7 illustrerer klart denne type tessellation.

Figur 7. Den stumpe hexagonale tessellation består af en hexagon omgivet af 16 trekanter i konfigurationen 3.3.3.3.6. Kilde: Wikimedia Commons.

Eksempel 6: rhombi-tri-hexagonal tessellation

Det er en tessellation bestående af trekanter, firkanter og hexagoner i konfiguration 3.4.6.4, som er vist i figur 8.

Figur 8. Halv-regelmæssig tessellation sammensat af en trekant, en firkant og en hexagon i konfigurationen 3.4.6.4. Kilde: Wikimedia Commons.

Uregelmæssige tessellationer

Uregelmæssige tessellationer er dem, der er dannet af uregelmæssige polygoner eller af regelmæssige polygoner, men ikke opfylder kriteriet om, at en knude er et toppunkt på mindst tre polygoner.

Eksempel 7

Figur 9 viser et eksempel på uregelmæssig tessellation, hvor alle polygoner er regelmæssige og kongruente. Det er uregelmæssigt, fordi en knude ikke er et almindeligt toppunkt på mindst tre firkanter, og der er også tilstødende firkanter, der ikke helt deler en kant.

Figur 9. Selvom alle fliser er sammenhængende firkanter, er dette et klart eksempel på uregelmæssig tessellation. Kilde: F. Zapata.

Eksempel 8

Parallellogrammet fliser en flad overflade, men medmindre det er en firkant, kan den ikke danne en regelmæssig tessellation.

Figur 10. En tessellation dannet af parallelogrammer er uregelmæssig, da dens mosaikker er ikke-regulære polygoner. Kilde: F. Zapata.

Eksempel 9

Ikke-regulære hexagoner med central symmetri tessellerer en plan overflade, som vist i følgende figur:

Figur 11. Sekskanter med central symmetri, selv når de ikke er regelmæssige, tessellerer planet. Kilde: F. Zapata.

Eksempel 10: Tessellation af Kairo

Det er en meget interessant tessellation, der består af femhængere med sider af samme længde, men med ulige vinkler, hvoraf to er lige, og de andre tre har hver 120º.

Navnet kommer fra det faktum, at denne tessellation findes i fortovet på nogle af gaderne i Kairo i Egypten. Figur 12 viser tessellationen af ​​Kairo.

Figur 12. Cairo Tessellation. Kilde: Wikimedia Commons.

Eksempel 11: Al-Andalus-tessellation

Tessellationen i nogle dele af Andalusien og Nordafrika er kendetegnet ved geometri og epigrafi ud over dekorative elementer såsom vegetation.

Tessellationen af ​​paladser som Alhambra bestod af fliser bestående af keramiske stykker i mange farver med flere (hvis ikke uendelige) former, der løsrevs i geometriske mønstre.

Figur 13. Tessellation af Alhambra-paladset. Tartaglia / Public domain

Eksempel 12: tessellation i videospil

Også kendt som tesellation, det er en af ​​de mest populære nyheder inden for videospil. Det handler om at skabe strukturer for at simulere tessellationen af ​​de forskellige scenarier, der vises i simulatoren.

Dette er en klar refleksion af, at disse overtræk fortsætter med at udvikle sig og krydser virkelighedens grænser.

Referencer

1. Nyd matematik. Tessellations. Gendannes fra: enjoymatematicas.com
2. Rubinos. Tessellationer løste eksempler. Gendannes fra: matematicasn.blogspot.com
3. Weisstein, Eric W. "Demiregular tessellation." Weisstein, Eric W, red. MathWorld. Wolfram Research.
4. Wikipedia. Tessellation. Gendannet fra: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Regelmæssig tessellation. Gendannet fra: es.wikipedia.com