- egenskaber
- typer
- Ved oversættelse
- Ved rotation
- Ved reflektion eller symmetri
- Central symmetri
- Sammensætning af en rotation
- Sammensætning af en symmetri
- Referencer
De isometriske transformationer er ændringer i position eller orientering af en given figur, som ikke ændrer formen eller størrelsen på dette. Disse transformationer er klassificeret i tre typer: translation, rotation and reflect (isometry). Generelt giver geometriske transformationer dig mulighed for at oprette en ny figur fra en given.
En omdannelse til en geometrisk figur betyder, at den på en eller anden måde har gennemgået en vis ændring; det vil sige, det blev ændret. I henhold til fornemmelsen af originalen og lignende i planet kan geometriske transformationer klassificeres i tre typer: isometrisk, isomorf og anamorf.
egenskaber
Isometriske transformationer forekommer, når størrelserne på segmenterne og vinklerne mellem den oprindelige figur og den transformerede figur bevares.
I denne type transformation ændres hverken formen eller størrelsen på figuren (de er kongruente), det er kun en ændring i dens position, hverken i retning eller retning. På denne måde vil de indledende og endelige figurer være ens og geometrisk kongruente.
Isometri henviser til lighed; med andre ord, geometriske figurer er isometriske, hvis de har samme form og størrelse.
I isometriske transformationer er det eneste, der kan observeres, en ændring af position i planet, en stiv bevægelse opstår takket være hvilken figuren går fra en udgangsposition til en endelig. Dette tal kaldes homolog (lignende) af originalen.
Der er tre typer bevægelser, der klassificerer en isometrisk transformation: translation, rotation og reflektion eller symmetri.
typer
Ved oversættelse
Det er disse isometrier, der tillader, at alle punkter i planet flyttes i en lige linje i en given retning og afstand.
Når en figur transformeres ved oversættelse, ændrer den ikke sin orientering i forhold til udgangspositionen, og den mister heller ikke sine interne mål, målingerne for dens vinkler og sider. Denne type forskydning defineres af tre parametre:
- En retning, der kan være vandret, lodret eller skråt.
- En retning, der kan være til venstre, højre, op eller ned.
- Afstand eller størrelse, som er længden fra den oprindelige position til slutningen af ethvert punkt, der bevæger sig.
For at en isometrisk transformation ved oversættelse skal være opfyldt, skal følgende betingelser være opfyldt:
- Figuren skal altid holde alle dens dimensioner, både lineære og vinklede.
- Figuren ændrer ikke sin position i forhold til den vandrette akse; dvs. vinklen varierer aldrig.
- Oversættelser sammenfattes altid i én, uanset antallet af foretagne oversættelser.
I et plan, hvor midten er et punkt O med koordinater (0,0), er oversættelsen defineret af en vektor T (a, b), som angiver forskydningen af det oprindelige punkt. Det vil sige:
P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)
For eksempel, hvis en oversættelse T (-4, 7) anvendes til koordinatpunktet P (8, -2), får vi:
P (8, -2) + T (-4, 7) = P '= P' (4, 5)
På det følgende billede (til venstre) kan det ses, hvordan punkt C flyttede til at falde sammen med D. Det gjorde det i en lodret retning, retningen var opad, og afstanden eller størrelses-CD var 8 meter. I det højre billede ses oversættelsen af en trekant:
Ved rotation
Det er disse isometrier, der giver figuren mulighed for at rotere alle punkter i et plan. Hvert punkt roterer efter en bue, der har en konstant vinkel, og et fast punkt (rotationscenter) bestemmes.
Det vil sige, at al rotation defineres af dens rotationscenter og rotationsvinkel. Når en figur transformeres ved rotation, holder den målingen for dens vinkler og sider.
Rotationen finder sted i en bestemt retning, det er positivt, når rotationen er mod uret (den modsatte retning af, hvordan urets hænder drejer) og negativ, når dens rotation er med uret.
Hvis et punkt (x, y) drejes med hensyn til oprindelsen - det vil sige dets rotationscenter er (0,0) - i en vinkel på 90 eller 360, eller punkternes koordinater vil være:
I det tilfælde, hvor rotationen ikke har noget centrum ved oprindelsen, skal koordinatsystemets oprindelse overføres til den nye givne oprindelse for at være i stand til at rotere figuren med oprindelsen som centrum.
For eksempel, hvis P (-5,2) punkt anvendes, er en rotation på 90 eller omkring oprindelsen og positivt er dens nye koordinater (-2,5).
Ved reflektion eller symmetri
Det er de transformationer, der vender flyets punkter og figurer. Denne inversion kan være med hensyn til et punkt, eller den kan også være med hensyn til en linje.
Med andre ord, i denne type transformation er hvert punkt i den originale figur forbundet med et andet punkt (billede) af den homologe figur, på en sådan måde, at punktet og dets billede er i samme afstand fra en linje kaldet symmetriaksen..
Således vil den venstre del af figuren være en afspejling af den højre del uden at ændre dens form eller dimensioner. Symmetri omdanner en figur til en anden lige men i den modsatte retning, som det kan ses på følgende billede:
Symmetri er til stede i mange aspekter, såsom i nogle planter (solsikker), dyr (påfugl) og naturlige fænomener (snefnug). Mennesket reflekterer det på hans ansigt, der betragtes som en faktor af skønhed. Reflektion eller symmetri kan være af to typer:
Central symmetri
Det er den transformation, der sker med hensyn til et punkt, hvor figuren kan ændre sin orientering. Hvert punkt i den originale figur og dets billede ligger i samme afstand fra et punkt O, kaldet symmetriens centrum. Symmetri er central, når:
- Både punktet og dets billede og centrum hører til den samme linje.
- Med en rotation på 180 o midterste O opnås en figur, der er lig med originalen.
- Linjerne i den indledende figur er parallelle med linjerne i den dannede figur.
- Følelsen af figuren ændres ikke, den vil altid være med uret.
Sammensætning af en rotation
Sammensætningen af to vendinger med det samme center resulterer i en anden drejning, der har det samme centrum, og hvis amplitude vil være summen af amplituderne for de to drejninger.
Hvis drejepunktets centrum har et andet centrum, vil snittet af halvdelen af to segmenter af lignende punkter være omdrejningspunktet.
Sammensætning af en symmetri
I dette tilfælde afhænger sammensætningen af, hvordan den anvendes:
- Hvis den samme symmetri anvendes to gange, vil resultatet være en identitet.
- Hvis der anvendes to symmetrier med hensyn til to parallelle akser, vil resultatet være en oversættelse, og dens forskydning er dobbelt så lang som disse akser:
- Hvis der påføres to symmetrier med hensyn til to akser, der krydser hinanden i punkt O (centrum), opnås en rotation med centrum ved O, og dens vinkel er dobbelt så høj som vinklen dannet af akserne:
Referencer
- V Bourgeois, JF (1988). Materialer til konstruktion af geometri. Madrid: Syntese.
- Cesar Calavera, IJ (2013). Teknisk tegning II. Paraninfo SA: Editions of the Tower.
- Coxeter, H. (1971). Grundlæggende om geometri. Mexico: Limusa-Wiley.
- Coxford, A. (1971). Geometri En transformationsmetode. USA: Laidlaw Brothers.
- Liliana Siñeriz, RS (2005). Induktion og formalisering i undervisningen i stive transformationer i CABRI-miljøet.
- , PJ (1996). Gruppen af isometrier af planet. Madrid: Syntese.
- Suárez, AC (2010). Transformationer i flyet. Gurabo, Puerto Rico: AMCT.