FOURIER-TRANSFORMATION: EGENSKABER, APPLIKATIONER, EKSEMPLER - MATEMATIK

Den Fouriertransformation er en analytisk tilstrækkelighed metode orienteret til integrable funktioner, der hører til familien af integrale transformationer. Det består af en omdefinering af funktioner f (t) med hensyn til Cos (t) og Sen (t).

De trigonometriske identiteter af disse funktioner sammen med deres afledning og antideriveringskarakteristika tjener til at definere Fourier-transformen gennem følgende komplekse funktion:

Hvilket er sandt, så længe udtrykket giver mening, det vil sige, når det forkerte integral er konvergent. Algebraically siges Fourier-transformationen at være en lineær homeomorfisme.

Hver funktion, der kan arbejdes med en Fourier-transformation, skal have null uden for en defineret parameter.

Ejendomme

Kilde: pexels

Fourier-transformen opfylder følgende egenskaber:

eksistens

For at verificere eksistensen af Fourier-transformen i en funktion f (t) defineret i realerne R, skal følgende 2 aksiomer være opfyldt:

f (t) er stykkevis kontinuerlig for alle R
f (t) er integreret i R

Fourier transformation linearitet

Lad M (t) og N (t) være alle to funktioner med en bestemt Fourier-transformation, med enhver konstant a og b.

F (z) = a F (z) + b F (z)

Hvilket også understøttes af lineariteten af integralen med samme navn.

Fourier-transformation af et derivat

Der er en funktion f, der er kontinuerlig og integrerbar i alle realer, hvor:

Og derivatet af f (f ') er kontinuerligt og stykkevis defineret i hele R

Fourier-transformationen af et derivat defineres ved integration af dele, ved følgende udtryk:

F (z) = iz F (z)

I afledningerne af højere orden vil det blive anvendt på en homolog måde, hvor vi for alle n 1 har:

F (z) = (iz) ⁿ F (z)

Fourier transform differentiering

Der er en funktion f, der er kontinuerlig og integrerbar i alle realer, hvor:

Fourier transformation af en oversættelse

For hvert θ, der hører til et sæt S og T, der tilhører sættet S ', har vi:

F = e ^-ay FF = e ^-iax F

Med τ _{a der} fungerer som oversættelsesoperatør på vektoren a.

Oversættelse af Fourier-transformen

For hvert θ, der hører til et sæt S og T, der tilhører sættet S ', har vi:

τ _a F = F τ _a F = F

For alle af som hører til R

Fourier transformation af en skala gruppe

For alle θ der hører til et sæt S. T, der hører til sættet S '

λ tilhørende R - {0} har vi:

F = (1 / -λ-) F ( y / λ)

F = (1 / -λ-) F (y / λ)

Hvis f er en kontinuerlig og tydelig integrerbar funktion, hvor en> 0. Derefter:

F (z) = (1 / a) F (z / a)

For at demonstrere dette resultat kan vi fortsætte med ændringen af variablen.

Når T → + og s = ved → + ∞

Når T → - så s = ved → - ∞

symmetri

For at studere Fourier-transformens symmetri skal identiteten af Parseval og Plancherel-formlen verificeres.

Vi har θ og δ, der hører til S. Herfra kan det udledes, at:

Kom

1 / (2π) ^d { F, F } Perseval identitet

1 / (2π) ^{d / 2} - F - _L ² _R ^d Plancherel formel

Fourier transformation af et konvolutionsprodukt

Forfølgelse af lignende mål som i Laplace-transformen henviser til sammenfald af funktioner til produktet mellem deres Fourier-transformer.

Vi har f og g som 2 afgrænsede, definerede og fuldstændigt integrerbare funktioner:

F (f * g) = F (f). F (g)

F (f). F (g) = F (f. G)

Kontinuitet og falde i uendelighed

Hvad er Fourier-transformen til?

Det tjener primært til at forenkle ligninger markant, samtidig med at de afledte udtryk omdannes til magtelementer, der betegner differentielle udtryk i form af integrerede polynomer.

Ved optimering, modulering og modellering af resultater fungerer det som et standardiseret udtryk og er en hyppig ressource for teknik efter flere generationer.

Fourier-serien

De er serier, der er defineret i form af Cosines and Sines; De tjener til at lette arbejde med generelle periodiske funktioner. Når de anvendes, er de en del af teknikkerne til at løse almindelige og partielle differentialligninger.

Fourier-serier er endnu mere generelle end Taylor-serier, fordi de udvikler periodiske diskontinuerlige funktioner, der ikke har Taylor-seriens repræsentation.

Andre former for Fourier-serien

For at forstå Fourier-transformen analytisk er det vigtigt at gennemgå de andre måder, hvorpå Fourier-serien kan findes, indtil Fourier-serien kan defineres i dens komplekse notation.

-Fourier-serie om en funktion af periode 2L

Mange gange er det nødvendigt at tilpasse strukturen af en Fourier-serie til periodiske funktioner, hvis periode er p = 2L> 0 i intervallet.

-Fourier-serien i ulige og lige funktioner

Intervallet tages i betragtning, hvilket giver fordele, når man drager fordel af de symmetriske egenskaber ved funktionerne.

Hvis f er jævn, etableres Fourier-serien som en serie af Cosines.

Hvis f er underligt, etableres Fourier-serien som en serie af Sines.

-Kompleks notation af Fourier-serien

Hvis vi har en funktion f (t), der opfylder alle kravene til udvikling af Fourier-serien, er det muligt at angive den i intervallet ved hjælp af dens komplekse notation:

Applikationer

Kilde: pexels

Beregning af den grundlæggende løsning

Fourier-transformen er et kraftfuldt værktøj i studiet af partielle differentialligninger af den lineære type med konstante koefficienter. De ansøger ligeledes om funktioner med ubegrænsede domæner.

Ligesom Laplace-transformen omdanner Fourier-transformen en delvis afledt funktion til en almindelig differentialligning, meget lettere at betjene.

Cauchy-problemet med varmeforligningen præsenterer et felt med hyppig anvendelse af Fourier-transformen, hvor kernen af varme eller Dirichlets kernefunktion genereres.

Med hensyn til beregningen af den grundlæggende løsning præsenteres følgende tilfælde, hvor det er almindeligt at finde Fourier-transformen:

Signal teori

Den generelle årsag til anvendelsen af Fourier-transformen i denne gren skyldes stort set den karakteristiske nedbrydning af et signal som en uendelig superposition af lettere behandelige signaler.

Det kan være en lydbølge eller en elektromagnetisk bølge, Fourier-transformen udtrykker den i en superposition af enkle bølger. Denne repræsentation er ret hyppig inden for elektroteknik.

På den anden side er der eksempler på anvendelse af Fourier-transformen inden for signalteori:

eksempler

Eksempel 1

Definer Fourier-transformen for følgende udtryk:

Vi kan også repræsentere det på følgende måde:

F (t) = Sen (t)

Den rektangulære puls er defineret:

p (t) = H _{(t + k)} - H _{(t - k)}

Fourier-transformationen anvendes til det følgende udtryk, der ligner moduleringsteoremet.

f (t) = p (t) Sen (t)

Hvor: F = (1/2) i

Og Fourier-transformationen er defineret af:

F = (1/2) i

Eksempel 2

Definer Fourier-transformen for udtrykket:

Da f (h) er en jævn funktion, kan det siges

Integration efter dele anvendes ved at vælge variablerne og deres forskelle som følger

u = sin (zh) du = z cos (zh) dh

dv = h (e ^-h) ² v = (e ^-h) ² /2

Erstatter du har

Efter evaluering under den grundlæggende teorem for beregning

Ved anvendelse af forkendskab om førsteordens differentielle ligninger betegnes udtrykket som

For at få K evaluerer vi

Endelig defineres Fourier-transformationen af udtrykket som

Foreslåede øvelser

Få transformation af udtrykket W / (1 + w ²)

Referencer

Duoandikoetxea Zuazo, J., Fourier-analyse. Addison– Wesley Iberoamericana, det autonome Madrid-universitet, 1995.
Lions, JL, matematisk analyse og numeriske metoder til videnskab og teknologi. Springer - Verlag, 1990.
Lieb, EH, gaussiske kerner har kun gaussiske maksimatorer. Invent. Math. 102, 179-208, 1990.
Dym, H., McKean, HP, Fourier Series og integraler. Academic Press, New York, 1972.
Schwartz, L., Théorie des Distributions. Ed. Hermann, Paris, 1966.

FOURIER-TRANSFORMATION: EGENSKABER, APPLIKATIONER, EKSEMPLER - MATEMATIK - 2025