LAPLACE TRANSFORMATION: DEFINITION, HISTORIE OG HVAD DEN ER TIL - MATEMATIK - 2025

Den Laplace transformere har været i de seneste år af stor betydning i tekniske undersøgelser, matematik, fysik, blandt andre videnskabelige områder, såvel som værende af stor interesse i teorien, giver en enkel måde at løse problemer, der kommer fra videnskab og teknik.

Oprindeligt blev Laplace-transformationen præsenteret af Pierre-Simón Laplace i hans undersøgelse af sandsynlighedsteori og blev oprindeligt behandlet som et matematisk objekt af rent teoretisk interesse.

Aktuelle anvendelser opstår, når forskellige matematikere forsøgte at give en formel begrundelse for de "operationelle regler", der er anvendt af Heaviside i studiet af ligninger af elektromagnetisk teori.

Definition

Lad f være en funktion defineret for t ≥ 0. Laplace-transformationen er defineret som følger:

Laplace-transformen siges at eksistere, hvis den forrige integral konvergerer, ellers siges Laplace-transformen ikke at eksistere.

Generelt bruges små bogstaver til at betegne den funktion, der skal transformeres, og store bogstaver svarer til dens transformation. På denne måde vil vi have:

eksempler

Overvej den konstante funktion f (t) = 1. Vi har dens transformation er:

Hver gang integralet konvergerer, er det hver gang s> 0. Ellers afviger s <0, integralet.

Lad g (t) = t. Dens Laplace-transformation er givet af

Ved at integrere ved dele og vide, at te ^-st har en tendens til 0, når den har en tendens til uendelighed og s> 0, sammen med det forrige eksempel har vi:

Transformationen findes måske ikke, fx for funktionen f (t) = 1 / t, integralet, der definerer dens Laplace-transformation, konvergerer ikke, og dens transformation findes derfor ikke.

Tilstrækkelige betingelser til at garantere, at Laplace-transformationen af ​​en funktion f findes, er at f er stykkevis kontinuerlig for t ≥ 0 og er i eksponentiel rækkefølge.

En funktion siges at være stykkevis kontinuerlig for t ≥ 0, når der for et hvilket som helst interval med a> 0, der er et begrænset antal punkter t _k, hvor f har diskontinuiteter og er kontinuerligt i hvert delinterval.

På den anden side siges en funktion at være af eksponentiel rækkefølge c, hvis der er reelle konstanter M> 0, c og T> 0, således at:

Som eksempler har vi, at f (t) = t ² er af eksponentiel rækkefølge, da -t ² - <e ^3t for alle t> 0.

På en formel måde har vi følgende teorem

Sætning (Tilstrækkelige eksistensvilkår)

Hvis f er en delkontinuerlig funktion for t> 0 og eksponentiel rækkefølge c, eksisterer Laplace-transformationen for s> c.

Det er vigtigt at understrege, at dette er en tilstrækkelig betingelse, dvs. det kan være tilfældet, at der er en funktion, der ikke opfylder disse betingelser, og selv da dens Laplace-transformation findes.

Et eksempel på dette er funktionen f (t) = t ^-1/2, som ikke er ^stykkevis kontinuerlig for t ≥ 0, men dens Laplace-transformation findes.

Laplace-transformation af nogle grundlæggende funktioner

Følgende tabel viser Laplace-transformationer af de mest almindelige funktioner.

Historie

Laplace-transformen skylder Pierre-Simon Laplace, en fransk matematiker og teoretisk astronom, der blev født i 1749 og døde i 1827. Hans berømmelse var sådan, at han blev kendt som Newton of France.

I 1744 viet Leonard Euler sine studier til integraler med formen

som løsninger på almindelige differentialligninger, men han opgav hurtigt denne undersøgelse. Senere undersøgte Joseph Louis Lagrange, der i høj grad beundrede Euler, også disse typer integraler og relaterede dem til sandsynlighedsteori.

1782, Laplace

I 1782 begyndte Laplace at studere sådanne integraler som løsninger på differentialligninger og ifølge historikere besluttede han i 1785 at omformulere problemet, som senere gav anledning til Laplace-transformationerne, som de forstås i dag.

Efter at have været introduceret inden for sandsynlighedsteorien, var det af ringe interesse for forskere på det tidspunkt og blev kun betragtet som et matematisk objekt med kun teoretisk interesse.

Oliver Heaviside

Det var i midten af ​​det 19. århundrede, at den engelske ingeniør Oliver Heaviside opdagede, at differentielle operatører kan behandles som algebraiske variabler, hvilket giver Laplace transformer deres moderne anvendelse.

Oliver Heaviside var en engelsk fysiker, elektrisk ingeniør og matematiker, der blev født i London i 1850 og døde i 1925. Mens han forsøgte at løse differentielle ligningsproblemer anvendt på teorien om vibrationer og ved hjælp af Laplaces studier, begyndte han at forme Moderne applikationer af Laplace transformer.

Resultaterne præsenteret af Heaviside spredte sig hurtigt gennem datidens videnskabelige samfund, men da hans arbejde ikke var strengt, blev han hurtigt kritiseret af de mere traditionelle matematikere.

Dog nytten af ​​Heavisides arbejde med at løse ligninger i fysik gjorde hans metoder populære hos fysikere og ingeniører.

På trods af disse tilbageslag og efter nogle årtier med mislykkede forsøg, kunne man i begyndelsen af ​​det 20. århundrede give en streng begrundelse for de operationelle regler, der blev givet af Heaviside.

Disse forsøg bar frugt takket være indsatsen fra forskellige matematikere såsom Bromwich, Carson, van der Pol, blandt andre.

Ejendomme

Blandt egenskaberne ved Laplace-transformen skiller sig følgende ud:

Linearitet

Lad c1 og c2 være konstanter og f (t) og g (t) -funktioner, hvis Laplace-transformationer er henholdsvis F (s) og G (s), så har vi:

På grund af denne egenskab siges Laplace-transformen at være en lineær operatør.

Eksempel

Første oversættelsesteorem

Hvis det sker, at:

Og 'a' er ethvert reelt tal, så:

Eksempel

Da Laplace-transformationen af ​​cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4), er:

Anden oversættelsesteorem

Ja

Så

Eksempel

Hvis f (t) = t ^ 3, så er F (s) = 6 / s ^ 4. Og derfor omdannelsen af

er G (s) = 6e ^-2s / s ^ 4

Skalaændring

Ja

Og 'a' er en ikke-nøjagtig reel, vi er nødt til det

Eksempel

Da transformeringen af ​​f (t) = sin (t) er F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1), har vi det

Laplaces transformering af derivater

Hvis f, f ', f' ',…, f ⁽ⁿ⁾ er kontinuerlige for t ≥ 0 og er i eksponentiel rækkefølge, og f ⁽ⁿ⁾ (t) er stykkevis kontinuerlig for t ≥ 0, så

Laplace-transformation af integraler

Ja

Så

Multiplikation med t

Hvis vi er nødt til det

Så

Opdeling efter t

Hvis vi er nødt til det

Så

Periodiske funktioner

Lad f være en periodisk funktion med periode T> 0, dvs. f (t + T) = f (t), derefter

Opførsel af F (er) som s har en tendens til uendelig

Hvis f er kontinuerligt i dele og eksponentiel orden og

Så

Omvendte transformationer

Når vi anvender Laplace-transformen på en funktion f (t), får vi F (er), som repræsenterer denne transformation. På samme måde kan vi sige, at f (t) er den inverse Laplace-transformation af F (r) og er skrevet som

Vi ved, at Laplace-transformationerne af f (t) = 1 og g (t) = t er F (s) = 1 / s og G (s) = 1 / s ², derfor har vi det

Nogle almindelige inverse Laplace-transformationer er som følger

Desuden er den inverse Laplace-transformation lineær, det vil sige, det er sandt

Dyrke motion

Finde

For at løse denne øvelse skal vi matche funktionen F (er) med en af ​​de forrige tabel. I dette tilfælde, hvis vi tager + 1 = 5 og bruger linearitetseegenskaben for den inverse transformation, multipliceres og divideres vi med 4! Kom

For den anden inverse transformation anvender vi delvise fraktioner for at omskrive funktionen F (er) og derefter egenskaben linearitet, hvilket opnår

Som vi kan se af disse eksempler, er det almindeligt, at funktionen F (er), der evalueres, ikke nøjagtigt matcher nogen af ​​funktionerne i tabellen. I disse tilfælde er det, som det kan ses, nok at omskrive funktionen, indtil den når den passende form.

Anvendelser af Laplace-transformen

Differentialligninger

Den vigtigste anvendelse af Laplace-transformer er at løse differentialligninger.

Ved hjælp af egenskaben til omdannelsen af ​​et derivat er det klart, at

Y af n-1-derivaterne evalueret ved t = 0.

Denne egenskab gør transformen meget nyttig til at løse initialværdiproblemer, hvor der er involverede differentialligninger med konstante koefficienter.

De følgende eksempler viser, hvordan man bruger Laplace-transformen til at løse differentialligninger.

Eksempel 1

Givet følgende startværdiproblem

Brug Laplace-transformen til at finde løsningen.

Vi anvender Laplace-transformen på hvert medlem af differentialligningen

Ved egenskaben af ​​omdannelsen af ​​et derivat, vi har

Ved at udvikle alt det udtryk og rydde Y (r), vi har

Brug af delvise fraktioner til at omskrive den højre side af ligningen, vi får

Endelig er vores mål at finde en funktion y (t), der tilfredsstiller differentialligningen. Brug af den inverse Laplace-transformation giver os resultatet

Eksempel 2

Løse

Som i det foregående tilfælde anvender vi transformeringen på begge sider af ligningen og adskilte udtryk for sigt.

På denne måde har vi som et resultat

Udskiftning med de givne startværdier og løsning for Y (r)

Ved hjælp af enkle fraktioner kan vi omskrive ligningen som følger

Og anvendelsen af ​​den inverse Laplace-transformation giver os resultatet

I disse eksempler kan man med urette konkludere, at denne metode ikke er meget bedre end traditionelle metoder til løsning af differentialligninger.

Fordelene ved Laplace-transformationen er, at du ikke behøver at bruge parametervariation eller bekymre dig om de forskellige tilfælde af den ubestemte koefficientmetode.

Når vi løser initialværdiproblemer ved hjælp af denne metode, bruger vi desuden de oprindelige betingelser, så det er ikke nødvendigt at udføre andre beregninger for at finde den særlige løsning.

Systemer med differentialligninger

Laplace-transformen kan også bruges til at finde løsninger på samtidige almindelige differentialligninger, som det følgende eksempel viser.

Eksempel

Beslutte

Med de første betingelser er x (0) = 8 og y (0) = 3.

Hvis vi er nødt til det

Så

Løsning giver os som et resultat

Og anvende den inverse Laplace-transformation, vi har

Mekanik og elektriske kredsløb

Laplace-transformationen er af stor betydning inden for fysik, den har hovedsageligt applikationer til mekanik og elektriske kredsløb.

Et simpelt elektrisk kredsløb består af følgende elementer

En switch, et batteri eller kilde, en induktor, en modstand og en kondensator. Når afbryderen lukkes, frembringes en elektrisk strøm, der er betegnet med i (t). Ladningen på kondensatoren angives med q (t).

I henhold til Kirchhoffs anden lov skal spændingen produceret af kilde E i det lukkede kredsløb være lig med summen af ​​hver af spændingsfaldene.

Den elektriske strøm i (t) er relateret til ladningen q (t) på kondensatoren med i = dq / dt. På den anden side defineres spændingsfaldet i hvert af elementerne som følger:

Spændingsfaldet over en modstand er iR = R (dq / dt)

Spændingsfaldet over en induktor er L (di / dt) = L (d ² q / dt ²)

Spændingsfaldet over en kondensator er q / C

Med disse data og anvendelse af Kirchhoffs anden lov på det enkle lukkede kredsløb opnås en anden ordens differentialligning, der beskriver systemet og giver os mulighed for at bestemme værdien af ​​q (t).

Eksempel

En induktor, en kondensator og en modstand er forbundet til et batteri E, som vist på figuren. Induktoren er 2 høns, kondensatoren er 0,02 farads og modstanden er 16 ohm. På tidspunktet t = 0 er kredsløbet lukket. Find ladningen og strømmen til enhver tid t> 0, hvis E = 300 volt.

Vi har, at den differentielle ligning, der beskriver dette kredsløb, er følgende

Hvor de indledende betingelser er q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

Anvendelse af Laplace-transformen får vi det

Og løsning for Q (t)

Derefter anvender vi den inverse Laplace-transformation, vi har

Referencer

1. G. Holbrook, J. (1987). Laplace-transform til elektronikingeniører. Limusa.
2. Ruiz, LM, & Hernandez, MP (2006). Differensielle ligninger og Laplace-transformation med applikationer. Redaktionel UPV.
3. Simmons, GF (1993). Differenzielle ligninger med anvendelser og historiske noter. McGraw-Hill.
4. Spiegel, MR (1991). Laplace transformerer. McGraw-Hill.
5. Zill, DG, & Cullen, MR (2008). Differensielle ligninger med grænseværdiproblemer. Cengage Learning Editores, SA