DISKRET FOURIER-TRANSFORMATION: EGENSKABER, APPLIKATIONER, EKSEMPLER - MATEMATIK - 2025

Den diskrete Fourier-transformation er en numerisk metode, der bruges til at definere sampler, der henviser til de spektrale frekvenser, der udgør et signal. Den studerer periodiske funktioner i lukkede parametre, hvilket giver et andet diskret signal som et resultat.

For at opnå den diskrete Fourier-transformation af N-punkter på et diskret signal skal følgende 2 betingelser være opfyldt i en sekvens x

TDF

Den diskrete Fourier-transformation kan defineres som en N-punktsudtagning af Fourier-transformen.

Fortolkning af den diskrete Fourier-transformation

Kilde: Pexels

Der er 2 synsvinkler, hvorfra der opnås på en sekvens resultater x _s kan fortolkes gennem den diskrete Fouriertransformation.

-Den første svarer til spektralkoefficienterne, der allerede er kendt fra Fourier-serien. Det observeres i diskrete periodiske signaler med prøver, der falder sammen med sekvensen x _s.

-Den anden omhandler spektret af et diskret aperiodisk signal, med prøver svarende til sekvensen x _s.

Den diskrete transformation er en tilnærmelse til spektret af det originale analoge signal. Dens fase afhænger af prøveeksemplerne, mens dens størrelse afhænger af prøveudtagningsintervallet.

Ejendomme

De algebraiske fundamenter af struktur udgør rationalet for de følgende sektioner.

Linearitet

C. S _n → C. F; Hvis en sekvens ganges med en skalar, vil dens transformation også være.

T _n + V _n = F + F; Transformationen af ​​en sum er lig med summen af ​​transformerne.

dualitet

F → (1 / N) S- _k; Hvis den diskrete Fourier-transformation omberegnes til et udtryk, der allerede er transformeret, opnås det samme udtryk, skaleres i N og vendes med hensyn til den lodrette akse.

foldning

Forfølgelse af lignende mål som i Laplace-transformen henviser til sammenfald af funktioner til produktet mellem deres Fourier-transformer. Konvolution gælder også for diskrete tider og er ansvarlig for mange moderne procedurer.

X _n * R _n → F.F; Transformationen af ​​en konvolvering er lig med produktet af transformerne.

X _n. R _n → F * F; Transformationen af ​​et produkt er lig med omdannelsen af ​​transformerne.

Displacement

X _n-m → F e ^{–i (2π / N) km}; Hvis en sekvens er forsinket af m-prøver, vil dens virkning på den diskrete transformation være en modifikation af den vinkel, der er defineret med (2π / N) km.

symmetri

X _t = X * _t = X _t

Modulation

W ^-Nm _N. x ↔ X _t

Produkt

xy ↔ (1 / N) X _t * Y _t

symmetri

X ↔ X _t = X * _t

konjugat

x * ↔ X * _t

Parseval ligning

Med hensyn til den konventionelle Fourier-transform har den flere ligheder og forskelle. Fourier-transformen konverterer en sekvens til en solid linje. På denne måde siges det, at resultatet af Fourier-variablen er en kompleks funktion af en reel variabel.

Den diskrete Fourier-transformation modtager i modsætning til sig et diskret signal og omdanner det til et andet diskret signal, det vil sige en sekvens.

Hvad er den diskrete Fourier-transform til?

De tjener primært til i høj grad at forenkle ligninger, mens de omdanner afledte udtryk til magtelementer. Betegner differentielle udtryk i integrerbare polynomiske former.

Ved optimering, modulering og modellering af resultater fungerer det som et standardiseret udtryk og er en hyppig ressource for teknik efter flere generationer.

Kilde: pixabay

Historie

Dette matematiske koncept blev introduceret af Joseph B. Fourier i 1811, mens han udviklede en afhandling om forplantning af varme. Det blev hurtigt vedtaget af forskellige grene af videnskab og teknik.

Det blev etableret som det vigtigste arbejdsværktøj i studiet af ligninger med partielle derivater og sammenlignede det endda med det eksisterende arbejdsforhold mellem Laplace-transformen og almindelige differentialligninger.

Hver funktion, der kan arbejdes med en Fourier-transformation, skal have null uden for en defineret parameter.

Diskret Fourier-transformation og dens inverse

Den diskrete transformation opnås gennem udtrykket:

Efter at have givet en diskret sekvens X

Det inverse af den diskrete Fourier-transformation er defineret gennem udtrykket:

Omvendt kraftudtag

Når den diskrete transformation er opnået, tillader det at definere sekvensen i tidsdomænet X.

winged

Parametriseringsprocessen svarende til den diskrete Fourier-transformation ligger i vinduet. For at udføre transformen skal vi begrænse sekvensen i tid. I mange tilfælde har de pågældende signaler ikke disse begrænsninger.

En sekvens, der ikke opfylder størrelseskriterierne, der skal anvendes på den diskrete transformation, kan ganges med en "vindue" -funktion V, der definerer opførslen af ​​sekvensen i en kontrolleret parameter.

X. V

Spektrets bredde afhænger af vinduesbredden. Når bredden på vinduet øges, vil den beregnede transformation være smalere.

Applikationer

Beregning af den grundlæggende løsning

Den diskrete Fourier-transformation er et kraftfuldt værktøj i studiet af diskrete sekvenser.

Den diskrete Fourier-transform transformerer en kontinuerlig variabel funktion til en diskret variabel transformation.

Cauchy-problemet med varmeforligningen præsenterer et hyppigt anvendelsesfelt af den diskrete Fourier-transformation . Hvor kernefunktionen i varme eller Dirichlet-kerne genereres, hvilket gælder for samplingværdier i en defineret parameter.

Signal teori

Den generelle årsag til anvendelsen af ​​den diskrete Fourier-transformation i denne gren skyldes hovedsageligt den karakteristiske nedbrydning af et signal som en uendelig superposition af lettere behandelige signaler.

Det kan være en lydbølge eller en elektromagnetisk bølge, den diskrete Fourier-transformation udtrykker den i en superposition af enkle bølger. Denne repræsentation er ret hyppig inden for elektroteknik.

Fourier-serien

De er serier defineret med hensyn til Cosines og Sines. De tjener til at lette arbejde med generelle periodiske funktioner. Når de anvendes, er de en del af teknikkerne til at løse almindelige og partielle differentialligninger.

Fourier-serier er endnu mere generelle end Taylor-serier, fordi de udvikler periodiske diskontinuerlige funktioner, der ikke har Taylor-seriens repræsentation.

Andre former for Fourier-serien

For at forstå Fourier-transformen analytisk er det vigtigt at gennemgå de andre måder, hvorpå Fourier-serien kan findes, indtil vi kan definere Fourier-serien i dens komplekse notation.

-Fourier-serie om en funktion af periode 2L:

Intervallet tages i betragtning, hvilket giver fordele, når man drager fordel af de symmetriske egenskaber ved funktionerne.

Hvis f er jævn, etableres Fourier-serien som en serie af Cosines.

Hvis f er underligt, etableres Fourier-serien som en serie af Sines.

-Kompleks notation af Fourier-serien

Hvis vi har en funktion f (t), der opfylder alle kravene i Fourier-serien, er det muligt at betegne den i intervallet ved hjælp af dens komplekse notation:

eksempler

Hvad angår beregningen af ​​den grundlæggende løsning, præsenteres følgende eksempler:

På den anden side er følgende eksempler på anvendelsen af ​​den diskrete Fourier-transformation inden for signalteori:

-Problemer med systemidentifikation. Etableret f og g

-Problem med udgangssignalets konsistens

-Problemer med signalfiltrering

Øvelser

Øvelse 1

Beregn den diskrete Fourier-transformation for følgende rækkefølge.

Du kan definere PTO for x som:

X _t = {4, -j2, 0, j2} for k = 0, 1, 2, 3

Øvelse 2

Vi ønsker at bestemme det spektrale signal, der er defineret af udtrykket x (t) = e- ^t gennem en digital algoritme. Hvor den maksimale frekvens, der anmoder om koefficient, er f _m = 1Hz. En harmonisk svarer til f = 0,3 Hz. Fejlen er begrænset til mindre end 5%. Beregn f _s, D og N.

Under hensyntagen til samplingsteoremet f _s = 2f _m = 2 Hz

En frekvensopløsning på f ₀ = 0,1 Hz vælges, hvorfra vi får D = 1 / 0,1 = 10s

0,3 Hz er den frekvens, der svarer til indekset k = 3, hvor N = 3 × 8 = 24 prøver. Angiver, at f _s = N / D = 24/10 = 2,4> 2

Da målet er at få den lavest mulige værdi for N, kan følgende værdier betragtes som en løsning:

f ₀ = 0,3 Hz

D = 1 / 0,3 = 3,33s

k = 1

N = 1 × 8 = 8

Referencer

1. Mestring af den diskrete Fourier-transformation i en, to eller flere dimensioner: Faldgruber og artefakter. Isaac Amidror. Springer Science & Business Media, 19. jul. 2013
2. DFT: En ejermanual til den diskrete Fourier-transformation. William L. Briggs, Van Emden Henson. SIAM, 1. januar. nitten femoghalvfems
3. Digital signalbehandling: teori og praksis. D. Sundararajan. World Scientific, 2003
4. Transformer og hurtige algoritmer til signalanalyse og repræsentationer. Guoan Bi, Yonghong Zeng. Springer Science & Business Media, 6. december. 2012
5. Diskrete og kontinuerlige Fourier-transformationer: Analyse, applikationer og hurtige algoritmer. Eleanor Chu. CRC Press, 19. mar. 2008