SCALEN TRAPEZOID: EGENSKABER, FORMLER OG LIGNINGER, EKSEMPLER - MATEMATIK - 2025

En scalen trapezoid er en polygon med fire sider, hvoraf to er parallelle med hinanden, og med dens fire indvendige vinkler i forskellige mål.

Den firkantede ABCD vises nedenfor, hvor siderne AB og DC er parallelle med hinanden. Dette er nok til at det er en trapezoid, men også de indvendige vinkler α, β, γ og δ er alle forskellige, derfor er trapezoidet scalent.

Figur 1. Firedobbelt ABCD er trapezoid efter betingelse 1 og scalen efter betingelse 2. Kilde: F. Zapata.

Elementer af den scalene trapez

Her er de mest karakteristiske elementer:

-Baser og sider: de parallelle sider af trapezoidet er dens baser, og de to ikke-parallelle sider er siderne.

I en scalen trapezoid er baserne i forskellige længder og de laterale. Imidlertid kan en scalen trapezoid have en lateral, der er lig med længden lig med en base.

-Median: er det segment, der slutter sig til midtpunkterne for de laterale.

-Diagonaler: diagonalen af ​​en trapezoid er det segment, der forbinder to modsatte hjørner. En trapezoid har som hver firsidet to diagonaler. I den scene trapezoid er de af forskellig længde.

Andre trapezoider

Udover den scale trapezoid er der også andre særlige trapezoider: den rigtige trapezoid og den ensartede trapez.

En trapezoid er et rektangel, når en af ​​dens vinkler er rigtigt, mens en isosceles trapezoid har sine sider af samme længde.

Den trapezformede form har adskillige anvendelser på design- og brancheniveau, såsom i konfigurationen af ​​flyvinger, formen på hverdagens genstande som borde, stolrygge, emballering, punge, tekstiltryk og mere.

Figur 2. Den trapesformede form er almindelig i flyvekonfigurationen for fly. Kilde: Wikimedia Commons.

Ejendomme

Egenskaberne ved den scalene trapezoid er anført nedenfor, hvoraf mange strækker sig til de andre typer trapezoid. I det følgende, når "trapezoid" er talt om, vil ejendommen gælde for enhver type, inklusive scalen.

1. Medianen for trapezoidet, det vil sige segmentet, der forbinder midtpunktene på dets ikke-parallelle sider, er parallelt med en hvilken som helst af baserne.

2.- Medianen af ​​en trapezoid har en længde, der er semisumet for dens baser og skærer dens diagonaler i midtpunktet.

3.- Diagonalerne i en trapezoid skærer hinanden ved et punkt, der deler dem op i to sektioner, der er proportionale med kvotienterne på baserne.

4.- Summen af ​​kvadraterne af en trapezoids diagonaler er lig med summen af ​​kvadraterne på dens sider plus dobbeltproduktet af dens baser.

5.- Det segment, der forbinder diagonalernes midtpunkter, har en længde lig med halvdifferensen af ​​baserne.

6.- Vinklerne ved siden af ​​hinanden er supplerende.

7.- I en scalen trapezoid er længderne af dens diagonaler forskellige.

8.- En trapezoid har en indskrevet omkreds kun, hvis summen af ​​dens baser er lig med summen af ​​dens sider.

9.- Hvis en trapezoid har en indskrevet omkreds, er vinklen med toppunktet i midten af ​​nævnte omkreds og sider, der passerer gennem enderne af siden af ​​trapezoidet, lige.

10.- En scalen trapezoid har ikke en omskrevet omkreds, den eneste type trapezoid, der gør det, er ligeben.

Formler og ligninger

De følgende forhold mellem den scalene trapezoid henvises til den følgende figur.

1.- Hvis AE = ED og BF = FC → EF - AB og EF - DC.

2.- EF = (AB + DC) / 2, som er: m = (a + c) / 2.

3. DI = IB = d ₁ /2 og AG = GC = d ₂ /2.

4.- DJ / JB = (c / a) på lignende måde CJ / JA = (c / a).

Figur 3. Median og diagonaler af en scalen trapezoid. Kilde: F. Zapata.

5.- DB ² + AC ² = AD ² + BC ² + 2 AB ∙ DC

tilsvarende:

d ₁ ² + d ₂ ² = d ² + b ² + 2 a ∙ c

6.- GI = (AB - DC) / 2

Det vil sige:

n = (a - c) / 2

7.- α + δ = 180⁰ og ß + y = 180⁰

8.- Hvis α ≠ β ≠ γ ≠ δ, så er d1 ≠ d2.

9.- Figur 4 viser en scalen trapezoid, der har en indskrevet omkreds, i dette tilfælde er det rigtigt, at:

a + c = d + b

10.- I en scalen trapezoid ABCD med en indskrevet omkreds af centrum O gælder følgende også:

∡AOD = ∡BOC = 90⁰

Figur 4. Hvis det i en trapezoid bekræftes, at summen af ​​dens baser er lig med summen af ​​de laterale, er der den omkreds, der er indskrevet i den. Kilde: F. Zapata.

Højde

Højden på en trapezoid defineres som det segment, der går fra et punkt på basen vinkelret på den modsatte base (eller dens forlængelse).

Alle højderne på trapezoidet har den samme måling h, så for det meste refererer ordets højde til dens måling. Kort sagt, højden er afstanden eller adskillelsen mellem baserne.

Højden h kan bestemmes ved at kende længden på en side og en af ​​vinklerne ved siden af ​​siden:

h = d Sen (α) = d Sen (γ) = b Sen (β) = b Sen (δ)

median

Målet m for trapesens median er halvsummen af ​​baserne:

m = (a + b) / 2

diagonaler

d ₁ = √

d ₂ = √

Det kan også beregnes, hvis kun længden på siderne af trapezoidet er kendt:

d ₁ = √

d ₂ = √

Omkreds

Omkretsen er konturens samlede længde, det vil sige summen af ​​alle dens sider:

P = a + b + c + d

Areal

Området med en trapezoid er semisumet i dets baser ganget med dets højde:

A = h ∙ (a + b) / 2

Det kan også beregnes, hvis median m er kendt, og højden h:

A = m ∙ h

Hvis kun længden på siderne af trapezoidet er kendt, kan området bestemmes ved hjælp af Herons formel til trapezoidet:

A = ∙ √

Hvor s er semiperimeteret: s = (a + b + c + d) / 2.

Andre forhold til scalen trapez

Skæringspunktet mellem medianen og diagonalerne og parallellen, der passerer gennem skæringspunktet mellem diagonalerne, giver anledning til andre forhold.

Figur 5. Andre forhold for scalen trapez. Kilde: F. Zapata.

-Forhold for medianen EF

EF = (a + c) / 2; EG = IF = c / 2; EI = GF = a / 2

-Bindinger for segmentet parallelt med baserne KL og passerer gennem skæringspunktet J for diagonalerne

Hvis KL - AB - DC med J ∈ KL, så er KJ = JL = (a ∙ c) / (a ​​+ c)

Konstruktion af den scalene trapez med lineal og kompas

Givet baserne i længderne a og c, hvor en> cy med siderne af længderne b og d, hvor b> d, skal du fortsætte med at følge disse trin (se figur 6):

1.- Med reglen tegnes segmentet af det store AB.

2.- Fra A se og til AB markeres punkt P, så AP = c.

3.- Med kompasset med centrum i P og radius d tegnes en bue.

4.- Et center laves ved B med radius b, tegner en bue, der opfanger buen, der er trukket i det forrige trin. Vi kalder Q skæringspunktet.

Figur 6. Konstruktion af en scalen trapezoid i betragtning af dens sider. Kilde: F. Zapata.

5.- Med midten ved A tegnes en bue med radius d.

6.- Med midten ved Q skal du tegne en bue med radius c, der opfanger buen, der er tegnet i det forrige trin. Afskæringspunktet kaldes R.

7.- Segmenter BQ, QR og RA tegnes med linealen.

8.- Kvadrilateral ABQR er en scalen trapezoid, da APQR er et parallelogram, der garanterer at AB - QR.

Eksempel

Følgende længder er angivet i cm: 7, 3, 4 og 6.

a) Bestem, om det med dem er muligt at konstruere en scalen trapezoid, der kan omskrive en cirkel.

b) Find omkredsen, området, længden af ​​diagonaler og højden af ​​nævnte trapezoid samt radius for den indskrevne cirkel.

- Løsning til

Ved anvendelse af segmenterne i længden 7 og 3 som baser og dem med længden 4 og 6 som sider kan en skalen trapezoid konstrueres ved hjælp af proceduren beskrevet i det foregående afsnit.

Det gjenstår at kontrollere, om det har en indskrevet omkreds, men husker egenskab (9):

Vi ser det effektivt:

7 + 3 = 4 + 6 = 10

Derefter er betingelsen for eksistens af indskrevet omkreds opfyldt.

- Løsning b

Omkreds

Omkretsen P opnås ved at tilføje siderne. Da baserne tilføjer op til 10, og de laterale også, er omkredsen:

P = 20 cm

Areal

For at bestemme området, kun kendt dets sider, anvendes forholdet:

A = ∙ √

Hvor er semiperimeteret:

s = (a + b + c + d) / 2.

I vores tilfælde er semiperimeter værd s = 10 cm. Efter udskiftning af de respektive værdier:

a = 7 cm; b = 6 cm; c = 3 cm; d = 4 cm

rester:

A = √ = (5/2)√63 = 19,84 cm².

Højde

Højden h er relateret til området A ved følgende udtryk:

A = (a + c) ∙ h / 2, hvorfra højden kan opnås ved at rydde:

h = 2A / (a ​​+ c) = 2 * 19,84 / 10 = 3,988 cm.

Radius for den indskrevne cirkel

Radius for den indskrevne cirkel er lig med halve højden:

r = h / 2 = 1.984 cm

diagonaler

Endelig finder vi længden af ​​diagonalerne:

d ₁ = √

d ₂ = √

Korrekt substitution af de værdier, vi har:

d ₁ = √ = √ (36 + 21-7 (20) / 4) = √ (22)

d ₂ = √ = √ (16 + 21-7 (-20) / 4) = √ (72)

Det er: d ₁ = 4,69 cm og d ₂ = 8,49 cm

Figur 7. Scalen trapezoid, der opfylder betingelsen for eksistensen af ​​en indskrevet omkreds. Kilde: F. Zapata.

Træning løst

Bestem de indvendige vinkler på trapezoidet med baserne AB = a = 7, CD = c = 3 og laterale vinkler BC = b = 6, DA = d = 4.

Løsning

Kosinus-sætningen kan anvendes til at bestemme vinklerne. For eksempel bestemmes vinklen ∠A = α fra trekanten ABD med AB = a = 7, BD = d2 = 8.49, og DA = d = 4.

Kosinus-sætningen anvendt på denne trekant ser sådan ud:

d ₂ ² = a ² + d ² - 2 ∙ a ∙ d ∙ Cos (α), det vil sige:

72 = 49 + 16-56 ∙ Cos (α).

Løsning opnås cosinus af vinkel a:

Cos (a) = -1/8

Det vil sige α = ArcCos (-1/8) = 97,18⁰.

De andre vinkler opnås på samme måde, hvor deres værdier er:

ß = 41,41⁰; y = 138,59 ° og til sidst δ = 82,82⁰.

Referencer

1. CEA (2003). Geometrielementer: med øvelser og kompassgeometri. University of Medellin.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematik 2. Grupo Redaktionel Patria.
3. Freed, K. (2007). Oplev polygoner. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. (2013). Generaliserede polygoner. Birkhäuser.
5. Iger. (Sf). Matematik Første semester Tacaná. Iger.
6. Jr. geometri. (2014). Polygoner. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heerenveen og Hornsby. (2006). Matematik: Begrundelse og applikationer (tiende udgave). Pearson Uddannelse.
8. Patiño, M. (2006). Matematik 5. Redaktionel Progreso.
9. Wikipedia. Trapeze. Gendannet fra: es.wikipedia.com