ISOSCELES TRAPEZOID: EGENSKABER, FORHOLD OG FORMLER, EKSEMPLER - MATEMATIK - 2025

En ensartet trapezoid er en firkantet, hvor to af siderne er parallelle med hinanden, og derudover har de to vinkler, der støder op til en af ​​disse parallelle sider, samme mål.

I figur 1 har vi den firkantede ABCD, hvor siderne AD og BC er parallelle. Derudover har vinklerne ∠DAB og ∠ADC ved siden af ​​den parallelle side AD samme mål α.

Figur 1. Isosceles trapez. Kilde: F. Zapata.

Så denne firkantede eller firsidede polygon er faktisk en ensartet trapez.

I en trapezoid kaldes de parallelle sider baserne, og de ikke-parallelle sider kaldes lateralerne. En anden vigtig egenskab er højden, som er afstanden, der adskiller de parallelle sider.

Udover den isosceles trapezoid er der andre typer trapezoid:

-T rapezoid scalen, der har alle dens vinkler og forskellige sider.

-Rektangulær rapszoid, hvor den ene side har ret tilstødende vinkler.

Den trapezformede form er almindelig inden for forskellige områder inden for design, arkitektur, elektronik, beregning og mange flere, som det vil ses senere. Derfor er vigtigheden af ​​at blive fortrolig med dens egenskaber.

Ejendomme

Eksklusivt for den isosceles trapez

Hvis en trapezoid er isosceles, har den følgende karakteristiske egenskaber:

1.- Siderne har den samme måling.

2.- Vinklerne ved siden af ​​baserne er ens.

3.- De modsatte vinkler er supplerende.

4.- Diagonalerne har samme længde, idet de to segmenter, der forbinder de modsatte vertikater, er ens.

5.- Vinklen dannet mellem baserne og diagonalerne er alle af samme mål.

6.- Den har en omskrevet omkreds.

Omvendt, hvis en trapezoid opfylder nogen af ​​de ovennævnte egenskaber, er det en isosceles trapezoid.

Hvis en af ​​vinklerne i en isosceles trapezoid er ret (90º), vil alle de andre vinkler også være rigtige og danne et rektangel. Det vil sige, et rektangel er et bestemt tilfælde af en isosceles trapez.

Figur 2. Popcornbeholderen og skolebordene er formet som en isosceles trapez. Kilde: Pxfuel (til venstre) / McDowell Craig via Flickr. (højre)

For alle trapes

Følgende sæt egenskaber gælder for enhver trapezoid:

7.- Medianen af ​​trapezoidet, det vil sige segmentet, der forbinder midtpunktene på dets ikke-parallelle sider, er parallelt med en hvilken som helst af baserne.

8.- Medianlængden er lig med semisumet (sum divideret med 2) af dets baser.

9.- Medianen af ​​en trapezoid skærer sine diagonaler ved midtpunktet.

10.- Diagonalerne i en trapezoid skærer hinanden ved et punkt, der deler dem i to sektioner, der er proportionale med kvotienterne i baserne.

11.- Summen af ​​kvadraterne af diagonalerne i en trapezoid er lig med summen af ​​kvadraterne på dens sider plus dobbeltproduktet af dens baser.

12.- Det segment, der forbinder diagonalernes midtpunkter, har en længde, der er lig med halvdifferensen af ​​baserne.

13.- Vinklerne ved siden af ​​siderne er supplerende.

14.- En trapezoid har en indskrevet omkreds, hvis og kun hvis summen af ​​dens baser er lig med summen af ​​dens sider.

15.- Hvis en trapezoid har en indskrevet omkreds, er vinklerne med et toppunkt i midten af ​​nævnte omkreds og sider, der passerer gennem enderne af den samme side, retrette vinkler.

Forhold og formler

Følgende sæt af relationer og formler henvises til figur 3, hvor der ud over isosceles trapezoid også vises andre vigtige segmenter, såsom diagonaler, højde og median.

Figur 3. Median, diagonaler, højde og omskrevet omkreds i en isosceles trapezoid. Kilde: F. Zapata.

Unikke forhold mellem isosceles trapez

1.- AB = DC = c = d

2.- ∡DAB = ∡CDA og ∡ABC = ∡BCD

3.- ∡DAB + ∡BCD = 180º og ∡CDA + ∡ABC = 180º

4.- BD = AC

5.- ∡CAD = ∡BDA = ∡CBD = ∡BCA = α ₁

6.- A, B, C og D hører til den omskrevne cirkel.

Forhold til enhver trapeze

1. Hvis AK = KB og DL = LC ⇒ KL - AD og KL - BC

8.- KL = (AD + BC) / 2

9.- AM = MC = AC / 2 og DN = NB = DB / 2

10.- AO / OC = AD / BC og DO / OB = AD / BC

11.- AC ² + DB ² = AB ² + DC ² + 2⋅AD⋅BC

12.- MN = (AD - BC) / 2

13.- ∡DAB + ∡ABC = 180º og ∡CDA + ∡BCD = 180º

14.- Hvis AD + BC = AB + DC ⇒ ∃ R end ækvistant fra AD, BC, AB og DC

15.- Hvis ∃ R er ensartet fra AD, BC, AB og DC, så:

∡BRA = ∡DRC = 90º

Forhold for isosceles trapezium med indskrevet omkreds

Hvis summen af ​​baserne i en isosceles trapezoid er lig med to gange en lateral en, findes den indskrevne cirkel.

Figur 4. Trapezoid med indskrevet omkreds. Kilde: F. Zapata.

Følgende egenskaber gælder, når den isosceles trapezoid har en indskrevet omkreds (se figur 4 ovenfor):

16.- KL = AB = DC = (AD + BC) / 2

17.- Diagonalerne skærer hinanden i rette vinkler: AC ⊥ BD

18.- Højden måler det samme som medianen: HF = KL, det vil sige h = m.

19.- Højden er kvadratet med basenes produkt: h ² = BC⋅AD

20.- Under disse specifikke forhold er trapezoidets areal lig med kvadratet på højden eller basenes produkt: Areal = h ² = BC⋅AD.

Formler til bestemmelse af den ene side, kendskab til de andre og en vinkel

Når man kender en base, den laterale og en vinkel, kan den anden base bestemmes ved:

a = b + 2c Cos α

b = a - 2c Cos α

Hvis længden af ​​baserne og en vinkel er angivet som kendte data, er længderne på begge sider:

c = (a - b) / (2 Cos α)

Bestemmelse af den ene side, kendskab til den anden og en diagonal

a = (d ₁ ² - c ²) / b;

b = (d ₁ ² - c ²) / a

c = √ (d ₁ ² - a⋅b)

Hvor d ₁ er længden af ​​diagonalerne.

Bund fra højde, område og anden base

a = (2 A) / h - b

b = (2 A) / h - a

Kendte sidebaser, område og en vinkel

c = (2A) /

Kendt lateral median, område og vinkel

c = A / (m sin α)

Kendt højde på siderne

h = √

Kendt højde en vinkel og to sider

h = tg α⋅ (a - b) / 2 = c. synd α

Kendte diagonaler på alle sider eller to sider og en vinkel

d ₁ = √ (c ² + ab)

d ₁ = √ (a ² + c ² - 2 ac Cos α)

d ₁ = √ (b ² + c ² - 2 bc Cos β)

Omkretsen af ​​den ensartede trekant

P = a + b + 2c

Isosceles trapezområde

Der er flere formler til beregning af området, afhængigt af de kendte data. Følgende er det bedst kendte, afhængigt af baser og højde:

A = h⋅ (a + b) / 2

Og du kan også bruge disse andre:

-Hvis siderne er kendt

A = √

-Når du har to sider og en vinkel

A = (b + c Cos α) c Sen α = (a - c Cos α) c Sen α

-Hvis radius for den indskrevne cirkel og en vinkel er kendt

A = 4 r ² / Sen α = 4 r ² / Sen β

-Når baserne og en vinkel er kendt

A = a⋅b / Sen α = a⋅b / Sen β

-Hvis trapezoidet kan indskrives en omkreds

A = c⋅√ (a⋅b) = m⋅√ (a⋅b) = r⋅ (a + b) / 2

-Kend diagonalerne og den vinkel, de danner med hinanden

A = (d ₁ ² /2) γ = Sen (d ₁ ² /2) A Sen

-Når du har sideværts, median og en vinkel

A = mc.sen α = mc.sen β

Radius for den omskrevne cirkel

Kun isosceles trapezoider har en omskrevet omkreds. Hvis den større base a, den laterale c og den diagonale d1 _{er kendt}, er radius R for cirklen, der passerer gennem trapesformens fire hjørner:

R = a⋅c⋅d ₁ / 4√

Hvor p = (a + c + d ₁) / 2

Eksempler på anvendelse af isosceles trapezoid

Løgspids-trapezoid vises inden for designfeltet, som det ses i figur 2. Og her er nogle yderligere eksempler:

I arkitektur og konstruktion

De gamle inkaer kendte isosceles trapezoid og brugte det som et bygningselement i dette vindue i Cuzco, Peru:

Figur 5 Trapesformet vindue på Coricancha, Cuzco. Kilde: Wikimedia Commons.

Og her vises trapezoidet igen i det såkaldte trapezformede ark, et materiale, der ofte bruges i konstruktionen:

Figur 6. Trapesformet metalplade beskytter midlertidigt vinduerne i en bygning. Kilde: Wikimedia Commons.

I design

Vi har allerede set, at den isosceles trapezoid vises i hverdagens genstande, inklusive fødevarer som denne chokoladestang:

Figur 7. Chokoladestang, hvis ansigter er formet som en isosceles trapes. Kilde: Pxfuel.

Løst øvelser

- Øvelse 1

En ensartet trapezoid har en base, der er større end 9 cm, en base mindre end 3 cm, og dens diagonaler 8 cm hver. Beregn:

a) Side

b) Højde

c) Omkrets

d) Område

Figur 8. Skema til øvelse 1. Kilde: F. Zapata

Løsning på

Højden CP = h er afbildet, hvor højdenes fod definerer segmenterne:

PD = x = (ab) / 2 år

AP = a - x = a - a / 2 + b / 2 = (a + b) / 2.

Brug af Pythagorean teorem til højre trekant DPC:

c ² = h ² + (a - b) ² /4

Og også til højre trekant APC:

d ² = h ² + AP ² = h ² + (a + b) ² /4

Endelig fratrækkes medlem af medlem, den anden ligning fra den første og forenklede:

d ² - c ² = ¼ = ¼

d ² - c ² = ¼ = ab

c ² = d ² - ab ⇒ c = √ (d ² - ab) = √ (8 ² - 9⋅3) = √37 = 6,08 cm

Løsning b

h ² = d ² - (a + b) ² /4 = 8 ² - (12 ² /2 ²) = 8 ² - 6 ² = 28

h = 2 √7 = 5,29 cm

Opløsning c

Omkrets = a + b + 2 c = 9 + 3 + 2⋅6.083 = 24.166 cm

Opløsning d

Areal = h (a + b) / 2 = 5,29 (12) / 2 = 31,74 cm

- Øvelse 2

Der er en isosceles trapezoid, hvis større base er dobbelt så lille, og dens mindre base er lig med højden, som er 6 cm. Beslutte:

a) Sidens længde

b) Omkrets

c) Område

d) Vinkler

Figur 8. Skema til øvelse 2. Kilde: F. Zapata

Løsning på

Data: a = 12, b = a / 2 = 6 og h = b = 6

Vi fortsætter som følger: vi tegner højden h og anvender Pythagorean sætning på hypotenuse trekanten «c» og ben h og x:

c ² = h ² + xc ²

Derefter skal du beregne værdien på højden ud fra dataene (h = b) og værdien af ​​benet x:

a = b + 2 x ⇒ x = (ab) / 2

I stedet for de tidligere udtryk, vi har:

c ² = b ² + (ab) ² /2 ²

Nu introduceres de numeriske værdier, og det forenkles:

c ² = 62+ (12-6) 2/4

c ² = 62 (1 + ¼) = 62 (5/4)

Indhentning:

c = 3√5 = 6,71 cm

Løsning b

Omkretsen P = a + b + 2 c

P = 12 + 6 + 6√5 = 6 (8 + √5) = 61,42 cm

Opløsning c

Området som en funktion af basernes højde og længde er:

A = h⋅ (a + b) / 2 = 6⋅ (12 + 6) / 2 = 54 cm ²

Opløsning d

Vinklen a, som lateralen danner med den større base, opnås ved trigonometri:

Brun (α) = h / x = 6/3 = 2

α = ArcTan (2) = 63,44º

Den anden vinkel, den, der danner lateral med den mindre base, er β, som er supplement til α:

β = 180º - α = 180º - 63,44º = 116,56º

Referencer

1. EA 2003. Geometrielementer: med øvelser og geometri af kompasset. University of Medellin.
2. Campos, F. 2014. Matematik 2. Grupo Redaktionel Patria.
3. Freed, K. 2007. Oplev Polygoner. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. 2013. Generaliserede polygoner. Birkhäuser.
5. Iger. Matematik Første semester Tacaná. Iger.
6. Jr. geometri. 2014. Polygoner. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heerenveen og Hornsby. 2006. Matematik: Begrundelse og applikationer. 10th. Edition. Pearson Uddannelse.
8. Patiño, M. 2006. Matematik 5. Redaktionel Progreso.
9. Wikipedia. Trapeze. Gendannet fra: es.wikipedia.com