SCALENE TREKANT: EGENSKABER, FORMEL OG OMRÅDER, BEREGNING - MATEMATIK - 2025

En scalene trekant er en polygon med tre sider, som alle har forskellige mål eller længder; af den grund får den navnet scalen, der på latin betyder klatring.

Trekanter er polygoner, der betragtes som de enkleste i geometri, fordi de består af tre sider, tre vinkler og tre hjørner. Når det gælder den scalene trekant, betyder det, at alle siderne er forskellige, at dens tre vinkler også er.

Karakteristika ved scalentrekanter

Scalene trekanter er enkle polygoner, fordi ingen af ​​deres sider eller vinkler har samme mål, i modsætning til isosceles og ligesidede trekanter.

Fordi alle deres sider og vinkler har forskellige mål, betragtes disse trekanter som uregelmæssige konvekse polygoner.

Baseret på amplituden af ​​de indre vinkler klassificeres scalentrekanter som:

• Scalene højre trekant: alle sider er forskellige. En af dens vinkler er ret (90 ^eller), og de andre er skarpe og med forskellige mål.
• Stump scalene trekant: alle sider er forskellige, og en af ​​dens vinkler er stump (> 90 ^eller).
• Scalene akutte trekant: alle sider er forskellige. Alle vinkler er akutte (<90 ^eller) med forskellige mål.

Et andet kendetegn ved scalene trekanter er, at de på grund af inkongruiteten af ​​deres sider og vinkler ikke har en symmetriakse.

komponenter

Medianen: det er en linje, der starter fra midtpunktet på den ene side og når det modsatte toppunkt. De tre medianer mødes på et punkt kaldet barycenter eller centroid.

Halvdelingen: det er en stråle, der deler hver vinkel i to lige store vinkler. Halvdelene i en trekant mødes på et punkt kaldet incenter.

Halvdelingen: det er et segment vinkelret på siden af ​​trekanten, der har sin oprindelse i midten af ​​den. Der er tre halvlinjer i en trekant, og de mødes på et punkt kaldet circumcenter.

Højden: det er linjen, der går fra toppunktet til den modsatte side, og også denne linje er vinkelret på den side. Alle trekanter har tre højder, der falder sammen på et punkt kaldet orthocentret.

Ejendomme

Scalene trekanter er defineret eller identificeret, fordi de har flere egenskaber, der repræsenterer dem, og som stammer fra de teoremer, der er foreslået af store matematikere. De er:

Indvendige vinkler

Summen af ​​de indvendige vinkler er altid lig med 180 ^°.

Summen af ​​siderne

Summen af ​​målingerne fra to sider skal altid være større end måden på den tredje side, a + b> c.

Uforholdsmæssige sider

Alle sider af scalene trekanter har forskellige mål eller længder; det vil sige, de er inkongruøse.

Inkongruous vinkler

Da alle siderne af den scalene trekant er forskellige, vil dens vinkler også være. Summen af ​​de indre vinkler vil dog altid være lig med 180 °, og i nogle tilfælde kan en af ​​dens vinkler være stump eller ret, mens i andre vil alle dens vinkler være skarpe.

Højde, median, halvering og halvering er ikke tilfældigt

Som enhver trekant har scalene forskellige linjesegmenter, der komponerer det, såsom: højde, median, halvering og halvering.

På grund af dets sider, er der ingen af ​​disse linjer i denne type trekant sammenfaldende i én.

Ortocenter, barycenter, incenter og circumcenter er ikke tilfældigt

Da højden, median, halvering og halvering er repræsenteret af forskellige linjesegmenter, i en skalentrekant vil mødepunkterne - orthocentret, incenteret og circumcenteret findes på forskellige punkter (de falder ikke sammen).

Afhængigt af om trekanten er akut, højre eller skalen, har ortocentret forskellige placeringer:

til. Hvis trekanten er akut, vil ortocentret være inde i trekanten.

b. Hvis trekanten er højre, falder orthocenteret sammen med højre side af toppunktet.

c. Hvis trekanten er stump, vil orthocentret være på ydersiden af ​​trekanten.

Relative højder

Højderne er i forhold til siderne.

Når det gælder den scalene trekant, har disse højder forskellige målinger. Hver trekant har tre relative højder, og Herons formel bruges til at beregne dem.

Hvordan beregner man omkredsen?

Omkring af en polygon beregnes ved at tilføje siderne.

Da den scalene trekant i dette tilfælde har alle sine sider med forskellige mål, vil dens omkreds være:

P = side a + side b + side c.

Hvordan beregnes området?

Trekanternes areal beregnes altid med den samme formel, multiplicerer basetidens højde og divideres med to:

Areal = (base _* h) ÷ 2

I nogle tilfælde er højden på den scalene trekant ikke kendt, men der er en formel, der blev foreslået af matematikeren Herón, til at beregne det område, der kender målene for de tre sider af en trekant.

Hvor:

• a, b og c repræsenterer siderne af trekanten.
• sp, svarer til trekantens semiperimeter, det vil sige halvdelen af ​​omkredsen:

sp = (a + b + c) ÷ 2

I tilfælde af at du kun har mål for to af trekantens sider og vinklen mellem dem, kan området beregnes ved at anvende de trigonometriske forhold. Så du skal:

Areal = (side _* h) ÷ 2

Hvor højden (h) er produktet fra den ene side og sinussen i den modsatte vinkel. For hver side vil området for eksempel være:

• Areal = (b _* c _* sin A) ÷ 2
• Areal = (a _* c _* sin B) ÷ 2.
• Areal = (a _* b _* sin C) ÷ 2

Hvordan beregnes højden?

Da alle sider af den scalene trekant er forskellige, er det ikke muligt at beregne højden med den Pythagoreiske teorem.

Fra Herons formel, der er baseret på målingerne af de tre sider af en trekant, kan området beregnes.

Højde kan fjernes fra den generelle formel for området:

Siden erstattes af målet for side a, b eller c.

En anden måde at beregne højden på, når værdien af ​​en af ​​vinklerne er kendt, er ved at anvende de trigonometriske forhold, hvor højden repræsenterer et ben i trekanten.

Når vinklen modsat højden for eksempel er kendt, bestemmes den af ​​sinussen:

Hvordan beregner man siderne?

Når du måler to sider og vinklen overfor dem, er det muligt at bestemme den tredje side ved at anvende kosinus-sætningen.

For eksempel er en højde i forhold til segment AC i en trekant AB afbildet. På denne måde er trekanten opdelt i to højre trekanter.

For at beregne side c (segment AB) skal du anvende Pythagorean-sætningen for hver trekant:

• For den blå trekant har vi:

c ² = h ² + m ²

Da m = b - n, erstatter vi:

c ² = h ² + b ² (b - n) ²

c ² = h ² + b ² - 2 mia + n ².

• For den lyserøde trekant skal du:

h ² = a ² - n ²

Det er substitueret i den forrige ligning:

c ² = a ² - n ² + b ² - 2 mia + n ²

c ² = a ² + b ² - 2 mia.

Når man ved, at n = a _* cos C, er det substitueret i den forrige ligning, og værdien af ​​side c opnås:

c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C.

Ved kosinesloven kan siderne beregnes som:

• a ² = b ² + c ² - 2b _* c _* cos A.
• b ² = en ² + c ² - 2a _* c _* cos B.
• c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C.

Der er tilfælde, hvor målingerne på siderne af trekanten ikke er kendt, men snarere deres højde og de vinkler, der er dannet ved hjørnerne. For at bestemme området i disse tilfælde er det nødvendigt at anvende de trigonometriske forhold.

Når man kender vinklen på en af ​​dets knudepunkter, identificeres benene, og det tilsvarende trigonometriske forhold anvendes:

For eksempel vil benet AB være modsat for vinkel C, men ved siden af ​​vinkel A. Afhængigt af den side eller det ben, der svarer til højden, ryddes den anden side for at opnå værdien af ​​dette.

Øvelser

Første øvelse

Beregn arealet og en højde af den scalene trekant ABC ved at vide, at dens sider er:

a = 8 cm.

b = 12 cm.

c = 16 cm.

Løsning

Som data er målingerne af de tre sider af den scalene trekant angivet.

Da højdeværdien ikke er tilgængelig, kan området bestemmes ved at anvende Herons formel.

Først beregnes semiperimeteret:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) ÷ 2

sp = 36 cm ÷ 2

sp = 18 cm.

Nu erstattes værdierne i Herons formel:

Når man kender området, kan man beregne højden i forhold til side b. Fra den generelle formel, der renser den, har vi:

Areal = (side _* h) ÷ 2

46, 47 cm ² = (12 cm _* h) ÷ 2

h = (2 _* 46,47 cm ²) ÷ 12 cm

h = 92,94 cm ² ÷ 12 cm

h = 7,75 cm.

Anden øvelse

I betragtning af den scalene trekant ABC, hvis mål er:

• Segment AB = 25 m.
• Segment BC = 15 m.

Ved toppunkt B dannes en vinkel på 50º. Beregn højden i forhold til side c, omkreds og område af den trekant.

Løsning

I dette tilfælde har vi målingerne fra to sider. For at bestemme højden er det nødvendigt at beregne måling af den tredje side.

Da vinklen modsat de givne sider er givet, er det muligt at anvende kosinusloven for at bestemme måling af side AC (b):

b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B

Hvor:

a = BC = 15 m.

c = AB = 25 m.

b = AC.

B = 50 ^o.

Dataene erstattes:

b ² = (15) ² + (25) ² - 2 _* (15) _* (25) _* cos 50

b ² = (225) + (625) - (750) _* 0,6427

b ² = (225) + (625) - (482,025)

b ² = 367,985

b = √367,985

b = 19,18 m.

Da vi allerede har værdien af ​​de tre sider, beregnes omkredsen af ​​den trekant:

P = side a + side b + side c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59,18 m

Nu er det muligt at bestemme området ved at anvende Herons formel, men først må semiperimeteret beregnes:

sp = P ÷ 2

sp = 59,18 m ÷ 2

sp = 29,59 m.

Målingerne af siderne og semiperimeteret er erstattet med Herons formel:

Endelig at kende området, kan højden i forhold til side c beregnes. Fra den generelle formel skal du rydde den:

Areal = (side _* h) ÷ 2

143,63 m ² = (25 m _* h) ÷ 2

h = (2 _* 143,63 m ²) ÷ 25 m

h = 287,3 m ² ÷ 25 m

h = 11,5 m.

Tredje øvelse

I den scalene trekant er ABC-side 40 cm, siden c er 22 cm, og spidsen A dannes en vinkel 90 ^eller. Beregn området for den trekant.

Løsning

I dette tilfælde er målene på to sider af den scalene trekant ABC angivet såvel som den vinkel, der er dannet ved toppunktet A.

For at bestemme området er det ikke nødvendigt at beregne målet for side a, da vinklen gennem de trigonometriske forhold anvendes til at finde det.

Da vinklen modsat højden er kendt, bestemmes den af ​​produktet fra den ene side og sinus af vinklen.

I stedet for den formel, vi har:

• Areal = (side _* h) ÷ 2
• h = c _* sin A

Areal = (b _* c _* sin A) ÷ 2

Areal = (40 cm _* 22 cm _* sin 90) ÷ 2

Areal = (40 cm _* 22 cm _* 1) ÷ 2

Areal = 880 cm ² ÷ 2

Areal = 440 cm ².

Referencer

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Teknisk tegning: aktivitetsnotebook.
2. Ángel Ruiz, HB (2006). Geometrier. CR-teknologi,.
3. Angel, AR (2007). Elementær algebra. Pearson Education,.
4. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Kultur.
5. Barbosa, JL (2006). Plan euklidisk geometri. Rio de Janeiro,.
6. Coxeter, H. (1971). Grundlæggende om geometri. Mexico: Limusa-Wiley.
7. Daniel C. Alexander, GM (2014). Elementærgeometri for studerende. Cengage Learning.
8. Harpe, P. d. (2000). Emner i geometrisk gruppeteori. University of Chicago Press.