ISOSCELES TREKANT: EGENSKABER, FORMEL OG AREAL, BEREGNING - MATEMATIK - 2025

En ensartet trekant er en polygon med tre sider, hvor to af dem har samme mål og den tredje side en anden måling. Denne sidste side kaldes basen. På grund af denne egenskab fik det dette navn, som på græsk betyder "lige ben"

Trekanter er polygoner, der betragtes som de enkleste i geometri, fordi de består af tre sider, tre vinkler og tre hjørner. Det er dem, der har mindst antallet af sider og vinkler i forhold til de andre polygoner, men deres anvendelse er meget omfattende.

Karakteristika ved ensartede trekanter

Isosceles-trekanten blev klassificeret ved hjælp af målet på dens sider som en parameter, da to af dens sider er kongruente (de har samme længde).

Baseret på amplituden af ​​de indvendige vinkler klassificeres ensartede trekanter som:

• Isosceles højre trekant: to af dens sider er lige. Ene hjørne er lige (90 ^eller), og de andre er den samme (45 ^eller hver)
• Isosceles stump trekant: to af dens sider er lige. En af vinklerne er stump (> 90 ^eller).
• Isosceles akutte trekant: to af dens sider er lige. Alle vinkler er akutte (<90 ^eller), hvor begge har samme mål.

komponenter

• Medianen: det er en linje, der starter fra midtpunktet på den ene side og når det modsatte toppunkt. De tre medianer mødes på et punkt kaldet barycenter eller centroid.
• Halvdelingen: det er en stråle, der deler vinklen på hvert toppunkt i to lige store vinkler. Derfor er det kendt som symmetriaksen, og denne type trekanter har kun en.
• Halvdelingen: det er et segment vinkelret på siden af ​​trekanten, der har sin oprindelse i midten af ​​den. Der er tre medikamenter i en trekant, og de mødes på et punkt kaldet circumcenter.
• Højden: det er linjen, der går fra toppunktet til den modsatte side, og også denne linje er vinkelret på den side. Alle trekanter har tre højder, der falder sammen på et punkt kaldet orthocentret.

Ejendomme

Isosceles trekanter er defineret eller identificeret, fordi de har flere egenskaber, der repræsenterer dem, og som stammer fra de teoremer, der er foreslået af store matematikere:

Indvendige vinkler

Summen af ​​de indvendige vinkler er altid lig med 180 ^°.

Summen af ​​siderne

Summen af ​​målingerne fra to sider skal altid være større end måden på den tredje side, a + b> c.

Congruente sider

Isosceles trekanter har to sider med samme mål eller længde; de er kongruente, og den tredje side er forskellig fra disse.

Congruente vinkler

Isosceletrekanter er også kendt som isoangle trekanter, fordi de har to vinkler, der har samme mål (kongruent). Disse er placeret ved bunden af ​​trekanten modsat de sider, der har samme længde.

På grund af dette blev teoremet genereret, der siger, at:

"Hvis en trekant har to kongruente sider, vil vinklerne overfor disse sider også være kongruente." Derfor, hvis en trekant er ensben, er vinklerne på dens baser kongruente.

Eksempel:

Den følgende figur viser en trekant ABC. Ved at tegne sin halveringslinje fra toppunktet af vinkel B til basen, er trekanten opdelt i to lige trekanter BDA og BDC:

På denne måde blev vinklen af ​​toppunkt B også delt i to lige vinkler. Halvdelingen er nu den fælles side (BD) mellem disse to nye trekanter, mens siderne AB og BC er de kongruente sider. Således har vi tilfældet med side, vinkel, side (LAL) kongruens.

Dette viser, at vinklerne på knudepunkterne A og C har samme mål, såvel som det kan også vises, at da trekanterne BDA og BDC er kongruente, er siderne AD og DC også kongruente.

Højde, median, halvering og halvering er sammenfaldende

Linjen, der trækkes fra toppunktet modsat basen til midtpunktet for basen i den ensartede trekant, er på samme tid højden, medianen og halvdelen samt halvdelen i forhold til basens modsatte vinkel.

Alle disse segmenter falder sammen i et, der repræsenterer dem.

Eksempel:

Den følgende figur viser trekanten ABC med et midtpunkt M, der deler basen i to segmenter BM og CM.

Ved at tegne et segment fra punkt M til det modsatte toppunkt opnås per definition median AM, som er i forhold til toppunkt A og side BC.

Idet segment AM opdeler trekant ABC i to lige trekanter AMB og AMC, betyder det, at tilfældet med kongruensside, vinkel, side vil være haft, og derfor vil AM også være halvering af BÂC.

Derfor er halvlinjen altid lig med medianen og vice versa.

Segment AM danner vinkler, der har samme mål for trekanter AMB og AMC; det vil sige, de er supplerende på en sådan måde, at målingen for hver enkelt vil være:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180 ^eller

2 _* Med. (AMC) = 180 ^eller

Med. (AMC) = 180 ^eller ÷ 2

Med. (AMC) = 90 ^eller

Det kan være kendt, at vinklerne dannet af AM-segmentet i forhold til basen i trekanten er rigtige, hvilket indikerer, at dette segment er fuldstændigt vinkelret på basen.

Derfor repræsenterer det højden og halvdelen, vel vidende at M er midtpunktet.

Derfor linjen AM:

• Repræsenterer på højden af ​​BC.
• Er mellemstor.
• Det er indeholdt i halvdelen af ​​BC.
• Det er halveringsvinklen af ​​toppunktets vinkel Â

Relative højder

Højder, der er i forhold til lige sider, har også den samme måling.

Da den ensartede trekant har to lige sider, vil deres to respektive højder også være ens.

Ortocenter, barycenter, incenter og tilfældigt circumcenter

Da højden, median, bisector og bisector i forhold til basen er repræsenteret på samme tid af det samme segment, vil orthocentret, center barycenter og circumcenter være kollinære punkter, dvs. de vil være på samme linje:

Hvordan beregner man omkredsen?

Omkring af en polygon beregnes ved at tilføje siderne.

Som i dette tilfælde har den ensartede trekant to sider med samme mål, beregnes dens omkreds med følgende formel:

P = 2 _* (side a) + (side b).

Hvordan beregnes højden?

Højden er linjen vinkelret på basen, den deler trekanten i to lige store dele, når den strækker sig til det modsatte toppunkt.

Højden repræsenterer det modsatte ben (a), midten af ​​basen (b / 2) det tilstødende ben og siden "a" repræsenterer hypotenusen.

Ved hjælp af den Pythagoreiske teorem kan værdien af ​​højden bestemmes:

en ² + b ² = c ²

Hvor:

a ² = højde (h).

b ² = b / 2.

c ² = side a.

Ved at udskifte disse værdier i den Pythagoreiske teorem og løse højden, har vi:

h ² + (b / 2) ² = a ²

h ² + b ² /4 = en ²

h ² = en ² - b ² /4

h = √ (a ² - b ² /4).

Hvis vinklen dannet af de kongruente sider er kendt, kan højden beregnes med følgende formel:

Hvordan beregnes området?

Trekanternes område beregnes altid med den samme formel, multiplicerer basen med højde og divideres med to:

Der er tilfælde, hvor kun målingerne af to sider af trekanten og den mellem dem dannede vinkel er kendt. I dette tilfælde er det nødvendigt at anvende de trigonometriske forhold for at bestemme området:

Hvordan beregnes basen af ​​trekanten?

Da den ensartede trekant har to lige sider, for at bestemme værdien af ​​dens base, skal du mindst kende målene for højden eller en af ​​dens vinkler.

Når man kender højden, bruges Pythagorean-sætningen:

en ² + b ² = c ²

Hvor:

a ² = højde (h).

c ² = side a.

b ² = b / 2, er ukendt.

Vi isolerer b ² fra formlen, og vi har:

b ² = en ² - c ²

b = √ a ² - c ²

Da denne værdi svarer til halve basen, skal den ganges med to for at opnå det fulde mål for basen i den ensartede trekant:

b = 2 _* (√ a ² - c ²)

I det tilfælde, at kun værdien af ​​dens lige sider og vinklen mellem dem er kendt, anvendes trigonometri, der trækker en linje fra toppunktet til basen, der deler likeartede trekanten i to højre trekanter.

På denne måde beregnes halvdelen af ​​basen med:

Det er også muligt, at kun værdien af ​​højden og vinklen på toppunktet, der er modsat basen, er kendt. I dette tilfælde kan basen bestemmes ved hjælp af trigonometri:

Øvelser

Første øvelse

Find området med den ensartede trekant ABC ved at vide, at to af dens sider er 10 cm og den tredje side er 12 cm.

Løsning

For at finde arealet i trekanten er det nødvendigt at beregne højden ved hjælp af arealformlen, der er relateret til Pythagorean sætning, da værdien af ​​den vinkel, der er dannet mellem de lige sider, ikke er kendt.

Vi har følgende data om den ensartede trekant:

• Lige sider (a) = 10 cm.
• Bund (b) = 12 cm.

Værdierne er substitueret i formlen:

Anden øvelse

Længden af ​​de to lige sider i en ensartet trekant er 42 cm, samlingen af ​​disse sider danner en vinkel på 130 ^eller. Bestem værdien af ​​den tredje side, området for den trekant og omkredsen.

Løsning

I dette tilfælde er målingerne af siderne og vinklen imellem dem kendt.

For at kende værdien af ​​den manglende side, det vil sige basen i den trekant, tegnes en linje vinkelret på den, der deler vinklen i to lige store dele, en for hver højre trekant, der er dannet.

• Lige sider (a) = 42 cm.
• Vinkel (Ɵ) = 130 ^o

Ved trigonometri beregnes værdien af ​​halvdelen af ​​basen nu, hvilket svarer til halvdelen af ​​hypotenusen:

For at beregne arealet er det nødvendigt at kende højden på den trekant, som kan beregnes ved hjælp af trigonometri eller ved hjælp af Pythagorean-sætningen, nu hvor basens værdi allerede er bestemt.

Ved trigonometri vil det være:

Omkretsen beregnes:

P = 2 _* (side a) + (side b).

P = 2 _* (42 cm) + (76 cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Tredje øvelse

Beregn de indre vinkler i den ensartede trekant ved at vide, at basens vinkel er  = 55 ^eller

Løsning

For at finde de to manglende vinkler (Ê og Ô) er det nødvendigt at huske to egenskaber ved trekanter:

• Summen af ​​de indre vinkler i hver trekant vil altid være = 180 ^eller:

 + Ê + Ô = 180 ^eller

• I en ensartet trekant er basens vinkler altid kongruente, det vil sige, de har samme mål, derfor:

 = Ô

Ê = 55 ^eller

For at bestemme værdien af ​​vinklen Ê, erstatter vi værdierne for de andre vinkler i den første regel og løser for Ê:

55 ^eller + 55 ^eller + Ô = 180 ^eller

110 ^eller + Ô = 180 ^eller

Ô = 180 ^o - 110 ^o

Ô = 70 ^o.

Referencer

1. Álvarez, E. (2003). Geometrielementer: med adskillige øvelser og geometri af kompasset. University of Medellin.
2. Álvaro Rendón, AR (2004). Teknisk tegning: aktivitetsnotebook.
3. Angel, AR (2007). Elementær algebra. Pearson Uddannelse.
4. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra og trigonometri med analytisk geometri. Pearson Uddannelse.
5. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Kultur.
6. José Jiménez, LJ (2006). Matematik 2.
7. Tuma, J. (1998). Teknisk matematikhåndbog. Wolfram MathWorld.