TRINOMIAL AF FORMEN X ^ 2 + BX + C (MED EKSEMPLER) - MATEMATIK - 2025

Før du lærer at løse trinomet af formen x ^ 2 + bx + c, og selv før du kender begrebet trinomial, er det vigtigt at kende to væsentlige forestillinger; nemlig begreberne monomial og polynom. Et monomial er et udtryk af typen a * x ⁿ, hvor a er et rationelt tal, n er et naturligt tal og x er en variabel.

Et polynom er en lineær kombination af monomer fra formen _n * x ⁿ + a _n-1 * x ^n-1 +… + a ₂ * x ² + a ₁ * x + a ₀, hvor hver a _i, med i = 0,…, n, er et rationelt tal, n er et naturligt tal, og a_n er ikke-nul. I dette tilfælde siges graden af ​​polynomet at være n.

Et polynom dannet af summen af ​​kun to udtryk (to monomer) i forskellige grader er kendt som en binomial.

trinomials

Et polynom dannet af summen af ​​kun tre udtryk (tre monomer) i forskellige grader er kendt som et trinom. Følgende er eksempler på trinomer:

• x ³ + x ² + 5x
• 2x ⁴ -x ³ +5
• x ² + 6x + 3

Der er flere typer trinomer. Af disse skiller den perfekte firkantede trinomiale sig ud.

Perfekt firkantet trinomial

En perfekt firkantet trinom er resultatet af kvadrering af en binomial. For eksempel:

• (3x-2) ² = 9x ² -12x +4
• (2x ³ + y) ² = 4x ⁶ + 4x ³ y + y ²
• (4x ² -2y ⁴) ² = 16x ⁴ -16x ² y ⁴ + 4y ⁸
• 1 / 16x ² y ⁸ -1 / 2xy ⁴ z + z ² = (1 / 4xy ⁴) ² -2 (1 / 4xy ⁴) z + z ² = (1 / 4xy ^4- z) ²

Karakteristika for trinomier af klasse 2

Perfekt firkant

Generelt er et trinomial af formen aks ² + bx + c et perfekt kvadrat, hvis diskriminerende middel er lig med nul; det vil sige, hvis b ² -4ac = 0, da det i dette tilfælde vil have en enkelt rod og det kan udtrykkes i form a (xd) ² = (√a (xd)) ², hvor d er den allerede nævnte rod.

En rod af et polynom er et tal, hvor polynomet bliver nul; med andre ord et tal, der, når man erstatter x i det polynomiske udtryk, resulterer i nul.

Løsning af formel

En almen formel til beregning af rødderne af en anden grad polynomium af formen ax ² + bx + c er resolvent formel, hvorefter disse rødder er givet ved (-b ± √ (b ² -4ac)) / 2a, hvor b ² -4ac kaldes diskriminant og er normalt angivet med Δ. Fra denne formel følger det, at aks ² + bx + c har:

- To forskellige virkelige rødder, hvis ∆> 0.

- En enkelt reel rod, hvis ∆ = 0.

- Det har ingen reel rod, hvis ∆ <0.

I det følgende vil kun trinomier med formen x ² + bx + c blive taget i betragtning, hvor c klart skal være et andet tal end nul (ellers ville det være en binomial). Disse typer trinomer har visse fordele, når man fremstiller og betjener dem.

Geometrisk fortolkning

Geometriske den trinomial x ² + bx + c er en parabel, der åbner opad og har toppunktet ved punkt (-b / 2, -b ² /4 + c) den kartesiske plan, x ² + bx + c = (x + b / 2) ² -b ² /4 + c.

Denne parabel skærer Y-aksen i punktet (0, c), og X-aksen ved punkterne (d ₁, 0) og (d ₂, 0); derefter d ₁ og d ₂ er rødderne af trinomial. Det kan ske, at trinomialet har en enkelt rod d, i hvilket tilfælde det eneste snit med X-aksen ville være (d, 0).

Det kan også ske, at trinomialet ikke har nogen reel rod, i hvilket tilfælde den ikke skærer X-aksen på noget tidspunkt.

For eksempel er x ² + 6x + 9 = (x + 3) ² -9 + 9 = (x + 3) ² parabolen med toppunktet ved (-3,0), der skærer Y-aksen ved (0, 9) og til X-aksen ved (-3,0).

Trinomial factoring

Et meget nyttigt værktøj, når man arbejder med polynomer er factoring, der består af at udtrykke et polynom som et produkt af faktorer. Generelt givet en trinomial af formen x ² + bx + c, hvis den har to forskellige rødder d ₁ og d ₂, kan det være indregnet som (XD ₁) (XD ₂).

Hvis den har en enkelt rod d, kan den betragtes som (xd) (xd) = (xd) ², og hvis den ikke har nogen reel rod, forbliver den den samme; i dette tilfælde indrømmer det ikke en faktorisering som et produkt af andre faktorer end sig selv.

Dette betyder, at kendskab til rødderne til et trinomial i den allerede etablerede form, dets faktorisering let kan udtrykkes, og som allerede nævnt ovenfor, kan disse rødder altid bestemmes ved hjælp af opløsningen.

Der er imidlertid en betydelig mængde af denne type trinomialer, der kan fabrikeres uden først at kende deres rødder, hvilket forenkler arbejdet.

Rødderne kan bestemmes direkte ud fra faktoriseringen uden at bruge opløsningsformlen; dette er polynomierne med formen x ² + (a + b) x + ab. I dette tilfælde har vi:

x ² + (a + b) x + ab = x ² + aks + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).

Fra dette ses det let, at rødderne er –a og –b.

Med andre ord, givet et trinomial x ² + bx + c, hvis der er to tal u og v, således at c = uv og b = u + v, så er x ² + bx + c = (x + u) (x + v).

Det vil sige, givet et trinomial x ² + bx + c, kontrolleres det først, hvis der er to tal, således at ganget de giver det uafhængige udtryk (c) og tilføjet (eller trukket, afhængigt af tilfældet), giver de det udtryk, der ledsager x (b).

Ikke med alle trinomer på denne måde denne metode kan anvendes; hvor det ikke er muligt, bruges opløsningen, og ovennævnte gælder.

eksempler

Eksempel 1

For at faktorere følgende trinomial x ² + 3x + 2, fortsæt som følger:

Du skal finde to tal, således at når du tilføjer dem resultatet er 3, og at når man multiplicerer dem er resultatet 2.

Efter en inspektion kan det konkluderes, at de søgte numre er: 2 og 1. Derfor er x ² + 3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

Eksempel 2

For at faktorere det trinomiale x ² -5x + 6 ser vi efter to tal, hvis sum er -5 og deres produkt er 6. De tal, der opfylder disse to betingelser, er -3 og -2. Derfor er faktoriseringen af ​​det givne trinomial x ² -5x + 6 = (x-3) (x-2).

Referencer

1. Fuentes, A. (2016). BASIC MATH. En introduktion til calculus. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematik: kvadratiske ligninger: Hvordan man løser en kvadratisk ligning Marilù Garo.
3. Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Matematik til ledelse og økonomi. Pearson Uddannelse.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematik 1 SEP. Grænseværdi.
5. Preciado, CT (2005). Matematik Kursus 3. Redaktionel Progreso.
6. Rock, NM (2006). Algebra I Is Easy! Så let. Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algebra og trigonometri. Pearson Uddannelse.