SAMTIDIGE VEKTORER: KARAKTERISTIKA, EKSEMPLER OG ØVELSER - MATEMATIK - 2025

De samtidige vektorer er vektorgrupper, hvis akser falder sammen på et tidspunkt og danner mellem hvert par af indre og ydre en anden vinkel. Et tydeligt eksempel ses i figuren nedenfor, hvor A, B og C er vektorer, der er sideløbende med hinanden.

D og E er i modsætning til resten ikke. Der er vinkler dannet mellem de samtidige vektorer AB, AC og CB. De kaldes forholdsvinkler mellem vektorerne.

egenskaber

-De har et fælles punkt, der falder sammen med deres oprindelse: alle størrelser af de samtidige vektorer starter fra et fælles punkt til deres respektive ender.

- Oprindelsen betragtes som vektorens handlingspunkt: der skal etableres et handlingspunkt, som vil blive direkte påvirket af hver af de samtidige vektorer.

-Dens domæne i planet og rum er R ² og R ³ henholdsvis: de samtidige vektorer er fri til at dække hele geometriske rum.

- Tillader forskellige notationer i den samme gruppe af vektorer. I henhold til undersøgelsesgrenene er der forskellige notationer til stede i operationer med vektorer.

Typer af vektorer

Vektorgrenen har flere underafdelinger, hvoraf nogle kan navngives: parallel, vinkelret, coplanar, tilsvarende, modsat og enhed. Samtidige vektorer er nævnt her, og som alle de ovenfor nævnte har de mange anvendelser inden for forskellige videnskaber.

De er meget almindelige i studiet af vektorer, fordi de repræsenterer en nyttig generalisering i operationerne med dem. Både i planet og i rummet bruges samtidige vektorer ofte til at repræsentere forskellige elementer og studere deres indflydelse på et bestemt system.

Vector notation

Der er flere måder at repræsentere et vektorelement på. De vigtigste og bedst kendte er:

kartesiske

Foreslået ved denne samme matematiske tilgang angiver det vektorerne med en tredobbelt svarende til størrelsen af ​​hver akse (x, y, z)

A: (1, 1, -1) Mellemrum A: (1, 1) Fly

Polar

De tjener kun til at betegne vektorer i planet, skønt det i den integrerede beregning er tildelt dybdekomponenten. Det er sammensat med en lineær størrelse r og en vinkel i forhold til den polære akse Ɵ.

A: (3, 45 ⁰) Plan A: (2, 45 ⁰, 3) Mellemrum

Analytisk

De definerer størrelsen af ​​vektoren ved hjælp af versores. Versores (i + j + k) repræsenterer enhedsvektorerne svarende til akserne X, Y og

A: 3i + 2j - 3k

Sfærisk

De ligner polær notation, men med tilføjelsen af ​​en anden vinkel, der fejer over xy- planet symboliseret med δ.

A: (4, 60 ^eller, π / 4)

Samtidige vektoroperationer

Samtidige vektorer bruges mest til at definere operationer mellem vektorer, fordi det er lettere at sammenligne elementerne i vektorer, når de præsenteres samtidigt.

Sum (A + B)

Summen af ​​samtidige vektorer sigter mod at finde den resulterende vektor V _r. Hvilket ifølge undersøgelsesgrenen svarer til en endelig handling

For eksempel: 3 strenge {A, B, C} er bundet til en boks, hver ende af strengen holdes af et emne. Hver af de 3 motiver skal trække rebet i en anden retning end de andre 2.

A: (øks, ay, az) B: (bx, by, bz) C: (cx, cy, cz)

A + B + C = (aks + bx + cx; ay + med + cy; az + bz + cz) = V _r

Kassen vil kun være i stand til at bevæge sig i en retning, derfor angiver V _r retningen og retningen for kassens bevægelse.

Forskel (A - B)

Der er mange kriterier for forskellen mellem vektorer, mange forfattere vælger at ekskludere den og siger, at kun summen mellem vektorerne er fastsat, hvor forskellen er omkring summen af ​​den modsatte vektor. Sandheden er, at vektorer kan trækkes algebraisk.

A: (øks, ay, az) B: (bx, af, bz)

A - B = A + (-B) = (aks-bx; ay-by; az-bz) =

Scalar produkt (A. B)

Også kendt som et dot-produkt genererer det en skalærværdi, der kan relateres til forskellige størrelser afhængigt af studiens gren.

For geometri skal du angive arealet af parallelogrammet dannet af paret af samtidige vektorer gennem parallelogrammetoden. For mekanisk fysik definerer det arbejdet, der udføres af en kraft F, når man bevæger et legeme en afstand Δr.

ѡ = F. AR

Som navnet antyder genererer det en skalærværdi og er defineret som følger:

Lad vektorerne A og B være

A: (øks, ay, az) B: (bx, af, bz)

-Analytisk form:

(A. B) = -A -.- B-.Cos θ

Hvor θ er den indre vinkel mellem begge vektorer

-Algebraisk form:

(A. B) = (aks.bx + ay.by + az.bz)

Kryds produkt (A x B)

Vektoren produkt eller prikproduktet mellem to vektorer, definerer en tredje vektor C med kvaliteten af at være vinkelret på B og C. I fysik er drejningsmomentvektoren t basiselementet i rotationsdynamikken.

-Analytisk form:

- A x B - = -A -.- B-.Sen θ

-Algebraisk form:

(A x B) = = (aks. By - ay. Bx) - (aks. Bz - az. Bx) j + (aks. By - ay. Bx) k

-Relativ bevægelse: r _{A / B}

Relativitetsgrundlaget er relativ bevægelse, og samtidige vektorer er grundlaget for relativ bevægelse. Relative positioner, hastigheder og accelerationer kan udledes ved at anvende den følgende rækkefølge af ideer.

r _{A / B} = r _A - r _B; A's relative position i forhold til B

v _{A / B} = v _A - v _B; Relativ hastighed af A i forhold til B

a _{A / B} = a _A - a _B; Relativ acceleration af A med hensyn til B

Eksempler: løste øvelser

Øvelse 1

Lad A, B og C være samtidige vektorer.

A = (-1, 3, 5) B = (3, 5, -2) C = (-4, -2, 1)

DEF den resulterende vektor V _r = 2A - 3B + C

2A = (2 (-1), 2 (3), 2 (5)) = (-2, 6, 10)

-3B = (-3 (3), -3 (5), -3 (-2)) = (-9, -15, 6)

V _r = 2A + (-3B) + C = (-2, 6, 10) + (-9, -15, 6) + (-4, -2, 1)

V _r = (;; (10 + 6 + 1))

V _r = (-15, -11, 17)

-Definer dot-produktet (A. C)

(A.C) = (-1, 3, 5). (-4, -2, 1) = (-1) (-4) + 3 (-2) + 5 (1) = 4 - 6 + 5

(A. C) = 3

- Beregn vinklen mellem A og C

(A. C) = -A -.- C-. Cos θ Hvor θ er den korteste vinkel mellem vektorerne

θ = 88,63 ⁰

-Find en vektor vinkelret på A og B

Til dette er det nødvendigt at definere vektorproduktet mellem (-1, 3, 5) og (3, 5, -2). Som forklaret tidligere konstrueres en 3 x 3 matrix, hvor den første række er sammensat af trippel enhedsvektorer (i, j, k). Derefter består 2. og 3. række af vektorerne, der skal fungere under respekt for den operationelle rækkefølge.

(A x B) = = i - j + k

(A x B) = (-5 - 9) I - (2 - 15) j + (-5 - 9) k

(A x B) = - 14 I + 13 j - 14 k

Øvelse 2

Lad V _a og V _{b være} hastighedsvektorerne af A og B hhv. Beregn hastigheden af ​​B set fra A.

V _a = (3, -1, 5) V _b = (2, 5, -3)

I dette tilfælde kræves den relative hastighed af B i forhold til A V _{B / A}

V _{B / A} = V _B - V _A

V _{B / A} = (2, 5, -3) - (3, -1, 5) = (-1, 6, -8)

Dette er hastighedsvektoren for B set fra A. Hvor en ny vektor med hastigheden af ​​B beskrives under henvisning fra en observatør, der er placeret ved A og bevæger sig med A.

Foreslåede øvelser

1-konstruer 3 vektorer A, B og C, som er samtidige og relaterer 3 operationer imellem dem gennem en praktisk øvelse.

2-Lad vektorerne A: (-2, 4, -11), B: (1, -6, 9) og C: (-2, -1, 10). Find vektorer vinkelret på: A og B, C og B, summen A + B + C.

4-Bestem 3 vektorer, der er vinkelret på hinanden uden at tage hensyn til koordinatakslerne.

5-Definer arbejdet, der udføres af en kraft, der løfter en blok af masse 5 kg, fra bunden af ​​en brønd på 20 m dyb.

6-Vis algebraisk, at subtraktion af vektorer er lig med summen af ​​den modsatte vektor. Begrund dine postulater.

7-Betegn en vektor i alle notationer, der er udviklet i denne artikel. (Kartesisk, polær, analytisk og sfærisk).

8-De magnetiske kræfter, der udøves på en magnet, der hviler på et bord, er givet af følgende vektorer; V: (5, 3, -2), T: (4, 7, 9), H: (-3, 5, -4). Bestem i hvilken retning magneten vil bevæge sig, hvis alle magnetiske kræfter virker på samme tid.

Referencer

1. Euklidisk geometri og transformationer. Clayton W. Dodge. Courier Corporation, 1. jan 2004
2. Sådan løses anvendte matematikproblemer L. Moiseiwitsch. Courier Corporation, 10. april 2013
3. Grundlæggende begreber i geometri. Walter Prenowitz, Meyer Jordan. Rowman & Littlefield, 4. oktober. 2012
4. Vektorer. Rocío Navarro Lacoba, 7. juni. 2014
5. Lineær algebra. Bernard Kolman, David R. Hill. Pearson Education, 2006