KONVEKS POLYGON: DEFINITION, ELEMENTER, EGENSKABER, EKSEMPLER - MATEMATIK - 2024

En konveks polygon er en geometrisk figur indeholdt i et plan, der er karakteriseret, fordi det har alle dets diagonaler i det indre, og dets vinkler måler mindre end 180º. Blandt dens egenskaber er følgende:

1) Det består af n på hinanden følgende segmenter, hvor den sidste af segmenterne slutter sig til det første. 2) Intet af segmenterne skærer hinanden på en sådan måde, at planet afgrænses i et indre område og et ydre område. 3) Hver vinkel i det indre område er strengt mindre end en plan vinkel.

Figur 1. Polygoner 1, 2 og 6 er konvekse. (Udarbejdet af Ricardo Pérez).

En enkel måde at bestemme, om en polygon er konveks eller ikke, er at overveje linjen, der passerer gennem en af ​​dens sider, som bestemmer to halvplaner. Hvis der i hver linje, der passerer gennem den ene side, de andre sider af polygonen er i det samme halvplan, er det en konveks polygon.

Elementer af en polygon

Hver polygon består af følgende elementer:

- Sider

- Vertikater

Sidene er hver af de på hinanden følgende segmenter, der udgør polygonen. I en polygon kan ingen af ​​de segmenter, der udgør det, have en åben ende, i dette tilfælde ville der være en polygonal linje, men ikke en polygon.

Højdepunkter er forbindelsespunkterne i to på hinanden følgende segmenter. I en polygon er antallet af højdepunkter altid lig med antallet af sider.

Hvis to sider eller segmenter af en polygon skærer hinanden, har du en krydset polygon. Overgangsstedet betragtes ikke som et toppunkt. En tvær polygon er en ikke-konveks polygon. Stjernepolygoner er tværpolygoner og er derfor ikke konvekse.

Når en polygon har alle siderne den samme længde, så har vi en regelmæssig polygon. Alle regelmæssige polygoner er konvekse.

Konvekse og ikke-konvekse polygoner

Figur 1 viser flere polygoner, nogle af dem er konvekse, og andre er ikke. Lad os analysere dem:

Tallet 1 er en tredobbelt polygon (trekant), og alle indvendige vinkler er mindre end 180º, derfor er det en konveks polygon. Alle trekanter er konvekse polygoner.

Tallet 2 er en firsidet polygon (firkantet), hvor ingen af ​​siderne skærer hinanden, og hver indre vinkel er mindre end 180º. Det er derefter en konveks polygon med fire sider (konveks firkantet).

På den anden side er tallet 3 en polygon med fire sider, men en af ​​dens indvendige vinkler er større end 180º, så det opfylder ikke den konvekse betingelse. Det vil sige, det er en ikke-konveks firsidet polygon kaldet en konkav firkantet.

Tallet 4 er en polygon med fire segmenter (sider), hvoraf to skærer hinanden. De fire indvendige vinkler er mindre end 180º, men da to sider skærer hinanden, er det en ikke-konveks krydset polygon (krydset firkantet).

Et andet tilfælde er tallet 5. Dette er en fem-sidet polygon, men da en af ​​dens indre vinkler er større end 180º, så har vi en konkav polygon.

Endelig har nummer 6, der også har fem sider, alle indvendige vinkler mindre end 180º, så det er en konveks polygon med fem sider (konveks femkant).

Egenskaber ved den konvekse polygon

1- En ikke-krydset polygon eller simpel polygon opdeler det plan, der indeholder det i to regioner. Det indre område og det ydre område, hvor polygonen er grænsen mellem de to regioner.

Men hvis polygonen derudover er konveks, har vi et indre område, der simpelthen er forbundet, hvilket betyder, at hvis man tager to punkter fra det indre område, kan det altid forbindes med et segment, der helt hører til det indre område.

Figur 2. En konveks polygon er simpelthen forbundet, mens en konkav en ikke er. (Udarbejdet af Ricardo Pérez).

2- Hver indre vinkel i en konveks polygon er mindre end en plan vinkel (180º).

3- Alle de indre punkter i en konveks polygon hører altid til et af halvplanerne defineret af linjen, der passerer gennem to på hinanden følgende vertikater.

4- I en konveks polygon er alle diagonaler fuldstændigt indeholdt i det indre polygonale område.

5- De indre punkter i en konveks polygon hører helt til den konvekse vinkelsektor defineret af hver indre vinkel.

6- Hver polygon, hvor alle dets hjørner er på en omkreds, er en konveks polygon, der kaldes en cyklisk polygon.

7- Hver cyklisk polygon er konveks, men ikke hver konveks polygon er cyklisk.

8- Enhver ikke-krydset polygon (enkel polygon), der har alle dens sider af samme længde, er konveks og er kendt som en almindelig polygon.

Diagonaler og vinkler i konvekse polygoner

9- Det samlede antal N af diagonaler i en konveks polygon med n sider er angivet med følgende formel:

N = ½ n (n - 3)

Bevis: I en konveks polygon med n sider af hver toppunkt tegnes n - 3 diagonaler, da selve toppunktet og de to tilstødende dem er udelukket. Da der er n toppunkt, tegnes n (n - 2) diagonaler i alt, men hver diagonal blev trukket to gange, så antallet af diagonaler (uden gentagelse) er n (n-2) / 2.

10- Summen S af de indre vinkler af en konveks polygon med n sider er givet ved følgende forhold:

S = (n - 2) 180º

eksempler

Eksempel 1

Cyklisk hexagon er en polygon med seks sider og seks højdepunkter, men alle vertikater er på samme omkreds. Hver cyklisk polygon er konveks.

Cyklisk hexagon.

Eksempel 2

Bestem værdien af ​​de indvendige vinkler i en regelmæssig enegon.

Løsning: Enegon er en 9-sidet polygon, men hvis den også er regelmæssig, er alle sider og vinkler lige.

Summen af ​​alle de indvendige vinkler i en 9-sidet polygon er:

S = (9 - 2) 180º = 7 * 180º = 1260º

Men der er 9 indre vinkler med samme mål α, så følgende lighed skal opfyldes:

S = 9 α = 1260º

Herfra følger det, at målet a for hver indre vinkel i den regulære enegon er:

α = 1260º / 9 = 140º