VINKELHASTIGHED: DEFINITION, FORMEL, BEREGNING OG ØVELSER - FYSISK - 2025

Den vinkelhastighed er et mål for rotationshastigheden og defineres som den vinkel, roterer position vektor af den roterende genstand, per tidsenhed. Det er en størrelse, der meget godt beskriver bevægelsen af ​​et væld af objekter, der konstant roterer overalt: CD'er, bilhjul, maskiner, Jorden og mange flere.

Et diagram over «London eye» kan ses i følgende figur. Det repræsenterer bevægelsen af ​​en passager repræsenteret ved punkt P, der følger den cirkulære sti, kaldet c:

Skematisk gengivelse af den cirkulære sti, som en passager i «London eye» følger. Kilde: self made.

Passageren indtager position P i øjeblikket t, og den vinkelposition, der svarer til det øjeblik, er ϕ.

Fra det øjeblik t udløber et tidsrum Δt. I denne periode er punktpassagerens nye position P ', og vinkelpositionen er steget med en vinkel Δϕ.

Hvordan beregnes vinkelhastigheden?

Ved rotationsmængder bruges græske bogstaver i vid udstrækning for at differentiere dem fra lineære mængder. Så indledningsvis er den gennemsnitlige vinkelhastighed ω _m defineret som den bevægede vinkel i et givet tidsrum.

Derefter repræsenterer kvotienten Δϕ / Δt den gennemsnitlige vinkelhastighed ω _m mellem instanserne t og t + Δt.

Hvis du vil beregne vinkelhastigheden lige på det øjeblik t, skal du beregne forholdet Δϕ / Δt når Δt ➡0:

Forholdet mellem lineær og vinkelhastighed

Den lineære hastighed v er kvotienten mellem den tilbagelagte afstand og den tid det tager at rejse den.

I figuren ovenfor er den kørte bue arcs. Men denne bue er proportional med den bevægede vinkel og radius, idet følgende forhold er opfyldt, hvilket er gyldigt, så længe Δϕ måles i radianer:

Δs = r ・ Δϕ

Hvis vi deler det forrige udtryk med tidsforløbet Δt og tager grænsen, når Δt ➡0, får vi:

v = r ・ ω

Ensartet rotationsbevægelse

På billedet er det berømte "London eye", et 135 m højt spindehjul, der drejer langsomt, så folk kan gå ombord på hytterne ved dens base og nyde Londons natur. Kilde: Pixabay.

En roterende bevægelse er ensartet, hvis den bevægede vinkel på ethvert observeret øjeblik er den samme i samme tidsperiode.

Hvis rotationen er ensartet, falder vinkelhastigheden på ethvert øjeblik med den gennemsnitlige vinkelhastighed.

Når der endvidere foretages en fuldstændig drejning, er den kørte vinkel 2π (svarende til 360º). Derfor er vinkelhastigheden in i en ensartet rotation relateret til perioden T med følgende formel:

f = 1 / T

Det vil sige, i en ensartet drejning er vinkelhastigheden relateret til frekvensen ved:

ω = 2π ・ f

Løst problemer med vinkelhastighed

Øvelse 1

Hytterne på det store spindehjul kendt som "London Eye" bevæger sig langsomt. Førerhusets hastighed er 26 cm / s, og hjulet er 135 m i diameter.

Med disse data beregnes:

i) Hjulets vinkelhastighed

ii) Rotationsfrekvensen

iii) Den tid det tager for en kabine at dreje helt.

svar:

i) Hastigheden v i m / s er: v = 26 cm / s = 0,26 m / s.

Radius er halvdelen af ​​diameteren: r = (135 m) / 2 = 67,5 m

v = r ・ ω => ω = v / r = (0,26 m / s) / (67,5 m) = 0,00385 rad / s

ii) ω = 2π ・ f => f = ω / 2π = (0,00385 rad / s) / (2π rad) = 6,13 x ^10-4 omdrejninger / s

f = 6,13 x 10 ^ -4 omdrejning / s = 0,0368 omdrejning / min = 2,21 omdrejning / time.

iii) T = 1 / f = 1 / 2,21 omg / time = 0,45311 time = 27 min 11 sek

Øvelse 2

En legetøjsvogn kører på et cirkulært spor med en radius på 2m. Ved 0 s er dens vinkelposition 0 rad, men efter en tid t gives dens vinkelposition ved:

φ (t) = 2 ・ t

Bestemme:

i) Vinkelhastigheden

ii) Den lineære hastighed på ethvert øjeblik.

svar:

i) Vinkelhastigheden er derivatet af vinkelpositionen: ω = φ '(t) = 2.

Med andre ord har legetøjsvognen til enhver tid en konstant vinkelhastighed lig med 2 rad / s.

ii) Bilens lineære hastighed er: v = r ・ ω = 2 m ・ 2 rad / s = 4 m / s = 14,4 km / t

Øvelse 3

Den samme bil fra den foregående øvelse begynder at stoppe. Dets vinkelposition som en funktion af tiden gives ved følgende udtryk:

φ (t) = 2 ・ t - 0,5 ・ t ²

Bestemme:

i) Vinkelhastigheden på ethvert øjeblik

ii) Den lineære hastighed på ethvert øjeblik

iii) Den tid det tager at stoppe fra det øjeblik, det begynder at aftage

iv) Den bevægede vinkel

v) tilbagelagt afstand

svar:

i) Vinkelhastigheden er derivatet af vinkelpositionen: ω = φ '(t)

ω (t) = φ '(t) = (2 ・ t - 0,5 ・ t ²)' = 2 - t

ii) Bilens lineære hastighed på ethvert tidspunkt gives af:

v (t) = r ・ ω (t) = 2 ・ (2 - t) = 4 - 2 t

iii) Tiden det tager at stoppe fra det øjeblik, det begynder at decelerere, bestemmes ved at kende det øjeblik, hvor hastigheden v (t) bliver nul.

v (t) = 4 - 2 t = 0 => t = 2

Dette betyder, at det stopper 2 sekunder efter at have startet bremsen.

iv) I perioden 2s, fra det begynder at bremse, indtil det stopper, køres en vinkel givet af φ (2):

φ (2) = 2 ・ 2 - 0,5 ・ 2 ^ 2 = 4 - 2 = 2 rad = 2 x 180 / π = 114,6 grader

v) I perioden 2 s fra bremsningens start til stop køres en afstand s givet af:

s = r ・ φ = 2m ・ 2 rad = 4 m

Øvelse 4

En bils hjul er 80 cm i diameter. Hvis bilen kører i 100 km / t. Find: i) hjulens rotationshastighed, ii) hjulens rotationsfrekvens, iii) Antallet af drejninger, hjulet foretager i en kørsel på 1 time.

svar:

i) Først og fremmest skal vi konvertere bilens hastighed fra km / h til h / s

v = 100 km / t = (100 / 3,6) m / s = 27,78 m / s

Hjulens rotationshastighed er givet ved:

ω = v / r = (27,78 m / s) / (0,4 m) = 69,44 rad / s

ii) Hjulens rotationsfrekvens er angivet af:

f = ω / 2π = (69,44 rad / s) / (2π rad) = 11,05 omdrejning / s

Rotationsfrekvensen udtrykkes normalt i omdrejninger pr. Minut omdr./min

f = 11,05 omdrejning / s = 11,05 omdrejning / (1/60) min = 663,15 o / min

iii) Antallet af omgange, som hjulet foretager i en times kørsel, beregnes ved at vide, at 1 time = 60 minutter, og at frekvensen er antallet af omgange N divideret med det tidspunkt, hvor disse N-omgange foretages.

f = N / t => N = f ・ t = 663,15 (omdrejninger / min) x 60 min = 39788,7 omdrejninger.

Referencer

1. Giancoli, D. Fysik. Principper med applikationer. 6. udgave. Prentice Hall. 106-108.
2. Resnick, R. (1999). Fysisk. Bind 1. Tredje udgave på spansk. Mexico. Compañía Editorial Continental SA de CV 67-69.
3. Serway, R., Jewett, J. (2008). Fysik til videnskab og teknik. Bind 1. 7. Edition. Mexico. Cengage Learning Editors. 84-85.
4. geogebra.org