MESH-ANALYSE: BEGREBER, METODER, EKSEMPLER - FYSISK - 2024

Den mesh analyse er en teknik, der anvendes til at løse elektriske kredsløb fly. Denne procedure kan også vises i litteraturen som metoden til kredsløbsstrømme eller metoden til mesh (eller loop) -strømme.

Grundlaget for denne og andre elektriske kredsløbsanalysemetoder ligger i Kirchhoffs love og Ohms lov. Kirchhoffs love er på sin side udtryk for to meget vigtige principper for bevaring i fysik til isolerede systemer: både den elektriske ladning og energien bevares.

Figur 1. Kredsløb er en del af utallige enheder. Kilde: Pixabay.

På den ene side er elektrisk ladning relateret til strøm, der er ladning i bevægelse, mens energi i et kredsløb er forbundet til spænding, som er det ansvarlige middel til at udføre det arbejde, der er nødvendigt for at holde ladningen i bevægelse.

Disse love, der anvendes på et fladt kredsløb, genererer et sæt samtidige ligninger, der skal løses for at opnå strøm- eller spændingsværdier.

Ligningssystemet kan løses med velkendte analytiske teknikker, såsom Cramer's regel, som kræver beregning af determinanter for at opnå opløsningen af ​​systemet.

Afhængig af antallet af ligninger løses de ved hjælp af en videnskabelig lommeregner eller en matematisk software. Der er også mange muligheder tilgængelige online.

Vigtige vilkår

Før vi forklarer, hvordan det fungerer, vil vi starte med at definere disse udtryk:

Filial: sektion, der indeholder et element i kredsløbet.

Knude: punkt, der forbinder to eller flere grene.

Loop: er enhver lukket del af et kredsløb, der begynder og slutter ved den samme knude.

Mesh: løkke, der ikke indeholder nogen anden løkke indeni (essentielt net).

Metoder

Mesh-analyse er en generel metode, der bruges til at løse kredsløb, hvis elementer er forbundet i serie, parallelt eller på en blandet måde, det vil sige, når forbindelsestypen ikke skelnes tydeligt. Kredsløbet skal være fladt, eller i det mindste skal det være muligt at tegne det igen som sådan.

Figur 2. Flade og ikke-flade kredsløb. Kilde: Alexander, C. 2006. Fundamentals of Electrical Circuits. 3rd. Edition. Mc Graw Hill.

Et eksempel på hver type kredsløb er vist i figuren ovenfor. Når punktet er klart, vil vi begynde at anvende metoden på et simpelt kredsløb som et eksempel i det næste afsnit, men først gennemgår vi kort lovene fra Ohm og Kirchhoff.

Ohms lov: lad V være spændingen, R modstanden og jeg strømmen i det ohmiske modstandselement, hvor spændingen og strømmen er direkte proportional, hvor modstanden er konstanten af ​​proportionalitet:

Kirchhoffs spændingslov (LKV): I enhver lukket sti, der køres i kun en retning, er den algebraiske sum af spændingerne nul. Dette inkluderer spændinger på grund af kilder, modstande, induktorer eller kondensatorer: ∑ E = ∑ R _i. jeg

Kirchhoffs nuværende lov (LKC): ved en hvilken som helst knude er den algebraiske sum af strømmen nul, idet der tages hensyn til, at de indkommende strømme tildeles et tegn og dem, der efterlader et andet. På denne måde: ∑ I = 0.

Med maskestrømmetoden er det ikke nødvendigt at anvende Kirchhoffs nuværende lov, hvilket resulterer i færre ligninger at løse.

- Trin til anvendelse af maskeanalyse

Vi begynder med at forklare metoden til et 2 mesh kredsløb. Proceduren kan derefter udvides til større kredsløb.

Figur 3. Kredsløb med modstande og kilder arrangeret i to masker. Kilde: F. Zapata.

Trin 1

Tildel og tegn uafhængige strømme til hvert net, i dette eksempel er de I ₁ og I ₂. De kan tegnes enten med uret eller mod uret.

Trin 2

Anvend Kirchhoffs lov om spændinger (LTK) og Ohms lov på hvert net. Potentielle fald tildeles et tegn (-), mens stigninger tildeles et tegn (+).

Mesh abcda

Startende fra punkt a og efter retningen af strømmen, finder vi en potentiel stigning i batteri E1 (+), og derefter et fald i F ₁ (-) og derefter endnu et fald i R ₃ (-).

Samtidigt modstanden R ₃ er også krydses af strømmen I ₂, men i den modsatte retning, derfor det repræsenterer en stigning (+). Den første ligning ser sådan ud:

Derefter indarbejdes det, og vilkårene grupperes:

---------

-50 I ₁ + 10I ₂ = -12

Da det er et 2 x 2-system med ligninger, kan det let løses ved reduktion, ved at multiplicere den anden ligning med 5 for at eliminere det ukendte I ₁:

-50 I ₁ + 10 I ₂ = -12

Straks strømmen I ₁ ryddes fra nogen af de oprindelige ligninger:

Det negative tegn i strømmen I ₂ betyder, at strømmen i mesh 2 cirkulerer i modsat retning som den, der er trukket.

Strømmene i hver modstand er som følger:

Strømmen I ₁ = 0,16 A strømmer gennem modstanden R ₁ i den trukkede retning, gennem modstanden R ₂ strømmen I ₂ = 0,41 A flyder i den modsatte retning som den, der er trukket, og gennem modstanden R ₃ strømmer i ₃ = 0,16- (-0,41) A = 0,57 A ned.

Systemløsning efter Cramer's metode

I matrixform kan systemet løses som følger:

Trin 1: Beregn Δ

Den første kolonne erstattes af de uafhængige vilkår i ligningssystemet, idet ordningen oprindeligt blev foreslået:

Trin 3: Beregn I

Trin 4: Beregn Δ

Figur 4. 3-mesh kredsløb. Kilde: Boylestad, R. 2011. Introduktion til kredsløbsanalyse.2da. Edition. Pearson.

Løsning

De tre maskestrømme tegnes som vist i den følgende figur i vilkårlige retninger. Nu gennemskæres maskerne fra ethvert punkt:

Figur 5. Mesh-strømme til øvelse 2. Kilde: F. Zapata, ændret fra Boylestad.

Mesh 1

-9100.I ₁ + 18-2200.I ₁ + 9100.I ₂ = 0

Mesh 3

Ligningssystem

Selvom antallet er stort, kan det løses hurtigt ved hjælp af en videnskabelig lommeregner. Husk, at ligningerne skal bestilles, og tilføj nuller på de steder, hvor det ukendte ikke vises, som det vises her.

Meshstrømmene er:

Strømmene I ₂ og I ₃ cirkulerer i den modsatte retning som vist på figuren, da de viste sig at være negative.

Tabel over strømme og spændinger i hver modstand

Modstand (Ω)	Nuværende (Ampere)	Spænding = IR (volt)
9100	I 1 –I 2 = 0,0012 - (- 0,00048) = 0,00168	15.3
3300	0,00062	2,05
2200	0,0012	2,64
7500	0,00048	3,60
6800	I 2 –I 3 = -0.00048 - (- 0.00062) = 0,00014	0,95

Cramer's regelløsning

Da det er stort antal, er det praktisk at bruge videnskabelig notation til at arbejde direkte med dem.

Beregning af I ₁

De farvede pile i 3 x 3-determinanten angiver, hvordan man finder de numeriske værdier ved at multiplicere de angivne værdier. Lad os starte med at få dem fra den første beslag i determinanten Δ:

(-11300) x (-23400) x (-10100) = -2,67 x 10 ¹²

9100 x 0 x 0 = 0

9100 x 6800 x 0 = 0

Vi får straks den anden beslag i den samme determinant, som arbejdes fra venstre mod højre (for denne beslag blev de farvede pile ikke tegnet i figuren). Vi opfordrer læseren til at bekræfte det:

0 x (-23400) x 0 = 0

9100 x 9100 x (-10100) = -8.364 x 10 ¹¹

6800 x 6800 x (-11300) = -5.225 x 10 ¹¹

Tilsvarende kan læseren også kontrollere værdierne for determinanten Δ ₁.

Vigtigt: mellem begge parenteser er der altid et negativt tegn.

Endelig opnås den aktuelle I ₁ gennem I ₁ = Δ ₁ / Δ

Beregning af I ₂

Proceduren kan gentages for at beregne I ₂, i dette tilfælde, at beregne determinanten Δ ₂, den anden kolonne i den determinant Δ erstattes af søjlen af de uafhængige vilkår og dens værdi er fundet, ifølge fremgangsmåden forklaret.

Da det imidlertid er besværligt på grund af stort antal, især hvis du ikke har en videnskabelig regnemaskine, er den enkleste ting at erstatte den allerede beregnede værdi af I ₁ i følgende ligning og løse for:

Beregning af I3

Når værdierne af I ₁ og I _{2 er} i hånden, findes værdien af I ₃ direkte ved substitution.

Referencer

1. Alexander, C. 2006. Fundamentals of Electrical Circuits. 3rd. Edition. Mc Graw Hill.
2. Boylestad, R. 2011. Introduktion til kredsløbsanalyse.2da. Edition. Pearson.
3. Figueroa, D. (2005). Serie: Fysik til videnskab og teknik. Bind 5. Elektrisk interaktion. Redigeret af Douglas Figueroa (USB).
4. García, L. 2014. Elektromagnetisme. 2nd. Edition. Industrial University of Santander.
5. Sears, Zemansky. 2016. Universitetsfysik med moderne fysik. 14th. Udgave bind 2.