HISTORISK BAGGRUND FOR ANALYTISK GEOMETRI - MATEMATIK - 2024

De historiske antecedenter af analytisk geometri går tilbage til det syttende århundrede, da Pierre de Fermat og René Descartes definerede sin grundlæggende idé. Hans opfindelse fulgte moderniseringen af ​​François Viètes algebra og algebraiske notation.

Dette felt har sine baser i det antikke Grækenland, især i værkerne af Apollonius og Euclid, der havde en stor indflydelse på dette område af matematik.

Den væsentligste idé bag analytisk geometri er, at en forbindelse mellem to variabler, således at den ene er en funktion af den anden, definerer en kurve.

Denne idé blev først udviklet af Pierre de Fermat. Takket være denne væsentlige ramme kunne Isaac Newton og Gottfried Leibniz udvikle beregningen.

Den franske filosof Descartes opdagede også en algebraisk tilgang til geometri, tilsyneladende på egen hånd. Descartes 'arbejde med geometri vises i hans berømte bog Discourse on Method.

Denne bog påpeger, at kompasset og de geometriske konstruktioner med lige kant involverer tilføjelse, subtraktion, multiplikation og firkantede rødder.

Analytisk geometri repræsenterer foreningen mellem to vigtige traditioner i matematik: geometri som studiet af form og aritmetik og algebra, der har at gøre med antal eller antal. Derfor er analytisk geometri studiet af geometriområdet ved hjælp af koordinatsystemer.

Historie

Baggrund for analytisk geometri

Forholdet mellem geometri og algebra har udviklet sig gennem matematikens historie, skønt geometri nåede et tidligere modentstadium.

For eksempel kunne den græske matematiker Euclid organisere mange resultater i sin klassiske bog The Elements.

Men det var den gamle græske Apollonius af Perga, der forudsagde udviklingen af ​​analytisk geometri i sin bog Conics. Han definerede en kegle som skæringspunktet mellem en kegle og et plan.

Ved hjælp af Euclids resultater på lignende trekanter og sekvenser af cirkler fandt han et forhold givet af afstandene fra ethvert punkt "P" på en konisk til to vinkelrette linjer, hovedaksen på en konisk og tangenten ved et endepunkt på aksen. Apollonius brugte dette forhold til at udlede de grundlæggende egenskaber ved det koniske.

Den efterfølgende udvikling af koordinatsystemer i matematik dukkede først op, efter at algebra var modnet takket være islamiske og indiske matematikere.

Indtil renæssancen blev geometri brugt til at retfærdiggøre løsninger på algebraiske problemer, men der var ikke meget, at algebra kunne bidrage til geometri.

Denne situation ville ændre sig med vedtagelsen af ​​en praktisk notation for algebraiske relationer og udviklingen af ​​begrebet en matematisk funktion, som nu var muligt.

Århundrede XVI

I slutningen af ​​1500-tallet introducerede den franske matematiker François Viète den første systematiske algebraiske notation ved hjælp af bogstaver til at repræsentere numeriske mængder, både kendte og ukendte.

Han udviklede også kraftfulde generelle metoder til at arbejde med algebraiske udtryk og løse algebraiske ligninger.

Takket være dette var matematikere ikke helt afhængige af geometriske figurer og geometrisk intuition for at løse problemer.

Selv nogle matematikere begyndte at opgive den standard geometriske tankegang, hvorefter lineære variabler af længder og firkanter svarer til områder, mens kubiske variabler svarer til volumener.

De første til at tage dette skridt var filosofen og matematikeren René Descartes og advokaten og matematikeren Pierre de Fermat.

Grundlæggende for analytisk geometri

Descartes og Fermat grundlagde uafhængigt analytisk geometri i 1630'erne og vedtog Viètes algebra til studiet af locus.

Disse matematikere indså, at algebra var et kraftfuldt værktøj inden for geometri og opfandt det, der i dag er kendt som analytisk geometri.

Et gennembrud, de gjorde, var at overgå Viète ved at bruge bogstaver til at repræsentere afstande, der er variable snarere end faste.

Descartes brugte ligninger til at studere geometrisk definerede kurver og understregede behovet for at overveje generelle algebraisk-grafiske kurver af polynomiske ligninger i grader "x" og "y".

Fermat understregede på sin side, at ethvert forhold mellem koordinaterne "x" og "y" bestemmer en kurve.

Ved hjælp af disse ideer omstrukturerede han Apollonius 'udsagn om algebraiske vilkår og gendannede noget af sit tabte arbejde.

Fermat indikerede, at enhver kvadratisk ligning i "x" og "y" kan placeres i standardformen for en af ​​de koniske sektioner. På trods af dette har Fermat aldrig offentliggjort sit arbejde om emnet.

Takket være deres fremskridt, hvad Archimedes kun kunne løse med store vanskeligheder og for isolerede tilfælde, kunne Fermat og Descartes løse hurtigt og for et stort antal kurver (nu kendt som algebraiske kurver).

Men hans ideer fik kun generel accept gennem indsatsen fra andre matematikere i sidste halvdel af 1600-tallet.

Matematikere Frans van Schooten, Florimond de Beaune og Johan de Witt var med til at udvide Decartes arbejde og tilføjede vigtigt yderligere materiale.

Indflydelse

I England populariserede John Wallis analytisk geometri. Han brugte ligninger til at definere keglerne og udlede deres egenskaber. Selvom han frit benyttede negative koordinater, var det Isaac Newton, der brugte to skrå akser til at opdele flyet i fire kvadranter.

Newton og den tyske Gottfried Leibniz revolutionerede matematik i slutningen af ​​det 17. århundrede ved uafhængigt at demonstrere regnekraften.

Newton demonstrerede betydningen af ​​analysemetoder i geometri og deres rolle i beregningen, da han hævdede, at en hvilken som helst terning (eller en hvilken som helst tredjegrads algebraisk kurve) har tre eller fire standard ligninger til passende koordinatakser. Ved hjælp af Newton selv beviste den skotske matematiker John Stirling det i 1717.

Analytisk geometri med tre og flere dimensioner

Selvom både Descartes og Fermat foreslog at bruge tre koordinater til at studere kurver og overflader i rummet, udviklede tredimensionel analytisk geometri langsomt indtil 1730.

Matematikerne Euler, Hermann og Clairaut producerede generelle ligninger til cylindre, kegler og omdrejningsflader.

For eksempel brugte Euler ligninger til oversættelser i rummet til at transformere den generelle kvadratiske overflade, så dens hovedakse falder sammen med dens koordinatakser.

Euler, Joseph-Louis Lagrange og Gaspard Monge gjorde analytisk geometri uafhængig af syntetisk (ikke-analytisk) geometri.

Referencer

1. Udviklingen af ​​analytisk geometri (2001). Gendannes fra encyclopedia.com
2. Historik om analytisk geometri (2015). Gendannes fra maa.org
3. Analyse (matematik). Gendannes fra britannica.com
4. Analytisk geometri. Gendannes fra britannica.com
5. Descartes og fødslen af ​​analytisk geometri. Gendannes fra sciencedirect.com