- Eksempler på antiderivativer
- Differentialligninger
- Antiderivative øvelser
- - Øvelse 1
- Løsning på
- Løsning b
- Opløsning c
- Løsning e
- - Øvelse 2
- Løsning
- Referencer
En antiderivativ F (x) af en funktion f (x) kaldes også primitiv eller simpelthen det ubestemte integral af nævnte funktion, hvis det i et givet interval I er opfyldt, at F´ (x) = f (x)
Lad os f.eks. Tage følgende funktion:
f (x) = 4x 3
Et antiderivativ af denne funktion er F (x) = x 4, da når man differentierer F (x) ved hjælp af afledningsreglen til kræfter:
Vi opnår nøjagtigt f (x) = 4x 3.
Dette er dog kun et af de mange antiderivativer af f (x), da denne anden funktion: G (x) = x 4 + 2 er også, fordi når man differentierer G (x) med hensyn til x, opnås det samme bagside f (x).
Lad os tjekke det ud:
Husk, at derivatet af en konstant er 0. Derfor kan vi tilføje enhver konstant til udtrykket x 4, og dets derivat forbliver 4x 3.
Det konkluderes, at enhver funktion af den generelle form F (x) = x 4 + C, hvor C er en reel konstant, fungerer som et antiderivativ af f (x).
Det illustrerende eksempel ovenfor kan udtrykkes på denne måde:
dF (x) = 4x 3 dx
Det antiderivative eller ubestemte integral udtrykkes med symbolet ∫, derfor:
F (x) = ∫4x 3 dx = x 4 + C
Hvor funktionen f (x) = 4x 3 kaldes integrand, og C er integrationskonstanten.
Eksempler på antiderivativer
Figur 1. Antiderivativet er intet andet end et ubestemt integral. Kilde: Pixabay.
At finde et antiderivativ af en funktion er ligetil i nogle tilfælde, hvor derivaterne er velkendte. Lad for eksempel funktionen f (x) = sin x, et antiderivativ til den være en anden funktion F (x), således at vi ved at differentiere den får f (x).
Denne funktion kan være:
F (x) = - cos x
Lad os kontrollere, at det er sandt:
F´ (x) = (- cos x) ´ = - (-sen x) = sin x
Derfor kan vi skrive:
∫sen x dx = -cos x + C
Ud over at kende derivaterne, er der nogle grundlæggende og enkle integrationsregler til at finde det antiderivative eller ubestemmelige integral.
Lad k være en reel konstant, så:
1.- ∫ kdx = k ∫dx = kx + C
2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx
Hvis en funktion h (x) kan udtrykkes som tilføjelse eller subtraktion af to funktioner, er dens ubestemte integral:
3.- ∫h (x) dx = ∫dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx
Dette er linearitetens egenskab.
Reglen om magter for integraler kan etableres på denne måde:
For tilfældet med n = -1 bruges følgende regel:
5.- ∫ x -1 dx = ln x + C
Det er let at vise, at derivatet af ln x er nøjagtigt x -1.
Differentialligninger
En differentialligning er en, hvor det ukendte findes som et derivat.
Fra den forrige analyse er det nu let at indse, at den inverse operation til derivatet er det antiderivative eller ubestemte integral.
Lad f (x) = y´ (x), det vil sige derivatet af en bestemt funktion. Vi kan bruge følgende notation til at indikere dette derivat:
Det følger straks, at:
Det ukendte af differentialligningen er funktionen y (x), den, hvis derivat er f (x). For at løse det er det forrige udtryk integreret på begge sider, hvilket svarer til anvendelsen af antiderivativet:
Det venstre integral løses af integrationsregel 1 med k = 1, hvorved det ønskede ukendte løses:
Og da C er en reel konstant, for at vide, hvilken der er passende i begge tilfælde, skal udsagnet indeholde nok yderligere oplysninger til at beregne værdien af C. Dette kaldes den oprindelige betingelse.
Vi vil se eksempler på anvendelse af alt dette i det næste afsnit.
Antiderivative øvelser
- Øvelse 1
Anvend integrationsreglerne for at få følgende antiderivativer eller ubestemte integraler af de givne funktioner, så resultaterne forenkles så meget som muligt. Det er praktisk at verificere resultatet ved afledning.
Figur 2. Øvelser med antiderivativer eller bestemte integraler. Kilde: Pixabay.
Løsning på
Vi anvender regel 3 først, da integranden er summen af to udtryk:
∫ (x + 7) dx = ∫ xdx + ∫7dx
For den første integral gælder strømreglen:
∫ dx = (x 2 /2) + C 1
I den anden integrerede regel 1 anvendes, hvor k = 7:
∫7dx = 7∫dx = 7x + C 2
Og nu tilføjes resultaterne. De to konstanter er grupperet i en, generisk kaldet C:
∫ (x + 7) dx = (x 2 /2) + 7x + C
Løsning b
Ved linearitet nedbrydes dette integral i tre enklere integraler, til hvilke strømreglen vil blive anvendt:
∫ (x 3/2 + x 2 + 6) dx = ∫x 3/2 dx + ∫x 2 dx + ∫6 dx =
Bemærk, at der vises en konstant af integration for hvert integral, men at de mødes i et enkelt opkald C.
Opløsning c
I dette tilfælde er det praktisk at anvende multiplikationsfordelende egenskaber for at udvikle integranden. Derefter bruges strømreglen til at finde hver integral separat, som i den foregående øvelse.
∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫ (3x 2 -2x + 3x-2) dx = ∫ (3x 2 + x - 2) dx
Den omhyggelige læser vil bemærke, at de to centrale udtryk er ens, hvorfor de reduceres, før de integreres:
∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫3x 2 dx + ∫ x dx + ∫- 2 dx = x 3 + (1/2) x 2 - 2x + C
Løsning e
En måde at løse integralen på ville være at udvikle kraften, som det blev gjort i eksempel d. Da eksponenten er højere, ville det imidlertid tilrådes at ændre variablen for ikke at skulle gennemføre en så lang udvikling.
Ændringen af variablen er som følger:
u = x + 7
At udlede dette udtryk til begge sider:
du = dx
Integralet omdannes til en enklere med den nye variabel, der løses med strømreglen:
∫ (x + 7) 5 dx = ∫ u 5 du = (1/6) u 6 + C
Endelig returneres ændringen for at vende tilbage til den oprindelige variabel:
∫ (x + 7) 5 dx = (1/6) (x + 7) 6 + C
- Øvelse 2
En partikel er oprindeligt i hvile og bevæger sig langs x-aksen. Dens acceleration for t> 0 er givet ved funktionen a (t) = cos t. Det er kendt, at ved t = 0 er positionen x = 3, alt i enheder i det internationale system. Det bliver bedt om at finde hastigheden v (t) og positionen x (t) af partiklen.
Løsning
Da acceleration er det første derivat af hastighed med hensyn til tid, har vi følgende differentialligning:
a (t) = v´ (t) = cos t
Den følger det:
v (t) = ∫ cos t dt = sin t + C 1
På den anden side ved vi, at hastigheden igen er derivatet af positionen, derfor integreres vi igen:
x (t) = ∫ v (t) dt = ∫ (sin t + C 1) dt = ∫sen t dt + ∫C 1 dt = - cos t + C 1 t + C 2
Integrationskonstanterne bestemmes ud fra de oplysninger, der gives i erklæringen. For det første siger det, at partiklen oprindeligt var i hvile, derfor er v (0) = 0:
v (0) = sin 0 + C 1 = 0
C 1 = 0
Så har vi x (0) = 3:
x (0) = - cos 0 + C 1 0 + C 2 = - 1 + C 2 = 3 → C 2 = 3 + 1 = 4
Hastigheds- og positionsfunktioner er bestemt sådan:
v (t) = sin t
x (t) = - cos t + 4
Referencer
- Engler, A. 2019. Integral Calculus. National Litoral University.
- Larson, R. 2010. Beregning af en variabel. 9th. Edition. McGraw Hill.
- Matematik Gratis tekster. Stamfunktioner. Gendannes fra: math.liibretexts.org.
- Wikipedia. Stamfunktion. Gendannet fra: en.wikipedia.org.
- Wikipedia. Ubestemt integration. Gendannet fra: es.wikipedia.org.