BUE (GEOMETRI): MÅLING, TYPER BUER, EKSEMPLER - MATEMATIK - 2024

Den bue, i geometri, er enhver buet linje, der forbinder to punkter. En buet linje, i modsætning til en lige linje, er en, hvis retning er forskellig på hvert punkt på den. Det modsatte af en bue er et segment, da dette er en lige sektion, der forbinder to punkter.

Den lysbue, der oftest bruges i geometri, er omkredsbuen. Andre buer til almindelig brug er den parabolske bue, elliptiske bue og kæden. Bueformen bruges også ofte i arkitektur som et dekorativt element og et strukturelt element. Dette er tilfældet med overliggerne i dørene og vinduerne samt broer og akvædukter.

Figur 1. Regnbuen er en buet linje, der forbinder to punkter i horisonten. Kilde: Pixabay

Buen og dens mål

Målet på en bue er dens længde, der afhænger af den type kurve, der forbinder de to punkter og deres placering.

Længden af ​​en cirkulær bue er en af ​​de enkleste at beregne, fordi længden af ​​den komplette bue eller omkreds af en omkreds er kendt.

Omkretsen af ​​en cirkel er to pi gange dens radius: p = 2 π R. Når vi ved dette, hvis vi vil beregne længden s for en cirkulær bue med vinkel α (målt i radianer) og radius R, anvendes en andel:

(s / p) = (α / 2 π)

Derefter rydder vi s fra det forrige udtryk og erstatter omkredsen p for dets udtryk som en funktion af radius R, vi har:

s = (α / 2 π) p = (α / 2 π) (2 π R) = α R.

Det vil sige, målet for en cirkulær bue er produktet af dets vinkelåbningstider radius for den cirkulære bue.

For en bue i almindelighed er problemet mere kompliceret, til det tidspunkt, at de store tænkere i antikken hævdede, at det var en umulig opgave.

Først i begyndelsen af ​​differentiel og integreret beregning i 1665, blev problemet med at måle en lysbue tilfredsstillende løst.

Før opfindelsen af ​​differentieringsberegning kunne løsninger kun findes ved hjælp af polygonale linjer eller buer med omkreds, der tilnærmede den sande bue, men disse løsninger var ikke nøjagtige.

Tyver af buer

Fra geometriens synspunkt klassificeres buer efter den buede linje, der forbinder to punkter i planet. Der er andre klassifikationer i henhold til dens brug og arkitektoniske form.

Cirkulær bue

Når linjen, der forbinder to punkter i planet, er et stykke af omkredsen af ​​en bestemt radius, har vi en cirkulær bue. Figur 2 viser en cirkulær bue c med radius R-forbindelsespunkter A og B.

Figur 2. Cirkulær bue med radius R, der forbinder punkterne A og B. Forarbejdet af Ricardo Pérez.

Parabolsk bue

Parabolen er stien efterfulgt af en genstand, der er blevet kastet skråt i luften. Når kurven, der forbinder to punkter, er en parabola, så har vi en parabolsk bue som den, der er vist i figur 3.

Figur 3. Paraboliske lysbueforbindelsespunkter A og B. Forarbejdet af Ricardo Pérez.

Dette er formen på vandstrålen, der kommer ud af en slange, der peger opad. Den paraboliske bue kan observeres i vandkilderne.

Figur 4. Parabolsk bue dannet af vand fra en springvand i Dresden. Kilde: Pixabay.

Hjørnebue

Slyngebuen er en anden naturlig bue. Kabinettet er den kurve, der dannes naturligt, når en kæde eller reb løst hænger fra to separate punkter.

Figur 5. Kabelbue og sammenligning med den paraboliske bue. Udarbejdet af Ricardo Pérez.

Køreledningen ligner parabolen, men den er ikke nøjagtigt den samme, som det kan ses i figur 4.

Den omvendte ledningsbue bruges i arkitekturen som et højt trykstyrkeelement. Faktisk kan det vises at være den stærkeste type bue blandt alle mulige former.

For at opbygge en solid bue, skal du bare kopiere formen på et hængende reb eller kæde, derefter vippes den kopierede form for at gengive den på døren eller vinduet overliggeren.

Elliptisk bue

En bue er elliptisk, hvis kurven, der forbinder to punkter, er et stykke ellips. Ellipsen defineres som stedet for punkter, hvis afstand til to givne punkter altid tilføjer en konstant mængde.

Ellipsen er en kurve, der vises i naturen: det er kurven for banen til planeterne omkring Solen, som demonstreret af Johannes Kepler i 1609.

I praksis kan en ellipse trækkes ved at fastgøre to stivere til jorden eller to stifter i et stykke papir og binde en streng til dem. Rebet strammes derefter med markøren eller blyanten, og kurven spores. Et stykke ellips er en elliptisk bue. Følgende animation illustrerer, hvordan ellipsen tegnes:

Figur 5. Sporing af en ellipse ved hjælp af et stram reb. Kilde: Wikimedia Commons

Figur 6 viser en elliptisk lysbue-forbindelsespunkter G og H.

Figur 6. Elliptisk bue, der forbinder to punkter. Udarbejdet af Ricardo Pérez.

Eksempler på buer

Følgende eksempler henviser til, hvordan man beregner omkredsen for nogle specifikke buer.

Eksempel 1

Figur 7 viser et vindue afsluttet i en afskåret cirkulær bue. Dimensioner vist i figuren er i fødder. Find buens længde.

Figur 7. Beregning af længden af ​​den cirkulære bue i et vindue. (Egne kommentarer - vinduesbillede på Pixabay)

For at opnå centrum og radius af den cirkulære bue i vindueslintet, er følgende konstruktioner lavet på billedet:

-Segmentet KL tegnes, og dets halvlinie tegnes.

-Så det øverste punkt på overliggeren er placeret, som vi kalder M. Dernæst betragtes KM-segmentet, og dets mediatrix spores.

Afskæringen af ​​de to bisektorer er punkt N, og det er også midten af ​​den cirkulære bue.

-Nu skal vi måle længden af ​​NM-segmentet, der falder sammen med radius R for den cirkulære bue: R = 2,8 fod.

-For at kende buens længde ud over radius er det nødvendigt at kende den vinkel, som buen danner. Hvilket kan bestemmes ved to metoder, enten måles det med en gradskive, eller alternativt beregnes det ved hjælp af trigonometri.

I det viste tilfælde er vinklen dannet af buen 91,13º, som skal konverteres til radianer:

91,13º = 91,13º * π / 180º = 1,59 radianer

Endelig beregner vi buens længde s ved hjælp af formlen s = α R.

s = 1,59 * 2,8 fod = 4,45 fod

Eksempel 2

Find længden af ​​den elliptiske bue vist i figur 8 ved at kende halv-hovedaksen r og halvmoll-aksen s på ellipsen.

Figur 8. Elliptisk bue mellem GH. Udarbejdet af Ricardo Pérez.

At finde længden på en ellipse var et af de mest vanskelige problemer i matematik i lang tid. Du kan få løsninger, der udtrykkes med elliptiske integraler, men for at have en numerisk værdi skal du udvide disse integraler i kraftserier. Et nøjagtigt resultat kræver uendelige vilkår for disse serier.

Heldigvis fandt den hinduistiske matematiske geni Ramanujan, der levede mellem 1887 og 1920, en formel, der meget præcist tilnærmer sig periferien af ​​en ellipse:

Omkretsen af ​​en ellipse med r = 3 cm og s = 2,24 cm er 16,55 cm. Imidlertid har den viste elliptiske bue halvdelen af ​​denne værdi:

Længde på den elliptiske bue GH = 8,28 cm.

Referencer

1. Clemens S. 2008. Geometry and Trigonometry. Pearson Uddannelse.
2. García F. Numeriske procedurer i Java. Længde på en ellipse. Gendannes fra: sc.ehu.es
3. Dynamisk geometri. Bows. Gendannes fra geometriadinamica.es
4. Piziadas. Ellipser og paraboler omkring os. Gendannes fra: piziadas.com
5. Wikipedia. Bue (geometri). Gendannet fra: es.wikipedia.com