ORTONORMALT GRUNDLAG: EGENSKABER, EKSEMPLER OG ØVELSER - FYSISK - 2024

Et orthonormalt grundlag dannes med vektorer vinkelret på hinanden, og hvis modul også er 1 (enhedsvektorer). Lad os huske, at en base B i et vektorrum V er defineret som et sæt lineært uafhængige vektorer, der er i stand til at generere nævnte rum.

Til gengæld er et vektorrum en abstrakt matematisk enhed, hvis elementer er vektorer, generelt forbundet med fysiske mængder såsom hastighed, kraft og forskydning eller også med matrixer, polynomer og funktioner.

Figur 1. Ortonormal base i planet. Kilde: Wikimedia Commons. Quartl.

Vektorer har tre karakteristiske elementer: størrelse eller modul, retning og sans. Et orthonormalt grundlag er især nyttigt til at repræsentere og arbejde med dem, da enhver vektor, der hører til et bestemt vektorrum V, kan skrives som en lineær kombination af vektorerne, der danner det orthonormale basis.

På denne måde udføres operationer mellem vektorer, såsom tilføjelse, subtraktion og de forskellige typer produkter, der er defineret i det nævnte rum, analytisk.

Blandt de mest anvendte baser i fysik er basen dannet af enhedsvektorerne i, j og k, der repræsenterer de tre karakteristiske retninger i det tredimensionelle rum: højde, bredde og dybde. Disse vektorer er også kendt som kanoniske enhedsvektorer.

Hvis vektorerne i stedet arbejdes i et plan, ville to af disse tre komponenter være tilstrækkelige, mens kun for en-dimensionelle vektorer kun er påkrævet.

Basernes egenskaber

1- En base B er det mindste mulige sæt vektorer, der genererer vektorområdet V.

2- Elementerne i B er lineært uafhængige.

3 - Enhver base B i et vektorrum V tillader at udtrykke alle vektorer af V som en lineær kombination af det, og denne form er unik for hver vektor. Af denne grund er B også kendt som genereringssystemet.

4- Det samme vektorrum V kan have forskellige baser.

Eksempler på baser

Her er flere eksempler på orthonormale baser og baser generelt:

Det kanoniske grundlag i ℜ

Også kaldet naturlig base eller standard base af ℜ ⁿ, hvor ℜ ⁿ er n-dimensionelt rum, for eksempel er tredimensionelt rum ℜ ³. Værdien af ​​n kaldes dimensionen af ​​vektorrummet og betegnes som dim (V).

Alle vektorer, der tilhører ℜ ^n, er repræsenteret af ordrede n-annoncer. For rummet ℜ ⁿ er det kanoniske grundlag:

e ₁ = <1,0,…, 0>; e ₂ = <0,1,…, 0>; …….. e _n = <0,0,…, 1>

I dette eksempel har vi brugt notationen med parenteser eller “parentes” og fed til enhedsvektorerne e ₁, e ₂, e ₃…

Det kanoniske grundlag i ℜ

De velkendte vektorer i, j og k indrømmer den samme repræsentation, og alle tre af dem er nok til at repræsentere vektorerne i ℜ ³:

i = <1,0,0>; j = <0,1,0>; k = <0,0,1>

Det betyder, at basen kan udtrykkes sådan:

B = {<1,0,0>; <0,1,0>; <0,0,1>}

For at verificere, at de er lineært uafhængige, er den determinant, der dannes med dem, ikke-nul og ligeledes 1:

Det skal også være muligt at skrive enhver vektor, der tilhører belonging ³ som en lineær kombination af dem. For eksempel vil en kraft, hvis rektangulære komponenter er F _x = 4 N, F _y = -7 N og F _z = 0 N, blive skrevet i vektorform som denne:

F = <4, -7,0> N = 4 i -7 j + 0 k N.

Derfor udgør i, j og k et generatorsystem på ℜ ³.

Andre orthonormale baser i ℜ

Standardbasen beskrevet i det foregående afsnit er ikke den eneste orthonormale base i ℜ ³. Her har vi for eksempel baserne:

B ₁ = {; <- synd θ, cos θ, 0>; <0,0,1>}

B ₂ = {<3/5, 4 / 5.0>; <- 4/5, 3 / 5.0>; <0,0,1>}

Det kan vises, at disse baser er orthonormale, for dette husker vi de betingelser, der skal være opfyldt:

-Vektorerne, der danner basen, skal være vinkelret på hinanden.

-Hver af dem skal være enheder.

Vi kan bekræfte dette ved at vide, at den determinant, der dannes af dem, skal være ikke-nul og lig med 1.

Basen B ₁ er netop af cylindriske koordinater p, φ og z, en anden måde at udtrykke vektorer i rummet.

Figur 2. Cylindriske koordinater. Kilde: Wikimedia Commons. Matematik buff.

Løst øvelser

- Øvelse 1

Vis at basen B = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5.0>; <0,0,1>} er orthonormal.

Løsning

For at vise, at vektorerne er vinkelret på hinanden, bruger vi det skalariske produkt, også kaldet det indre eller punktprodukt af to vektorer.

Lad enhver to vektorer u og v, deres dot-produkt er defineret af:

u • v = uv cosθ

For at skelne vektorerne i deres moduler vil vi bruge fedt til de første og normale bogstaver for det andet. θ er vinklen mellem u og v, derfor hvis de er vinkelret, betyder det, at θ = 90º, og det skalære produkt er nul.

Alternativt, hvis vektorerne er givet med hensyn til deres komponenter: u =x, u _y, u _z > y v =x, v _y, v _z >, skalareproduktet fra begge beregnes på denne måde:

u • v = u _x.v _x + u _y.v _y + u _z.v _z

På denne måde er de skalære produkter mellem hvert vektorpar henholdsvis:

i) <3/5, 4 / 5,0> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (3/5). (- 4/5) + (4/5). ((3 / 5) + 0,0 = (-12/25) + (12/25) = 0

ii) <3/5, 4 / 5,0> • <0, 0,1> = 0

iii) <- 4/5, 3 / 5,0> • <0, 0,1> = 0

For den anden betingelse beregnes modulet for hver vektor, som opnås ved:

│u │ = √ (u _x ² + u _y ² + u _z ²)

Modulerne i hver vektor er således:

│ <3/5, 4 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <-4/5, 3 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <0, 0,1> │ = √ = 1

Derfor er alle tre enhedsvektorer. Endelig er determinanten, de danner, ikke-nul og lig med 1:

- Øvelse 2

Skriv koordinaterne for vektoren w = <2, 3,1> i form af basen ovenfor.

Løsning

For at gøre dette bruges følgende sætning:

w = < w • v ₁ > v ₁ + < w • v ₂ > v ₂ + < w • v ₃ > v ₃ +… < w • v _n > v _n

Dette betyder, at vi kan skrive vektoren i base B ved hjælp af koefficienterne < w • v ₁ >, < w • v ₂ >,… < w • v _n >, som vi skal beregne de angivne skalære produkter:

<2, 3,1> • <3/5, 4 / 5,0> = (2). (3/5) + (3). (4/5) + 1.0 = (6/5) + (12 / 5) = 18/5

<2, 3,1> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (2). (- 4/5) + (3). (3/5) + 1.0 = (-8/5) + (9/5) = 1/5

<2, 3,1> • <0,0,1> = 1

Med de opnåede skalære produkter konstrueres en matrix kaldet w-koordinatmatrixen.

Derfor udtrykkes koordinaterne for vektoren w i basen B ved:

_B =

Koordinatmatrixen er ikke vektoren, da en vektor ikke er den samme som dens koordinater. Dette er kun et sæt tal, der tjener til at udtrykke vektoren i en given base, ikke vektoren som sådan. De afhænger også af den valgte base.

Til sidst, efter sætningen, ville vektoren w blive udtrykt som følger:

w = (18/5) v ₁ + (1/5) v ₂ + v ₃

Med: v ₁ = <3/5, 4 / 5,0>; v ₂ = <- 4/5, 3 / 5.0>; v ₃ = <0,0,1>}, dvs. vektorerne i basen B.

Referencer

1. Larson, R. Fundamenter i lineær algebra. 6th. Edition. Cengage Learning.
2. Larson, R. 2006. Calculus. 7th. Edition. Bind 2. McGraw Hill.
3. Salas, J. Lineær algebra. Enhed 10. Ortonormale baser. Gendannes fra: ocw.uc3m.es.
4. Sevilla University. Cylindriske koordinater. Vector base. Gendannes fra: laplace.us.es.
5. Wikipedia. Ortonormal base. Gendannet fra: es.wikipedia.org.