KONJUGAT BINOMIAL: HVORDAN MAN LØSER DET, EKSEMPLER, ØVELSER - MATEMATIK - 2024

En konjugeret binomial af en anden binomial er en, hvori de kun er differentieret med et tegn på operationen. Binomialen, som navnet antyder, er en algebraisk struktur, der består af to udtryk.

Nogle eksempler på binomialer er: (a + b), (3m - n) og (5x - y). Og deres respektive konjugerede binomialer er: (a - b), (-3m - n) og (5x + y). Som det kan ses med det samme, er forskellen i skiltet.

Figur 1. En binomial og dens konjugerede binomial. De har de samme vilkår, men adskiller sig i tegn. Kilde: F. Zapata.

En binomial ganget med dets konjugat resulterer i et bemærkelsesværdigt produkt, der er vidt brugt i algebra og videnskab. Resultatet af multiplikationen er subtraktion af kvadraterne af udtrykkene i den originale binomial.

For eksempel er (x - y) en binomial, og dens konjugat er (x + y). Så produktet af de to binomialer er forskellen i kvadraterne for udtrykkene:

(x - y) (x + y) = x. ² - y ²

Hvordan løser du en konjugeret binomial?

Den angivne regel for konjugerede binomialer er følgende:

Som et eksempel på anvendelse vil vi begynde med at demonstrere det forrige resultat, som kan gøres ved hjælp af produktets distribuerende egenskab med hensyn til den algebraiske sum.

(x - y) (x + y) = xx + xy - yx - ååå

Ovenstående multiplikation blev opnået ved at følge disse trin:

- Den første periode i den første binomial ganges med den første periode i den anden

- Så den første af den første, den anden af ​​den anden

- Så den anden af ​​den første af den første af den anden

- Endelig den anden af ​​den første af den anden af ​​den anden.

Lad os nu foretage en lille ændring ved hjælp af den kommutative egenskab: yx = xy. Det ser sådan ud:

(x - y) (x + y) = xx + xy - xy - ååå

Da der er to lige udtryk men med modsat tegn (fremhævet i farve og understreget), annulleres de, og det forenkles:

(x - y) (x + y) = xx - ååå

Endelig anvendes det, at multiplicering af et tal i sig selv svarer til at hæve det til firkanten, så xx = x ² og også yy = y ².

På denne måde demonstreres det, der var blevet indikeret i det foregående afsnit, at produktet af en sum og dets forskel er forskellen på firkanterne:

(x - y) (x + y) = x. ² - y ²

Figur 2. En sum gange dens forskel er en forskel på firkanter. Kilde: F. Zapata.

eksempler

- Konjugerede binomials af forskellige udtryk

Eksempel 1

Find konjugatet af (y ² - 3y).

Svar: (y ² + 3y)

Eksempel 2

Hent produktet fra (y ² - 3y) og dets konjugat.

Svar: (y ² - 3y) (y ² + 3y) = (y ²) ² - (3y) ² = y ⁴ - 3 ² y ² = y ⁴ - 9y ²

Eksempel 3

Udvikle produktet (1 + 2a). (2a -1).

Svar: det forrige udtryk svarer til (2a + 1). (2a -1), det vil sige, det svarer til produktet fra en binomial og dets konjugat.

Det er kendt, at produktet af en binomial ved dets konjugerede binomial er lig med forskellen på kvadraterne for termerne i binomialen:

(2a + 1) (2a -1) = (2a) ² - 1 ² = 4 a ² - 1

Eksempel 4

Skriv produktet (x + y + z) (x - y - z) som en forskel på firkanter.

Svar: vi kan assimilere de ovennævnte trinomialer til den konjugerede binomiale form og bruge omhyggelig brug af parenteser og firkantede parenteser:

(x + y + z) (x - y - z) =

På denne måde kan forskellen på firkanter anvendes:

(x + y + z) (x - y - z) =. = x ² - (y + z) ²

Eksempel 5

Udtrykk produktet (m ² - m -1). (M ² + m -1) som en forskel på firkanter.

Svar: det forrige udtryk er produktet af to trinomer. Det skal først omskrives som produktet af to konjugerede binomialer:

(m ² - m -1) (m ² + m -1) = (m ² - 1 - m) (m ² -1 + m) =.

Vi anvender det faktum, at produktet af en binomial ved dets konjugat er den kvadratiske forskel på dens vilkår, som det er blevet forklaret:

. = (m ² -1) ² - m ²

Øvelser

Som altid starter du med de enkleste øvelser og øger derefter kompleksitetsniveauet.

- Øvelse 1

Skriv (9 - til ²) som et produkt.

Løsning

Først omskriver vi udtrykket som en forskel på firkanter for at anvende det, der tidligere blev forklaret. Dermed:

(9 - a ²) = (3 ² - a ²)

Derefter tager vi faktor, hvilket svarer til at skrive denne forskel på firkanter som et produkt, som anmodet om i udsagnet:

(9 - a ²) = (3 ² - a ²) = (3 + a) (3-a)

- Øvelse 2

Faktor 16x ² - 9y ⁴.

Løsning

At faktorisere et udtryk betyder at skrive det som et produkt. I dette tilfælde er det nødvendigt at tidligere omskrive udtrykket for at opnå en forskel på firkanter.

Det er ikke svært at gøre dette, da alle faktorer er perfekte firkanter, når man ser nøje. For eksempel er 16 kvadratet med 4, 9 er kvadratet på 3, og ⁴ er kvadratet af y ² og x ² er kvadratet af x:

16x ² - 9y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² (y ²) ²

Derefter anvender vi det, vi allerede ved tidligere: at en forskel på firkanter er produktet af konjugerede binomialer:

(4x) ² - (3 og ²) ² = (4x - 3 og ²). (4x + 3 og ²)

- Øvelse 3

Skriv (a - b) som et produkt af binomialer

Løsning

Ovenstående forskel skal skrives som forskelle i firkanter

(√a) ² - (√b) ²

Derefter anvendes det, at forskellen på firkanter er produktet af de konjugerede binomialer

(√a - √b) (√a + √b)

- Øvelse 4

En af anvendelserne af det konjugerede binomiale er rationaliseringen af ​​algebraiske udtryk. Denne procedure består i at eliminere rødderne af nævneren til et brøkudtryk, hvilket i mange tilfælde letter operationerne. Det anmodes om at bruge den konjugerede binomial til at rationalisere følgende udtryk:

√ (2-x) /

Løsning

Den første ting er at identificere den konjugerede binomial for nævneren:

Nu multiplicerer vi tælleren og nævneren for det originale udtryk med det konjugerede binomiale:

√ (2-x) / {.}

I nævneren til det forrige udtryk genkender vi produktet af en forskel med en sum, som vi allerede ved svarer til forskellen på kvadraterne i binomialerne:

√ (2-x). / {(√3) ² - ² }

Forenkling af nævneren er:

√ (2-x). / = √ (2-x). / (1 - x)

Nu beskæftiger vi os med tælleren, som vi vil anvende produktets fordelingsegenskaber med hensyn til summen:

√ (2-x). / (1 - x) = √ (6-3x) + √ / (1 - x)

I det forrige udtryk genkender vi produktet af binomialet (2-x) ved dets konjugat, som er det bemærkelsesværdige produkt, der svarer til forskellen på firkanter. På denne måde opnås endelig et rationaliseret og forenklet udtryk:

/ (1 - x)

- Øvelse 5

Udvikl følgende produkt ved hjælp af egenskaberne for det konjugerede binomiale:

Løsning

4a ^{(2x + 6y)} - 9a ^{(2x - 6y)} = 4a ^(2x).a ^(6y) - 9a ^(2x).a ^(-6y) =.a ^(2x)

Den opmærksomme læser vil have bemærket den fælles faktor, der er fremhævet i farve.

Referencer

1. Baldor, A. 1991. Algebra. Redaktionel kulturel Venezolana SA
2. González J. Konjugerede binomiale øvelser. Gendannes fra: akademia.edu.
3. Matematiklærer Alex. Bemærkelsesværdige produkter. Gendannes fra youtube.com.
4. Math2me. Konjugerede binomialer / bemærkelsesværdige produkter. Gendannes fra youtube.com.
5. Konjugerede binomiale produkter. Gendannes fra: lms.colbachenlinea.mx.
6. Virtuelle. Konjugerede binomialer. Gendannes fra: youtube.com.