BEREGNING AF TILNÆRMELSER VED HJÆLP AF DIFFERENSEN - MATEMATIK - 2024

En tilnærmelse i matematik er et tal, der ikke er den nøjagtige værdi af noget, men som er så tæt på det, at det betragtes som nyttigt som den nøjagtige værdi.

Når der foretages tilnærmelser i matematik, skyldes det, at det manuelt er vanskeligt (eller sommetider umuligt) at kende den nøjagtige værdi af, hvad man ønsker.

Det vigtigste værktøj, når man arbejder med tilnærmelser, er forskellen i en funktion.

Differensen for en funktion f, betegnet med Δf (x), er intet andet end derivatet af funktionen f gange ændringen i den uafhængige variabel, det vil sige Δf (x) = f '(x) * Δx.

Undertiden bruges df og dx i stedet for Δf og Δx.

Tilnærmelser ved hjælp af differencen

Den formel, der anvendes til at gennemføre en tilnærmelse gennem forskellen, opstår netop af definitionen af ​​afledningen af ​​en funktion som en grænse.

Denne formel er givet af:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

Her forstås det, at Δx = x-x0, derfor x = x0 + Δx. Ved hjælp af dette kan formlen omskrives som

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

Det skal bemærkes, at "x0" ikke er en vilkårlig værdi, men en sådan værdi, at f (x0) let er kendt; derudover er "f (x)" bare den værdi, vi vil tilnærme os.

Er der bedre tilnærmelser?

Svaret er ja. Ovenstående er den enkleste af de tilnærmelser, der kaldes "lineær tilnærmelse".

For bedre tilnærmelser i kvaliteten (den foretagne fejl er mindre) bruges polynomier med flere derivater kaldet "Taylor-polynomier" såvel som andre numeriske metoder, såsom Newton-Raphson-metoden.

Strategi

Strategien, der skal følges, er:

- Vælg en passende funktion f til at udføre tilnærmelsen og værdien «x», således at f (x) er den værdi, der skal tilnærmes.

- Vælg en værdi "x0", tæt på "x", så f (x0) er let at beregne.

- Beregn Δx = x-x0.

- Beregn derivatet for funktionen y f '(x0).

- Indsæt dataene i formlen.

Løst tilnærmelsesøvelser

I det, der fortsætter, er der en række øvelser, hvor der foretages tilnærmelser ved hjælp af differensen.

Første øvelse

Cirka √3.

Løsning

Efter strategien skal der vælges en passende funktion. I dette tilfælde kan det ses, at den valgte funktion skal være f (x) = √x, og den værdi, der skal tilnærmes, er f (3) = √3.

Nu skal vi vælge en værdi "x0" tæt på "3", så f (x0) er let at beregne. Hvis "x0 = 2" vælges, er "x0" tæt på "3", men f (x0) = f (2) = √2 er ikke let at beregne.

Den passende værdi af "x0" er "4", da "4" er tæt på "3" og også f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Hvis "x = 3" og "x0 = 4", er Δx = 3-4 = -1. Nu fortsætter vi med at beregne derivatet af f. Det vil sige f '(x) = 1/2 * √x, så f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

I stedet for alle værdier i formlen får du:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1,75.

Hvis du bruger en lommeregner, får du det √3≈1.73205… Dette viser, at det forrige resultat er en god tilnærmelse af den reelle værdi.

Anden øvelse

Cirka √10.

Løsning

Som før vælges f (x) = √xy som en funktion, i dette tilfælde x = 10.

Værdien af ​​x0, der skal vælges denne gang, er "x0 = 9". Så har vi Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 og f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

Ved evaluering i formlen opnås det

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666…

Ved hjælp af en lommeregner opnås det, at √10 ≈ 3.1622776… Her kan det også ses, at der før blev opnået en god tilnærmelse.

Tredje øvelse

Omtrentlig ³√10, hvor ³√ betegner terningen rod.

Løsning

Det er klart, at funktionen, der skal bruges i denne øvelse, er f (x) = ³√x, og værdien af ​​"x" skal være "10".

En værdi tæt på "10", således at dens kuberot er kendt, er "x0 = 8". Så har vi Δx = 10-8 = 2 og f (x0) = f (8) = 2. Vi har også den f '(x) = 1/3 * ³√x², og følgelig f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Ved at substituere dataene i formlen opnås det, at:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666….

Lommeregneren siger, at ³√10 ≈ 2.15443469… Derfor er den fundne tilnærmelse god.

Fjerde øvelse

Omtrentlig ln (1.3), hvor "ln" betegner den naturlige logaritmefunktion.

Løsning

Først vælger vi som funktion f (x) = ln (x), og værdien af ​​"x" er 1,3. Nu ved vi lidt om logaritmefunktionen kan vi vide, at ln (1) = 0, og desuden "1" er tæt på "1.3". Derfor vælges "x0 = 1" og dermed Δx = 1,3 - 1 = 0,3.

På den anden side f '(x) = 1 / x, så f' (1) = 1. Ved evaluering i den givne formel har vi:

ln (1,3) = f (1,3) ≈ 0 + 1 * 0,3 = 0,3.

Ved hjælp af en lommeregner har vi den ln (1.3) ≈ 0.262364… Så den foretagne tilnærmelse er god.

Referencer

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus Matematik. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus matematik: en problemløsende tilgang (2, Illustreret red.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra og trigonometri med analytisk geometri. Pearson Uddannelse.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 udg.). Cengage Learning.
5. Leal, JM, & Viloria, NG (2005). Plananalytisk geometri. Mérida - Venezuela: Redaktionel Venezolana CA
6. Pérez, CD (2006). Forkalkulation. Pearson Uddannelse.
7. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Calculus (9. udgave). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Differentialberegning med tidlige transcendente funktioner til videnskab og teknik (Anden udgave red.). Hypotenusen.
9. Scott, CA (2009). Cartesian Plane Geometry, Part: Analytical Conics (1907) (genoptrykt red.). Lynkilde.
10. Sullivan, M. (1997). Forkalkulation. Pearson Uddannelse.