TYNGDEPUNKT: EGENSKABER, BEREGNING, EKSEMPLER - FYSISK - 2024

Den tyngdepunkt af et legeme af målelig størrelse er det punkt, hvor dens vægt anses for at blive anvendt. Det er derfor et af hovedbegreberne i Statics.

Den første tilgang i problemerne med elementær fysik består i at antage, at ethvert objekt opfører sig som en punktmasse, det vil sige, den har ingen dimensioner, og al massen er koncentreret i et enkelt punkt. Dette gælder for en kasse, en bil, en planet eller en subatomær partikel. Denne model er kendt som partikelmodellen.

Figur 1. I højspringet klarer atleten sig, så hans tyngdepunkt er uden for kroppen. Kilde: Pixabay

Dette er selvfølgelig en tilnærmelse, der fungerer meget godt til mange applikationer. Det er ikke en let opgave at overveje den individuelle opførsel af de tusinder og millioner af partikler, som ethvert objekt kan indeholde.

Imidlertid skal de faktiske dimensioner af tingene tages i betragtning, hvis resultater, der er tættere på virkeligheden, skal opnås. Da vi generelt er i nærheden af ​​Jorden, er den altid tilstedeværende kraft på ethvert legeme netop vægten.

Overvejelser til at finde tyngdepunktet

Hvis der skal tages hensyn til kropsstørrelse, hvor skal der specifikt anvendes vægt? Når du har en vilkårligt formet kontinuerlig genstand, er dens vægt en kraft fordelt mellem hver af dens bestanddele.

Lad disse partikler være m ₁, m ₂, m ₃… Hver af dem oplever sin tilsvarende tyngdekraft m ₁ g, m ₂ g, m ₃ g…, alle sammen parallelle. Dette er tilfældet, da jordens tyngdefelt betragtes som konstant i langt de fleste tilfælde, da objekterne er små sammenlignet med størrelsen på planeten og er tæt på dens overflade.

Figur 2. Objektets vægt er en fordelt masse. Kilde: self made.

Vektorsummen af ​​disse kræfter resulterer i objektets vægt, anvendt på det punkt, der kaldes tyngdepunktet, der er angivet i figuren som CG, som derefter falder sammen med massecentret. Massens centrum igen er det punkt, hvor al massen kan betragtes som koncentreret.

Den resulterende vægt har en størrelse på Mg, hvor M er genstandens samlede masse, og selvfølgelig er den lodret rettet mod Jordens centrum. Summationsnotationen er nyttig til at udtrykke kroppens samlede masse:

Tyngdepunktet falder ikke altid sammen med et materielt punkt. For eksempel er CG i en ring i dets geometriske centrum, hvor der ikke er nogen masse i sig selv. Alligevel skal du anvende vægten på dette præcise punkt, hvis du vil analysere kræfterne, der virker på en bøjle.

I de tilfælde, hvor objektet har en vilkårlig form, hvis det er homogent, kan dets massepunkt stadig beregnes ved at finde figurens tyngdepunkt eller tyngdepunkt.

Hvordan beregnes tyngdepunktet?

I princippet, hvis tyngdepunktet (CG) og massecentret (cm) falder sammen, når tyngdefeltet er ensartet, kan cm'en beregnes og vægten påføres på den.

Lad os overveje to tilfælde: det første er et, hvor massefordelingen er diskret; det vil sige, at hver masse, der udgør systemet, kan tælles og tildeles et nummer i, som det blev gjort i det foregående eksempel.

Koordinaterne for massecentret for en diskret massefordeling er:

Naturligvis er summen af ​​alle masserne lig med den totale masse af systemet M, som angivet ovenfor.

De tre ligninger reduceres til en kompakt form, når man tager i betragtning vektoren r _cm eller positionsvektor for massecentret:

Og i tilfælde af en kontinuerlig massefordeling, hvor partiklerne har forskellig størrelse og ikke kan skelnes for at blive talt, erstattes summen med et integral, der er lavet over det volumen, der er besat af det pågældende objekt:

Hvor r er positionsvektoren for en differentiel masse dm, og definitionen af ​​massetæthed er blevet brugt til at udtrykke massedifferensen dm indeholdt i en volumenforskel dV:

Ejendomme

Nogle vigtige overvejelser omkring massecentret er som følger:

- Selvom der kræves et referencesystem for at fastlægge positionerne, afhænger massecentret ikke af det valg, der er truffet af systemet, da det er en egenskab for objektet.

- Når objektet har en akse eller et symmetriplan, er massens centrum på den akse eller planet. Udnyttelse af denne situation sparer beregningstid.

- Alle eksterne kræfter, der virker på objektet, kan påføres massens centrum. At holde styr på bevægelsen på dette punkt giver et overblik over objektets bevægelse og gør det lettere at studere dets opførsel.

-Finding af et legems tyngdepunkt i statisk ligevægt

Antag, at du vil gøre kroppen i den forrige figur i statisk ligevægt, det vil sige, at den ikke oversætter eller roterer om en vilkårlig rotationsakse, der kan være O.

Figur 3. Skema til beregning af drejningsmomentet for vægten i forhold til punkt O.

-Opløst eksempel

En tynd stang af ensartet materiale er 6 m lang og vejer 30 N. En 50 N vægt hænges ved sin venstre ende og en 20 N vægt hænges ved sin højre ende. Find: a) Størrelsen på den opadgående kraft, der er nødvendig for at opretholde balancen i stangen, b) Tyngdepunktet af samlingen.

Løsning

Kraftdiagrammet er vist i den følgende figur. Stangens vægt anvendes på dens tyngdepunkt, der falder sammen med dets geometriske centrum. Den eneste dimension på søjlen, der tages i betragtning, er dens længde, da udsagnet rapporterer, at det er tyndt.

Figur 4. Diagram over kræfter til stangen.

For at bar + vægtsystemet skal forblive i translationel ligevægt, skal summen af ​​kræfterne være nul. Kræfterne er lodrette, hvis vi overvejer med tegn + og ned med tegn - så:

F- 50 - 20 - 30 N = 0

F = 100 N

Denne kraft garanterer den translationelle balance. At tage vridningsmomenterne af alle kræfter med hensyn til en akse, der passerer gennem yderste venstre hjørne af systemet og anvende definitionen:

t = rx F

Alle disse kræfteres øjeblikke omkring det valgte punkt er vinkelret på bjælkens plan:

Dermed:

Tyngdepunktet af stangen + vægtesæt ligger 2,10 meter fra venstre ende af stangen.

Forskel fra massens centrum

Tyngdepunktet falder sammen med massecentret, som angivet, så længe jordens tyngdefelt er konstant for alle punkter af objektet, der skal tages i betragtning. Jordens tyngdefelt er intet andet end den velkendte og velkendte værdi af g = 9,8 m / s ^{2, der er} lodret nedad.

Selvom værdien af ​​g varierer med breddegrad og højde, påvirker disse normalt ikke de objekter, der er mest omtalt af tiden. Det ville være meget anderledes, hvis du overvejer et stort legeme i nærheden af ​​Jorden, for eksempel en asteroide, der er meget tæt på planeten.

Asteroiden har sit eget massecenter, men dens tyngdepunkt ville ikke længere være sammenfaldende med dette, da g sandsynligvis vil opleve betydelige variationer i størrelse, i betragtning af størrelsen på asteroiden, og at vægten af ​​hver partikel muligvis ikke er parallel.

En anden grundlæggende forskel er, at massecentret findes uanset om der er en kraft kaldet vægt, der påføres genstanden eller ej. Det er en iboende egenskab ved objektet, der afslører os, hvordan dens masse er fordelt i forhold til dets geometri.

Massecentret findes uanset om der er påført vægt eller ej. Og det er placeret i den samme position, selv hvis objektet flytter til en anden planet, hvor tyngdefeltet er anderledes.

På den anden side er tyngdepunktet tydeligt knyttet til anvendelsen af ​​vægt, som vi har set gennem de foregående afsnit.

Eksempler på tyngdepunkt

Tyngdepunkt for uregelmæssige genstande

Det er meget let at finde ud af, hvor tyngdepunktet for en uregelmæssig genstand som f.eks. En kop er. Først er den ophængt fra ethvert punkt, og derfra tegnes en lodret linje (i figur 5 er det fuchsia-linjen i det venstre billede).

Derefter suspenderes det fra et andet punkt, og en ny lodret lodtrækning (turkislinie i det højre billede). Skæringspunktet mellem begge linjer er koppens tyngdepunkt.

Figur 5 CG placering af et krus. Kilde: ændret fra Pixabay.

Balancerende objekter

Lad os analysere stabiliteten af ​​en lastbil, der kører på vejen. Når tyngdepunktet er over truckens bund, vælter trucken ikke. Billedet til venstre er den mest stabile position.

Figur 6. Balance af trucken. Kilde: self made.

Selv når trucken læner sig til højre, vil den være i stand til at vende tilbage til en stabil ligevægtsposition som i den midterste tegning, da lodret stadig passerer gennem basen. Men når denne linje går uden for, vil trucken vælte.

Diagrammet viser kræfterne på hjørnepunktet: normal i gul, vægt i grønt og statisk gnide til venstre i fuchsia. Normal og friktion påføres rotationsaksen, så de ikke udøver drejningsmoment. Derfor vil de ikke bidrage til at vælte trucken.

Vægten forbliver, som udøver et drejningsmoment, heldigvis mod uret, og som har en tendens til at vende trucken tilbage til sin ligevægtsposition. Bemærk, at den lodrette linje går gennem støtteoverfladen, som er dækket.

Når trucken er i yderste højre position, skifter vægtmomentet til uret. Trucken kan ikke væltes en anden gang.

Referencer

1. Bauer, W. 2011. Fysik til ingeniørvidenskab og videnskaber. Bind 1. Mc Graw Hill. 247-253.
2. Giancoli, D. 2006. Fysik: Principper med applikationer. 6… Ed Prentice Hall. 229-238.
3. Resnick, R. (1999). Fysisk. Bind 1. 3. udgave på spansk. Compañía Editorial Continental SA de CV 331-341.
4. Rex, A. 2011. Fundamentals of Physics. Pearson, 146-155.
5. Sears, Zemansky. 2016. Universitetsfysik med moderne fysik. 14th. Udgave bind 1.340-346.