REKTANGULÆRE KOMPONENTER I EN VEKTOR (MED ØVELSER) - MATEMATIK - 2024

De rektangulære komponenter i en vektor er de data, der udgør denne vektor. For at bestemme dem er det nødvendigt at have et koordinatsystem, som generelt er det kartesiske plan.

Når du først har en vektor i et koordinatsystem, kan du beregne dens komponenter. Disse er 2, en vandret komponent (parallel med X-aksen), kaldet "komponent på X-aksen", og en lodret komponent (parallel med Y-aksen), kaldet "komponent på Y-aksen".

Grafisk gengivelse af de rektangulære komponenter i en vektor

For at bestemme komponenterne er det nødvendigt at kende visse data om vektoren, såsom dens størrelse og den vinkel, den danner med X-aksen.

Hvordan bestemmes de rektangulære komponenter i en vektor?

For at bestemme disse komponenter skal visse forhold mellem rigtige trekanter og trigonometriske funktioner kendes.

I det følgende billede kan du se dette forhold.

Forhold mellem højre trekanter og trigonometriske funktioner

En vinkels sinus er lig med kvotienten mellem målet på benet modsat vinklen og målet på hypotenusen.

På den anden side er kosinus i en vinkel lig med kvotienten mellem målet på benet, der støder op til vinklen, og målet på hypotenusen.

Vinklen til en vinkel er lig med kvotienten mellem målet for det modsatte ben og målet for det tilstødende ben.

I alle disse forhold er det nødvendigt at etablere den tilsvarende højre trekant.

Er der andre metoder?

Ja. Afhængig af de leverede data kan måden til beregning af de rektangulære komponenter i en vektor variere. Et andet vidt brugt værktøj er Pythagorean Theorem.

Øvelser

De følgende øvelser praktiserer definitionen af ​​de rektangulære komponenter i en vektor og de forhold, der er beskrevet ovenfor.

Første øvelse

Det er kendt, at en vektor A har en størrelse lig med 12, og den vinkel, den skaber med X-aksen, har et mål på 30 °. Bestemm de rektangulære komponenter i nævnte vektor A.

Løsning

Hvis billedet kendes, og de ovenfor beskrevne formler anvendes, kan det konkluderes, at komponenten i Y-aksen i vektor A er lig med

sin (30 °) = Vy / 12, og derfor Vy = 12 * (1/2) = 6.

På den anden side har vi, at komponenten på X-aksen i vektor A er lig med

cos (30 °) = Vx / 12, og derfor Vx = 12 * (√3 / 2) = 6√3.

Anden øvelse

Hvis vektor A har en størrelse lig med 5 og komponenten på x-aksen er lig med 4, bestemmes værdien af ​​komponenten af ​​A på y-aksen.

Løsning

Ved hjælp af den Pythagoreiske teorem har vi, at størrelsen af ​​vektor A-kvadratet er lig med summen af ​​kvadraterne for de to rektangulære komponenter. Det vil sige M² = (Vx) ² + (Vy) ².

At udskifte de givne værdier, skal du

5² = (4) ² + (Vy) ², derfor 25 = 16 + (Vy) ².

Dette indebærer, at (Vy) ² = 9 og følgelig Vy = 3.

Tredje øvelse

Hvis vektor A har en størrelse lig med 4, og den udgør en vinkel på 45 ° med X-aksen, bestemmes de rektangulære komponenter af denne vektor.

Løsning

Ved hjælp af forholdet mellem en højre trekant og de trigonometriske funktioner kan det konkluderes, at komponenten på Y-aksen i vektor A er lig med

sin (45 °) = Vy / 4, og derfor Vy = 4 * (√2 / 2) = 2√2.

På den anden side har vi, at komponenten på X-aksen i vektor A er lig med

cos (45 °) = Vx / 4, og derfor Vx = 4 * (√2 / 2) = 2√2.

Referencer

1. Landaverde, FD (1997). Geometri (redprint red.). Fremskridt.
2. Leake, D. (2006). Trekanter (illustreret udg.). Heinemann-Raintree.
3. Pérez, CD (2006). Forkalkulation. Pearson Uddannelse.
4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometrier. Teknologisk af CR.
5. Sullivan, M. (1997). Forkalkulation. Pearson Uddannelse.
6. Sullivan, M. (1997). Trigonometri og analytisk geometri. Pearson Uddannelse.