KONGRUENS: KONGRUENTE TAL, KRITERIER, EKSEMPLER, ØVELSER - MATEMATIK - 2024

Den kongruens i geometri siger, at hvis to plane figurer har den samme form og dimensioner, disse er kongruente. For eksempel er to segmenter kongruente, når deres længder er ens. På samme måde har kongruente vinkler samme mål, selvom de ikke er orienteret på samme måde i planet.

Udtrykket "kongruens" kommer fra den latinske kongruentia, hvis betydning er korrespondance. Således svarer to kongruente tal nøjagtigt til hinanden.

Figur 1. Firedobberne ABCD og A'B'C'D 'i figuren er kongruente: deres sider har samme mål, ligesom deres indre vinkler. Kilde: F. Zapata.

For eksempel, hvis vi overlejrer de to firkantede sider på billedet, vil vi opdage, at de er kongruente, da arrangementet af deres sider er identisk, og de måler det samme.

Ved at anbringe firkantede sider ABCD og A'B'C'D 'oven på hinanden, vil tallene matche nøjagtigt. De sammenfaldende sider kaldes homologe eller tilsvarende sider, og symbolet ≡ bruges til at udtrykke kongruens. Så vi kan sige, at ABCD ≡ A'B'C'D '.

Congruence kriterier

Følgende egenskaber er fælles for kongruente polygoner:

-Den samme form og størrelse.

-Identiske målinger af deres vinkler.

-Den samme mål på hver sin side.

I tilfælde af, at der er tale om regelmæssige to polygoner, dvs. at alle sider og indre vinkler måler det samme, sikres kongruens, når en af ​​følgende betingelser er opfyldt:

-Siderne er kongruente

- Apoteme har samme mål

-Radiusen for hver polygon måler den samme

Afstanden fra en regelmæssig polygon er afstanden mellem midten og en af ​​siderne, mens radius svarer til afstanden mellem centrum og et toppunkt eller hjørne af figuren.

Congruenskriterier bruges ofte, fordi så mange dele og stykker af alle slags er masseproduceret og skal have samme form og målinger. På denne måde kan de let udskiftes, når det er nødvendigt, for eksempel møtrikker, bolte, plader eller belægningssten på jorden på gaden.

Figur 2. Gadehovedsten er sammenhængende figurer, da deres form og dimensioner er nøjagtig de samme, selvom deres orientering på gulvet kan ændre sig. Kilde: Pixabay.

Congruence, identitet og lighed

Der er geometriske koncepter relateret til kongruens, for eksempel identiske figurer og lignende figurer, som ikke nødvendigvis indebærer, at figurerne er kongruente.

Bemærk, at de kongruente figurer er identiske, men de firkantede sider i figur 1 kunne orienteres på forskellige måder på planet og stadig forblive kongruente, da den forskellige orientering ikke ændrer størrelsen på deres sider eller deres vinkler. I så fald ville de ikke længere være identiske.

Det andet koncept er figurenes lighed: to plane figurer er ens, hvis de har den samme form, og deres indre vinkler måler det samme, selvom størrelsen på figurerne kan være forskellige. Hvis dette er tilfældet, er tallene ikke kongruente.

Eksempler på kongruens

- sammenfald af vinkler

Som vi indledte i begyndelsen, har kongruente vinkler den samme mål. Der er flere måder at opnå kongruente vinkler på:

Eksempel 1

To linjer med et fælles fælles definerer to vinkler, kaldet modsatte vinkler på grund af toppunktet. Disse vinkler har samme mål, derfor er de kongruente.

Figur 3. Modsatte vinkler ved toppunktet. Kilde: Wikimedia Commons.

Eksempel 2

Der er to parallelle linjer plus en linje t, der skærer begge dele. Som i det foregående eksempel, når denne linje skærer parallellerne genererer den kongruente vinkler, en på hver linje på højre side og en anden to på venstre side. Figuren viser α og α ₁ til højre for linje t, som er kongruente.

Figur 4. Vinklerne vist i figuren er kongruente. Kilde: Wikimedia Commons. Lfahlberg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Eksempel 3

I et parallelogram er der fire indvendige vinkler, som er kongruente to til to. Det er dem mellem modsatte hjørner, som vist i den følgende figur, hvor de to grønne vinkler er kongruente, såvel som de to vinkler i rødt.

Figur 5. Parallellogrammets indvendige vinkler er kongruente to for to. Kilde: Wikimedia Commons.

- Kongruen af ​​trekanter

To trekanter med samme form og størrelse er kongruente. For at verificere dette er der tre kriterier, der kan undersøges i søgen efter kongruens:

- LLL-kriterium: trekanternes tre sider har de samme mål, derfor er L ₁ = L ' ₁; L ₂ = L ' ₂ og L ₃ = L' _3.

Figur 6. Eksempel på kongruente trekanter, hvis sider måler det samme. Kilde: F. Zapata.

- ALA- og AAL-kriterier: trekanter har to lige indvendige vinkler, og siden mellem disse vinkler har samme mål.

Figur 7. ALA og AAL kriterier for trekants kongruens. Kilde: Wikimedia Commons.

- LAL-kriterium: to af siderne er identiske (tilsvarende), og der er den samme vinkel mellem dem.

Figur 8. LAL-kriterium for kongruens af trekanter. Kilde: Wikimedia Commons.

Løst øvelser

- Øvelse 1

To trekanter er vist i følgende figur: ΔABC og ΔECF. Det vides, at AC = EF, at AB = 6 og at CF = 10. Endvidere er vinklerne ∡BAC og ∡FEC kongruente, og vinklerne ∡ACB og ∡FCB er også kongruente.

Figur 9. Trekanter til det bearbejdede eksempel 1. Kilde: F. Zapata.

Derefter er længden af ​​segment BE lig med:

(i) 5

(ii) 3

(iii) 4

(iv) 2

(v) 6

Løsning

Da de to trekanter har en side med samme længde AC = EF mellem de lige vinkler ∡BAC = ∡CEF og ∡BCA = ∡CFE, kan det siges, at de to trekanter er kongruente af ALA-kriteriet.

Det vil sige ΔBAC ≡ ΔCEF, så vi er nødt til at:

BA = CE = AB = 6

BC = CF = 10

AC = EF

Men det segment, der skal beregnes, er BE = BC - EC = 10 - 6 = 4.

Så det rigtige svar er (iii).

- Øvelse 2

Tre trekanter er vist i figuren herunder. Det er også kendt, at de to angivne vinkler måler 80º hver, og at segmenterne AB = PD og AP = CD. Find værdien af ​​vinklen X angivet på figuren.

Figur 10. Trekanter til det løste eksempel 2. Kilde: F. Zapata.

Løsning

Du skal anvende trekantenes egenskaber, som er detaljeret trin for trin.

Trin 1

Startende med LAL trekants kongruens-kriteriet, kan det siges, at BAP- og PDC-trekanterne er kongruente:

ΔBAP ≡ ΔPDC

Trin 2

Ovenstående fører til at bekræfte, at BP = PC, derfor er trekanten ΔBPC isosceles og ∡PCB = ∡PBC = X.

Trin 3

Hvis vi kalder vinklen BPC γ, følger det at:

2x + y = 180º

Trin 4

Og hvis vi kalder vinklerne APB og DCP β og α vinklerne ABP og DPC, har vi:

α + β + γ = 180º (da APB er en plan vinkel).

Trin 5

Endvidere er α + β + 80º = 180º ved summen af ​​de indre vinkler i trekanten APB.

Trin 6

Ved at kombinere alle disse udtryk har vi:

α + β = 100º

Trin 7

Og derfor:

y = 80º.

Trin 8

Endelig følger det, at:

2X + 80º = 180º

Med X = 50º.

Referencer

1. Baldor, A. 1973. Plane and Space Geometry. Mellemamerikansk kultur.
2. CK-12 Foundation. Congruente polygoner. Gendannes fra: ck 12.org.
3. Nyd matematik. Definitioner: Radius (polygon). Gendannes fra: enjoylasmatematicas.com.
4. Math Open Reference. Test af polygoner for kongruens. Gendannes fra: mathopenref.com.
5. Wikipedia. Congruence (geometri). Gendannet fra: es.wikipedia.org.
6. Zapata, F. Trekanter, historie, elementer, klassificering, egenskaber. Gendannes fra: lifeder.com.