KONSTANT AF INTEGRATION: MENING, BEREGNING OG EKSEMPLER - MATEMATIK - 2024

Den konstante integration er en merværdi til beregning af stamfunktioner eller integraler, den tjener til at repræsentere de løsninger, der udgør den primitive for en funktion. Det udtrykker en iboende tvetydighed, hvor enhver funktion har et uendeligt antal primitiver.

Hvis vi f.eks. Tager funktionen: f (x) = 2x + 1 og vi får dens antiderivativ:

∫ (2x + 1) dx = x ² + x + C; Hvor C er integrationskonstanten og grafisk repræsenterer den vertikale translation mellem de uendelige muligheder for det primitive. Det er korrekt at sige, at (x ² + x) er en af primitiverne for f (x).

Kilde: forfatter

Tilsvarende kan vi definere (x ² + x + C) som den primitive for f (x).

Omvendt ejendom

Det kan bemærkes, at når man udleder udtrykket (x ² + x) opnås funktionen f (x) = 2x + 1. Dette skyldes den inverse egenskab, der findes mellem afledningen og integrationen af ​​funktioner. Denne egenskab gør det muligt at få integrationsformler, der starter fra differentieringen. Hvilket tillader bekræftelse af integraler gennem de samme derivater.

Kilde: forfatter

(X ² + x) er imidlertid ikke den eneste funktion, hvis derivat er lig med (2x + 1).

1. d (x ² + x) / dx = 2x + 1
2. d (x ² + x + 1) / dx = 2x + 1
3. d (x ² + x + 2) / dx = 2x + 1
4. d (x ² + x + 3) / dx = 2x + 1
5. d (x ² + x + C) / dx = 2x + 1

Hvor 1, 2, 3 og 4 repræsenterer bestemte primitiver af f (x) = 2x + 1. Mens 5 repræsenterer det ubestemte eller primitive integral af f (x) = 2x + 1.

Kilde: forfatter

Primitivene for en funktion opnås gennem antiderivering eller integreret proces. Hvor F vil være en primitiv af f, hvis følgende er sandt

• y = ∫ f (x) dx = F (x) + C; C = integrationskonstant
• F '(x) = f (x)

Det kan ses, at en funktion har et enkelt derivat, i modsætning til dets uendelige primitiver, der er resultatet af integration.

Det ubegrænsede integral

∫ f (x) dx = F (x) + C

Det svarer til en familie af kurver med det samme mønster, som oplever inkongruitet i værdien af ​​billederne for hvert punkt (x, y). Hver funktion, der opfylder dette mønster, vil være en individuel primitiv, og sættet med alle funktioner er kendt som et ubestemt integral.

Værdien af integrationskonstanten er den, der differentierer hver funktion i praksis.

Den konstante integration antyder en lodret forskydning i alle grafer repræsenterer primitiver af en funktion. Hvor parallellen mellem dem observeres, og det faktum, at C er værdien af ​​forskydningen.

I henhold til almindelig praksis betegnes integrationskonstanten med bogstavet "C" efter et tilføjelse, skønt det i praksis er ligeglad med om konstanten tilføjes eller trækkes fra. Dets reelle værdi kan findes på forskellige måder under forskellige initialbetingelser.

Andre betydninger af konstant integration

Det er allerede blevet drøftet, hvordan konstant for integration anvendes i grenen af integreret beregning; Repræsenterer en familie af kurver, der definerer det ubestemte integral. Men mange andre videnskaber og grene har tildelt meget interessante og praktiske værdier for integrationskonstanten, hvilket har lettet udviklingen af ​​flere undersøgelser.

I fysik kan integrationskonstanten tage flere værdier, afhængigt af datagrunden. Et meget almindeligt eksempel er at kende funktionen V (t), der repræsenterer hastigheden af en partikel kontra tiden t. Det er kendt, at når man beregner en primitiv af V (t) opnås funktionen R (t), der repræsenterer partiklens position mod tid.

Den konstante i integrationen vil repræsentere værdien af den oprindelige position, dvs. på tidspunktet t = 0.

På samme måde, hvis funktionen A (t), der repræsenterer accelerationen af partiklen i forhold til tid, er kendt. Primitivet af A (t) resulterer i funktionen V (t), hvor integrationskonstanten er værdien af ​​den indledende hastighed V ₀.

I økonomi ved at opnå ved integrering det primitive af en omkostningsfunktion. Den konstante integration vil repræsentere de faste omkostninger. Og så mange andre applikationer, der fortjener differentieret og integreret beregning.

Hvordan beregnes integrationskonstanten?

For at beregne integrationskonstanten vil det altid være nødvendigt at kende de oprindelige betingelser. Som er ansvarlige for at definere, hvilke af de mulige primitiver der er den tilsvarende.

I mange applikationer behandles det som en uafhængig variabel på tidspunktet (t), hvor konstanten C tager de værdier, der definerer de indledende betingelser for det særlige tilfælde.

Hvis vi tager det første eksempel: ∫ (2x + 1) dx = x ² + x + C

En gyldig startbetingelse kan være at forudsætte, at grafen passerer gennem en bestemt koordinat. For eksempel ved vi, at den primitive (x ² + x + C) passerer gennem punktet (1, 2)

F (x) = x ² + x + C; dette er den generelle løsning

F (1) = 2

Vi erstatter den generelle løsning i denne lighed

F (1) = (1) ² + (1) + C = 2

Fra hvor det let følger, at C = 0

På denne måde er den tilsvarende primitive for dette tilfælde F (x) = x ² + x

Der er flere typer af numeriske øvelser, der arbejder med konstanter for integration. Faktisk stopper den differentielle og integrale beregning ikke med at blive anvendt i aktuelle undersøgelser. På forskellige akademiske niveauer kan de findes; fra den første beregning gennem fysik, kemi, biologi, økonomi, blandt andre.

Det værdsættes også i studiet af differentialligninger, hvor integrationskonstanten kan tage forskellige værdier og løsninger, dette på grund af de flere derivationer og integrationer, der udføres i denne sag.

eksempler

Eksempel 1

1. En kanon, der er placeret 30 meter høj, fyrer et projektil lodret opad. Det vides, at projektilet er hastigheden 25 m / s. Beslutte:

• Funktionen, der definerer projektilets position med hensyn til tid.
• Tidspunktet for flyvning eller øjeblikket tidspunkt, hvor partiklen rammer jorden.

Det er kendt, at i en retlinet bevægelse ensartet varieret er accelerationen en konstant værdi. Dette er tilfældet med projektilopsætningen, hvor accelerationen vil være tyngdekraften

g = - 10 m / s ²

Det er også kendt, at accelerationen er det andet derivat af positionen, hvilket indikerer en dobbelt integration i opløsningen af ​​øvelsen, hvilket således opnår to integrationskonstanter.

A (t) = -10

V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C ₁

De første betingelser for øvelsen indikerer, at den oprindelige hastighed er V ₀ = 25 m / s. Dette er hastigheden på tidspunktet for tidspunktet t = 0. På denne måde er det tilfreds med:

V (0) = 25 = -10 (0) + C ₁ og C ₁ = 25

Med hastighedsfunktionen defineret

V (t) = -10t + 25; Ligheden kan observeres med MRUV-formlen (V _f = V ₀ + axt)

På en homolog måde fortsætter vi med at integrere hastighedsfunktionen for at opnå det udtryk, der definerer positionen:

R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10t + 25) dt = -5t ² + 25t + C ₂

R (t) = -5t ² + 25t + C ₂ (position primitive)

Den oprindelige position R (0) = 30 m er kendt. Derefter beregnes projektiets primitive.

R (0) = 30m = -5 (0) ² + 25 (0) + C ₂. Hvor C ₂ = 30

Eksempel 2

1. Find den primitive f (x), der opfylder de oprindelige betingelser:

• f '' (x) = 4; f '(2) = 2; f (0) = 7

Med informationen om det andet derivat f '' (x) = 4 begynder antideriveringsprocessen

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫4 dx = 4x + C ₁

Derefter kender vi betingelsen f '(2) = 2, fortsætter vi:

4 (2) + C ₁ = 2

C ₁ = -6 og f '(x) = 4x - 8

Vi fortsætter på samme måde for den anden integration af konstanten

f (x) = ∫f '(x) dx

∫ (4x - 8) dx = 2x ² - 8x + C ₂

Den oprindelige tilstand f (0) = 7 er kendt, og vi fortsætter:

2 (0) ² - 8 (0) + C ₂ = 7

C ₂ = 7 og f (x) = 2x ² - 8x + 7

• f '' (x) = x ²; f '(0) = 6; f (0) = 3

På lignende måde som det foregående problem definerer vi de første derivater og den originale funktion ud fra de oprindelige betingelser.

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫ (x ²) dx = (x ³ /3) + C ₁

Med betingelsen f '(0) = 6 fortsætter vi:

(0 ^3/3) + C ₁ = 6; Hvor C ₁ = 6 og f '(x) = (x ³ /3) + 6

Så den anden integrationskonstant

f (x) = ∫f '(x) dx

∫ dx = (x ⁴ /12) + 6 x + C ₂

Den oprindelige tilstand f (0) = 3 er kendt, og vi fortsætter:

+ 6 (0) + C ₂ = 3; Hvor C ₂ = 3

Således opnår vi det primitive særlige

f (x) = (x ⁴ /12) + 6x + 3

Eksempel 3

1. Definer de primitive funktioner givet derivaterne og et punkt på grafen:

• dy / dx = 2x - 2, der passerer gennem punktet (3, 2)

Det er vigtigt at huske, at derivater henviser til skråningen på linien tangens til kurven på et givet punkt. Hvor det ikke er korrekt at antage, at grafen for derivatet berører det angivne punkt, da dette hører til grafen for den primitive funktion.

På denne måde udtrykker vi differentialligningen som følger:

∫dy = ∫ (2x - 2) dx

Anvendelse af den første betingelse:

2 = (3) ² - 2 (3) + C

C = -1

Det opnås: f (x) = x ² - 2x - 1

• dy / dx = 3x ² - 1 der passerer gennem punktet (0, 2)

Vi udtrykker differentialligningen som følger:

Anvendelse af den første betingelse:

2 = (0) ² - 2 (0) + C

C = 2

Vi får: f (x) = x ³ - x + 2

Foreslåede øvelser

Øvelse 1

1. Find den primitive f (x), der opfylder de oprindelige betingelser:

• f '' (x) = x; f '(3) = 1; f (2) = 5
• f '' (x) = x + 1; f '(2) = 2; f (0) = 1
• f '' (x) = 1; f '(2) = 3; f (1) = 10
• f '' (x) = -x; f '(5) = 1; f (1) = -8

Øvelse 2

1. En ballon, der stiger op med en hastighed på 16 ft / s, falder en pose med sand fra en højde på 64 ft over jordoverfladen.

• Definer flyvetiden
• Hvad vil vektoren V _{f være}, når den rammer jorden?

Øvelse 3

1. Figuren viser accelerationstidsgrafen for en bil, der bevæger sig i den positive retning af x-aksen. Bilen kørte med en konstant hastighed på 54 km / t, da føreren anvendte bremserne for at stoppe i 10 sekunder. Bestemme:

• Den første acceleration af bilen
• Bilens hastighed ved t = 5s
• Forskydningen af ​​bilen under bremsning

Kilde: forfatter

Øvelse 4

1. Definer de primitive funktioner givet derivaterne og et punkt på grafen:

• dy / dx = x der passerer gennem punktet (-1, 4)
• dy / dx = -x ² + 1, der passerer gennem punktet (0, 0)
• dy / dx = -x + 1, der passerer gennem punktet (-2, 2)

Referencer

1. Integreret beregning. De ubegrænsede integrations- og integrationsmetoder. Wilson, Velásquez Bastidas. Magdalena Universitet 2014
2. Stewart, J. (2001). Beregning af en variabel. Tidlige transcendentaler. Mexico: Thomson Learning.
3. Jiménez, R. (2011). Matematik VI. Integreret beregning. Mexico: Pearson Education.
4. Fysik I. Mc Graw hill