CYLINDRISKE KOORDINATER: SYSTEM, ÆNDRING OG ØVELSER - MATEMATIK

De cylindriske koordinater bruges til at lokalisere punkter i tredimensionelt rum og består af en radial koordinat ρ, φ azimutalkoordinat og z-koordinat for højden.

Et punkt P placeret i rummet projiceres ortogonalt på XY-planet, hvilket giver anledning til punktet P 'i dette plan. Afstanden fra oprindelsen til punktet P 'definerer koordinaten ρ, mens vinklen mellem X-aksen og strålen OP' definerer koordinaten φ. Endelig er z-koordinaten den ortogonale projektion af punkt P på Z-aksen. (se figur 1).

Figur 1. Punkt P af cylindriske koordinater (ρ, φ, z). (Egen uddybning)

Den radiale koordinat ρ er altid positiv, den azimutale koordinat φ varierer fra nul radianer til to pi radianer, mens z-koordinaten kan have enhver reel værdi:

0 ≤ ρ <∞

0 ≤ φ <2π

- ∞ <z <+ ∞

Ændring af koordinater

Det er relativt let at få de kartesiske koordinater (x, y, z) for et punkt P fra dets cylindriske koordinater (ρ, φ, z):

x = ρ cos (φ)

y = ρ sin (φ)

z = z

Men det er også muligt at få de polære koordinater (ρ, φ, z) ud fra kendskabet til de kartesiske koordinater (x, y, z) i et punkt P:

ρ = √ (x ² + y ²)

φ = arctan (y / x)

z = z

Vektorbase i cylindriske koordinater

Basen for cylindriske enhedsvektorer Uρ, Uφ, Uz er defineret.

Vektoren Uρ er tangent til linjen φ = ctte og z = ctte (peger radialt udad), vektoren Uφ er tangent til linjen ρ = ctte og z = ctte og til sidst har Uz den samme retning af Z-aksen.

Figur 2. Cylindrisk koordinatbase. (wikimedia commons)

I den cylindriske enhedsbase skrives positionsvektoren r for et punkt P vektorielt på denne måde:

r = ρ Uρ + 0 Uφ + z Uz

På den anden side udtrykkes en infinitesimal forskydning d r fra punkt P som følger:

d r = dρ Uρ + ρ dφ Uφ + dz Uz

Tilsvarende er et uendeligt element af volumen dV i cylindriske koordinater:

dV = ρ dρ dφ dz

eksempler

Der er utallige eksempler på anvendelse og anvendelse af cylindriske koordinater. I kartografi bruges for eksempel den cylindriske projektion, der er nøjagtigt baseret på disse koordinater. Der er flere eksempler:

Eksempel 1

Cylindriske koordinater har applikationer inden for teknologi. Som et eksempel har vi CHS (Cylinder-Head-Sector) -systemet med dataplacering på en harddisk, der faktisk består af flere diske:

- Cylinderen eller sporet svarer til koordinaten ρ.

- Sektoren svarer til positionen φ på disken, der roterer med høj vinkelhastighed.

- Hovedet svarer til z-positionen for læsehovedet på den tilsvarende disk.

Hver byte af information har en nøjagtig adresse i cylindriske koordinater (C, S, H).

Figur 2. Placering af information i cylindriske koordinater på et harddisksystem. (wikimedia commons)

Eksempel 2

Konstruktionskraner fastlægger lastens placering i cylindriske koordinater. Den vandrette position er defineret ved afstanden til kranen ρ's akse eller pil og af dens vinkelposition φ i forhold til en eller anden referenceakse. Lastens lodrette position bestemmes af z-koordinaten for højden.

Figur 3. Lastens placering på en konstruktionskran kan let udtrykkes i cylindriske koordinater. (billede pixabay - kommentarer R. Pérez)

Løst øvelser

Øvelse 1

Der er punkter P1 med cylindriske koordinater (3, 120º, -4) og punkt P2 med cylindriske koordinater (2, 90º, 5). Find den euklidiske afstand mellem disse to punkter.

Løsning: Først fortsætter vi med at finde de kartesiske koordinater for hvert punkt efter formlen, der blev givet ovenfor.

P1 = (3 * cos 120º, 3 * sin 120º, -4) = (-1,5, 2,60, -4)

P2 = (2 * cos 90º, 2 * sin 90º, 5) = (0, 2, 5)

Den euklidiske afstand mellem P1 og P2 er:

d (P1, P2) = √ ((0 - (-1,5)) ² + (2 - 2,60) ² + (5 - (- 4)) ²) =…

… √ (2,25 + 0,36 + 81) = 9,14

Øvelse 2

Punkt P har kartesiske koordinater (-3, 4, 2). Find de tilsvarende cylindriske koordinater.

Løsning: Vi fortsætter med at finde de cylindriske koordinater ved hjælp af de ovenfor angivne forhold:

ρ = √ (x ² + y ²) = √ ((- 3) ² + 4 ²) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

φ = arctan (y / x) = arctan (4 / (- 3)) = -53,13º + 180º = 126,87º

z = 2

Det skal huskes, at arctangentfunktionen er multivurderet med 180º periodicitet. Vinklen φ skal også høre til den anden kvadrant, da x- og y-koordinaterne for punkt P er i denne kvadrant. Dette er grunden til, at 180º er føjet til resultatet φ.

Øvelse 3

Express i cylindriske koordinater og i kartesiske koordinater overfladen af en cylinder med radius 2, og hvis akse falder sammen med Z-aksen.

Løsning: Det er underforstået, at cylinderen har en uendelig forlængelse i z-retningen, så ligningen af nævnte overflade i cylindriske koordinater er:

ρ = 2

For at opnå den kartesiske ligning af den cylindriske overflade tages kvadratet af begge elementer i den forrige ligning:

ρ ² = 4

Vi multiplicerer begge medlemmer af den forrige lighed med 1 og anvender den grundlæggende trigonometriske identitet (sin ² (φ) + cos ² (φ) = 1):

1 * ρ ² = 1 * 4

(sin ² (φ) + cos ² (φ)) * ρ ² = 1 * 4

Parentesen er udviklet til at opnå:

(ρ sin (φ)) ² + (ρ cos (φ)) ² = 4

Vi husker, at de første parenteser (ρ sin (φ)) er y-koordinaten for et punkt i polære koordinater, mens parenteserne (ρ cos (φ)) repræsenterer x-koordinaten, så vi har ligningen på cylinderen i koordinater kartesiske:

y ² + x ² = 2 ²

Ovenstående ligning bør ikke forveksles med den for en omkreds i XY-planet, da det i dette tilfælde ville se sådan ud: {y ² + x ² = 2 ²; z = 0}.

Øvelse 4

En cylinder med radius R = 1 m og højde H = 1m har sin masse fordelt radialt i henhold til følgende ligning D (ρ) = C (1 - ρ / R), hvor C er en konstant med værdien C = 1 kg / m ³. Find den samlede masse af cylinderen i kilogram.

Løsning: Den første ting er at indse, at funktionen D (ρ) repræsenterer den volumetriske massetæthed, og at massetætheden er fordelt i cylindriske skaller med faldende tæthed fra centrum til periferien. Et uendeligt volumenelement i henhold til problemets symmetri er:

dV = ρ dρ 2π H

Derfor vil den uendelige masse af en cylindrisk skal være:

dM = D (ρ) dV

Derfor udtrykkes cylinderens samlede masse ved følgende bestemte integral:

M = ∫ _eller ^RD (ρ) dV = ∫ _eller ^R C (1 - ρ / R) ρ dρ 2π H = 2π HC ∫ _eller ^R (1 - ρ / R) ρ dρ

Opløsningen af det angivne integral er ikke svært at få, da resultatet er:

∫ _eller ^R (1 - ρ / R) ρ dρ = (⅙) R ²

Ved at inkorporere dette resultat i ekspressionen af cylindermassen får vi:

M = 2π HC (⅙) R ² = ⅓ π HCR ² =

⅓ π 1 m * 1 kg / m ³ * 1 m ² = π / 3 kg ≈ 1,05 kg

Referencer

Arfken G og Weber H. (2012). Matematiske metoder til fysikere. En omfattende guide. 7. udgave. Academic Press. ISBN 978-0-12-384654-9
Beregning cc. Løste problemer med cylindriske og sfæriske koordinater. Gendannes fra: calculo.cc
Weisstein, Eric W. "Cylindriske koordinater." Fra MathWorld - A Wolfram Web. Gendannes fra: mathworld.wolfram.com
wikipedia. Cylindrisk koordinatsystem. Gendannet fra: en.wikipedia.com
wikipedia. Vector felter i cylindriske og sfæriske koordinater. Gendannet fra: en.wikipedia.com

CYLINDRISKE KOORDINATER: SYSTEM, ÆNDRING OG ØVELSER - MATEMATIK - 2024